А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 5

Если момент инерции тела относительно некоторой оси вращения, проходящей через центр масс,имеет значение J 0 , то относительно любой другой оси, находящейся на расстоянии a от первой и параллельной ей, он будет равенJ = J 0 + ma 2 ,(2.1)где m — масса тела.Для проверки теоремы Гюйгенса–Штейнера в данной работеисследуются крутильные колебания твердого тела на трифилярномподвесе.Трифилярный подвес представляет собой круглую платформурадиуса R, подвешенную на трех симметрично расположенных нитях одинаковой длины, укрепленных у ее краев (рис.

6). Наверхуэти нити также симметрично прикреплены к диску несколькоменьшего размера (радиуса r). Платформа может совершать кру-30Лабораторный практикум по механике твердого телатильные колебания вокруг вертикальной оси OO′, перпендикулярной к ее плоскости и проходящей через ее центр. Такое движениеплатформы приводит к изменению положения ее центра тяжести повысоте.Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то приращение потенциальной энергии будетравноE1 = mgh ,(2.2)где g – ускорение свободногопадения. Вращаясь в другомнаправлении, платформа придетв положение равновесия (h = 0)скинетическойэнергией,равной1E2 = J ω02 ,(2.3)2где J — момент инерции платформы, ω0 — угловая скоростьвращения платформы в моментРис. 6. Устройство трифилярногопрохождения ею положенияподвесаравновесия.Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем1mgh = J ω02 .(2.4)2Считая, что платформа совершает гармонические крутильныеколебания, можно записать зависимость углового смещения платформы α от времени t в виде 2π (2.5)α = α 0 sin  t  , T где α — угловое смещение платформы, α 0 — угол максимального поворота платформы, т.е.

амплитуда углового смещения, T —период колебаний. Для угловой скорости ω , являющейся первойпроизводной по времени от величины углового смещения, можнозаписать2πdα 2π a0=cost.(2.6)dtTTВ моменты прохождения платформы через положение равновесия (t = 0; 0,5Т;...) величина ω ( t ) будет максимальна и равна помодулю2π a0ω0 =.(2.7)TИз выражений (2.4) и (2.7) следует, чтоω=21  2π a0 mgh = J .(2.8)2  T Если l — длина нитей подвеса, R — расстояние от центра платформы до точек крепления нитей на ней, r — радиус верхнего диска(рис. 6), то легко видеть, чтоh = OO1 = BC − BC1 =( BC )2 − ( BC1 ) 2.BC + BC1(2.9)Так как( BC )2 = ( AB )2 − ( AC ) 2 = l 2 − ( R − r )2 ,(2.10)а при максимальном отклонении платформы от положения равновесия( BC1 )2 = ( A1B )2 −( A1C1 )2 = l 2 − ( R 2 + r 2 − 2 Rr cos α 0 ) , (2.11)тоα2 02 Rr (1 − cos α 0 ) 4 Rr sin 2=h=.( BC + BC1 )( BC + BC1 )(2.12)При малых углах отклонения α 0 значение синуса этого угламожно заменить просто значением α 0 .

Учитывая также, что приR << l величину знаменателя можно положить равной 2l, получаемRr α 02.(2.13)h=2lПри этом закон сохранения энергии (2.8) примет вид:2mgRrα 02 1  2π a0 = J.2l2  T (2.14)32Лабораторный практикум по механике твердого телаПроведение экспериментаоткуда следует, чтоJ=mgRrT2.(2.15)4π lПо формуле (2.15) можно экспериментально определить момент инерции пустой платформы или платформы с телом, положенным на нее, так как все величины в правой части формулы непосредственно измеряются. Следует помнить, что m — это суммарная масса платформы и исследуемого тела, положенного на нее.Соотношение (2.15) используется в лабораторной работе дляопределения моментов инерции тел простой формы и подтверждения справедливости теоремы Гюйгенса–Штейнера.2Экспериментальная установкаВид установки показан на рис. 6.

Отношение радиуса платформы к длине нитей подвеса составляет R l ≤ 0,05 , что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (2.15).Тела на платформу необходимо устанавливать строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегченияопределения положения грузов и более точной их установки наплатформе нанесены концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга (5 мм).Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильныхколебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего дискавокруг его оси. Это достигается с помощью шнура, связанного срычагом, закрепленным на верхнем диске. При таком возбужденииколебаний почти полностью отсутствуют другие типы колебаний,наличие которых затрудняет измерения1).Система измерения времени включает в себя электронный таймер с фотодатчиком, укрепленным на подставке.

При проведенииизмерений датчик устанавливается в удобное положение. Запусктаймера осуществляется нажатием кнопки «Пуск», остановка —кнопкой «Стоп». При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих убираются с табло таймера нажатием кнопки«Сброс».1) При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими10о.Упражнение 1. Проверка теоремы Гюйгенса–ШтейнераИзмеренияДля проверки теоремы Гюйгенса–Штейнера выбирают два одинаковых тела (в данной работе они имеют цилиндрическую форму).Перед каждым измерением следует остановить колебания платформы.1. Произвести взвешивание грузов.2. Установить грузы в центре платформы, положив их один надругой. Создать крутильные колебания платформы. Измерить время tn нескольких колебаний (n = 15–20).

