А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 6

Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1. Механика. М.: Наука, 1989. §30,35.3. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика:Учебн. для студ. вузов / Под ред. В.А. Алешкевича.— М.:Академия,2004. Лекция 12.Цель работыЭкспериментальное определение моментов инерции тел простой формы.Идея экспериментаИдея эксперимента состоит в использовании связи между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции.Исследуемое тело является составной частью, крутильного маятника. В процессе эксперимента находится период колебаний маятникаи коэффициент жесткости пружины. Моменты инерции исследуемых тел определяются из этих данных.ТеорияСоотношение между моментом количества движения L твердого тела, вращающегося вокруг закрепленной оси, и моментомвнешних сил М имеет вид:dL=M .(3.1)dtВ свою очередь, момент количества движения относительно одной из главных осей вращения абсолютно твердого тела связан сосевым моментом инерции J угловой скоростью ω следующимсоотношениемL = Jω .(3.2)С учетом (3.2) соотношение (3.1) можно переписать в следующем виде:dωd 2ϕM =J=J 2 ,(3.3)dtdtгде ϕ – угол поворота тела вокруг оси.Рассмотрим случаи, когда тело, закрепленное на оси, совершаеткрутильные колебания под действием спиральной пружины (рис.8).

В соответствии с законом Гука для небольших отклонений отЛабораторный практикум по механике твердого тела38положения равновесия длявращающего момента упругойпружины можно записатьM = − Dϕ ,(3.4)где D – жесткость пружины.С учетом (3.3) и (3.4)можно записать уравнениедвижения тела:Рис. 8. Схематическое представлениекрутильного маятникаd 2ϕ(3.5)J 2 + Dϕ = 0dtилиd 2ϕ D+ ϕ = 0.(3.6)dt 2 JИз (3.6) для частоты колебаний крутильного маятника ω0(ω0 = 2π T )т.е. квадрат периода колебаний линейно зависит от квадрата расстояния а2 J 0 + J c + 2 J гр  4π ⋅ 2mгр 2T 2 = 4π 2 +a .(3.11)DDНа рис. 9 схематично представлена зависимость Т² от a². Знаяэту зависимость, можно легко определить коэффициент жесткостипружины D (через угловой коэффициент прямой A = 8π 2 mгр D ивеличину J0 (используя значение В (см.

рис.9) и рассчитанные значения Jс и Jгр).получаемD.(3.7)JПериод колебаний Т, в свою очередь, равенJT = 2π(3.8)DРассмотрим колебания крутильного маятника, в состав котороговходят два одинаковых груза, закрепленных на стержне на одинаковых расстояниях а от оси вращения. В этом случае момент инерции маятника в соответствии с теоремой Гюйгенса–Штейнера равенJ = J 0 + J c + 2mгр а 2 + 2 J гр ,(3.9)ω02 =где J0 – момент инерции той части маятника, на которой крепятсявсе остальные элементы кроме грузов, Jс – момент инерции стержня, Jгр – момент инерции груза относительно его центра масс, тгр –масса груза.

Тогда период колебаний (см. (3.8)) запишется так:T = 2πJ 0 + J c + 2mгр a 2 + 2 J грD,(3.10)Рис. 9. Схематичное представление зависимости квадрата колебанийкрутильного маятника от квадрата расстояния от оси вращениядо центра масс груза mгр, укрепленного на стержнеЕсли теперь вместо стержня с грузами в состав маятника включить тело с неизвестным моментом инерции Jx,то период колебанийтакого маятника будет равенJ + JxT1 = 2π 0,(3.12)DоткудаT 2DJ x = 1 2 − J0 .(3.13)4π40Лабораторный практикум по механике твердого телаЭкспериментальная установкаУстановка состоит из крутильного маятника, системы для измерения времени колебаний и набора образцов, для которых производят измерения моментовинерции (рис.

10).Крутильный маятникможет вращаться вокругвертикальной оси. Пружина маятника изготовлена из упругой стальнойпроволоки.Системаизмерениявремени включает в себяэлектронный таймер сфотодатчиком,укрепленным на подставке. При проведении измеРис.10. Блок-схема экспериментальнойрений датчик устанавлиустановкивается в удобное положение. Запуск таймера осуществляется нажатием кнопки "Пуск",остановка – кнопкой "Стоп".

При подготовке к дальнейшим измерениям результаты предыдущих убираются с табло таймера нажатием кнопки "Сброс".В наборе съемных образцов имеются стержень с цилиндрическими грузами, цилиндр, шар, диск. Образцы крепятся на вертикальной оси маятника.Проведение эксперимента1.

Определение коэффициента жесткостипружины и момента инерции тела маятникаНа маятнике закрепляют стержень с грузами. Производят измерения периода малых колебаний маятника для различных положений грузов, строят зависимость квадрата периода колебаний отквадрата расстояния а.УпражнениеИзмерения1. Определить массу стержня mc , массу груза mгр , длинустержня lc , радиус отверстия R1, внешний радиус R2 и длину цилиндрических грузов lгр , крепящихся на нем.