Данные занести в табл.2.1.Таблица 2.1Номеропытаaa2ntnTi =tnnJi123⋅⋅⋅⋅⋅3. Расположить грузы симметрично на платформе. Провестиизмерения времени колебаний tn для 5–7 положений грузов, постепенно перемещая их к краям платформы. Рекомендуется проводитьизмерения через 1 см. Занести в табл.

2.1 значения расстояний отцентра масс каждого тела до центра платформы, число колебаний nи значения времени этих колебаний tn .Обработка результатов1. Для каждого положения грузов определить период колебанийгрузов Ti .2. Занести в таблицу значения a 2 .3. Для каждого положения грузов найти значения моментаинерции платформы с грузами J i по формуле (2.15).34Лабораторный практикум по механике твердого тела4.

Полученные значения J i нанести на график зависимостимомента инерции системы тел от квадрата расстояния центра масс( )каждого груза до оси вращения J a 2(схематично эта зависимостьпредставлена на рис. 7).Как следует из теоремы Гюйгенса–Штейнера, этот график должен быть прямой линией, с угловым коэффициентом численно равным 2mгр .5. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) построить зависимость J от a 2 ,Таблица 2.2№эксп.Тело1. ПустаяплатформаJ = B + Aa 2 . Определить погрешности определения значений A и B по формулам МНК.Из зависимости J (a 2 ) определить значение mгр = A 2. Срав-тел известна или может быть определена с помощью взвешивания.В качестве исследуемых тел выбирают пластины, имеющие формуквадрата и равностороннего треугольника.

Измеряют время tn нескольких колебаний всей системы. Для каждого тела проводят измерения 3–5 раз. Результаты измерений заносят в табл. 2.2.2. Платформас квадратнойпластинойРис. 7. Схематическое представлениезависимости J от a23. Платформа стреугольнойпластинойнить полученное значение с массами грузов mгр , найденными привзвешивании. Совпадение этих величин (с учетом погрешностейвычислений) также указывает на выполнимость теоремы Гюйгенса–Штейнера.Упражнение 2. Определение момента инерции теламетодом колебанийИзмерения1.

Сообщают платформе вращательный импульс и измеряютвремя tn некоторого числа (n = 15–20) полных колебаний, что даетвозможность достаточно точно определить величину периода колебаний пустой платформы Tпл . Такие измерения проводят 3–5 раз.Полученные результаты заносят в табл. 2.2. Для того, чтобы облегчить оценку погрешностей эксперимента, для каждой серии экспериментов значения n выбирают одинаковыми.2. Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы (совпадали отверстия в теле и на платформе).

Масса этихntnTnTSTJSJ12312312⋅⋅⋅⋅⋅Обработка результатов1. По экспериментальным данным для каждого опыта найтизначение величины периода крутильных колебанийtТ ni = ni .n2. Найти средние арифметические значения и среднеквадратичные отклонения для периодов колебаний пустой платформы ( Tпл ) иплатформы с исследуемыми телами ( T2 и T3 ).3. По формуле (2.15) определить величины J пл , J 2 , J 3 и среднеквадратичные отклонения этих величин.4. Вычислить моменты инерции квадратной и треугольной пластин по формулам:J кв = J 2 − J пл , J тр = J 3 − J пл .(2.16)Найти среднеквадратичные отклонения этих величин.5. Провести сравнение экспериментально полученных значенийJ кв и J тр с рассчитанными теоретически (см.

Приложение) поформулам:Лабораторный практикум по механике твердого тела36J кв1= md 26(2.17)3Определение моментов инерции телпростой формыдля квадрата и1md 2(2.18)12для равностороннего треугольника, где m — масса пластины, d—его сторона.6. Провести сопоставление величины J пл с величиной В, полученной в упр.1, таким образом проверить соотношениеJ тр =(B = J пл + 2 md 2 2) ( ( md 2) момент2инерции дисков, исполь-зуемых при выполнении упр.1).Основные итоги работыВ результате выполнения работы должна быть проведена проверка выполнения теоремы Гюйгенса–Штейнера. Должно бытьтакже проведено сравнение экспериментально найденного значениямомента инерции для тела заданной формы с соответствующимзначением, рассчитанным теоретически.Контрольные вопросы1.

Что такое главные оси инерции? Центральные оси? Привестипримеры?2. Что такое момент инерции тела относительно закрепленной оси?3. Чему равны моменты инерции следующих тел: тонкая палочка,тонкий диск, тонкие прямоугольная и треугольная пластины,цилиндр, шар, параллепипед? Как их получить?4. Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.Литература. 1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. §31,32,34.2.