Данные занести втабл. 3.1.Таблица 3.1mcmгрlcR1R2lгрРис.11. Положение грузов настержне крутильного маятника2. Закрепить на маятнике стержень с цилиндрическими грузами, расположив его симметрично относительно оси вращения так,как показано на рис. 11.3. Установить грузы симметрично на стержне в положении,наиболее близком к оси. Записать расстояние от грузов до оси l0(см. рис. 11) в табл. 3.2.4. Измерить время tп нескольких колебаний∗) (п= 10–20). Данные занести в табл. 3.2.5.

Произвести измерения времени колебаний tп для 7–9 положений грузов, постепенно перемещая их к краям стержня. Рекомендуется проводить измерения через каждые 2 см.Обработка результатов1. Для каждого положения грузов вычислить период колебаний Т и квадрат этой величины. Результаты занести в табл. 3.2.∗) Угловые амплитуды колебаний маятника должны быть~ 5 − 7° .Лабораторный практикум по механике твердого тела42Таблица 3.2Номеризмеренияl0tnnT2Ta2Определить величину момента инерции тела маятника J0 и еестандартное отклонение∗).

Результаты вычислений занести в табл.3.3.Упражнение123·Определение моментовпростой формы.2.Измерения2ния грузов.3. Построить зависимость Т² от а². С помощью метода наименьших квадратов (МНК) определить коэффициенты А и В в зависимости T 2 = B + Aa 2 по соответствующим формулам МНК. Определить ошибки значений А и В. Результаты занести в табл. 3.3.4. По наклону этой прямой (см. рис. 9) в соответствии с (3.11)определить коэффициент жесткости пружиныD = 4π 2 (2mгр A) .1. Определить массу (путем взвешивания) и геометрическиеразмеры цилиндра, шара и диска.

Оценить погрешности измерений.Результаты измерений занести в табл. 3.4.2. Закрепить цилиндр на оси маятника. Три раза измеритьвремя t n нескольких колебаний (n = 10–15). Данные занести в табл.3.5.Таблица 3.4ТелоЦилиндрШарДискРезультаты вычислений занести в табл. 3.3.Таблица 3.3SAтелВ этом упражнении проводится измерение моментов инерции цилиндра, шара и тонкого диска.2. Определить значения a 2 = ( l0 + lгр 2 ) для каждого положе-AинерцииBSBDSDJcS JCJ грS J грJ0hShТаблица 3.5ТелоBD− J c − 2 J гр .4π 2SRRSJ05. Определить стандартное отклонение значения коэффициентажесткости – S D .

Результаты записать в табл. 3.3.6. Определить моменты инерции стержня и грузов по формулам (см. Приложение)111J c = mc lc2 ;J г = mгр l 2 гр + mгр ( R12 + R22 )12124и стандартные отклонения для этих величин. Результаты вычислений внести в табл. 3.3.7. В соответствии с (3.11) B = 4π 2 ( J 0 + J c + 2 J гр ) D , т.е.J0 =SmmNntnTTSTJ экспS J экспJ теор , ± S J теорЦилиндрШарДиск∗) Момент инерции маятника незначителен, поэтому при больших погрешностяхего определения (большие амплитуды колебаний и т.д.) вычисления могут даватьотрицательные значения его величины.44Лабораторный практикум по механике твердого тела4. Провести аналогичные измерения для шара и диска. Данныеизмерений занести в табл.

3.4 и 3.5.Обработка результатов1. Для каждого опыта вычислить значение периода колебаний.2. Определить выборочные средние значения (средние арифметические значения) периода колебаний T для каждого тела. Результаты внести в табл. 3.5.3. Вычислить выборочные стандартные отклонения (среднеквадратичные ошибки) для T .

Результаты вычислений внести втабл. 3.5.4. По формуле (3.13) определить значения моментов инерциицилиндра, шара и диска (соответственно J цэксп , J шэксп , J дэксп ). Занести эти значения в табл. 3.5.5. Найти стандартные отклонения этих величин. Результатывычислений занести в табл. 3.5.6. Рассчитать теоретические значения моментов инерции цилиндра, шара и диска по формулам (см.

Приложение):121J цтеор = mц Rц2 ; J штеор = mш Rш2 ; J дтеор = mд Rд2 .2527. Сравнить экспериментальные и теоретические значениямоментов инерции всех исследованных тел (должны перекрыватьсяобласти J эксп − S J эксп , J эксп + S J эксп ) и ( J теор − S J теор , J теор + S J теор ).Основные итоги работыВ процессе выполнения работы должны быть определены коэффициент жесткости пружины, момент инерции маятника,шара, цилиндра, диска и проведено сравнение последних трех значений со значениями, рассчитанными теоретически.Контрольные вопросы1. Что такое главные оси инерции? Центральные оси? Привести примеры.2. Что такое момент инерции тела относительно закрепленнойоси?3. Чему равны моменты инерции следующих тел: тонкая палочка, тонкий диск, тонкие прямоугольная и треугольная пластины,цилиндр, шар, параллелепипед? Как их получить?4.

Сформулируйте теорему Гюйгенса–Штейнера.Литература1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том I. Механика. Изд. 3-е.М.: Наука, 1989. гл.V.2. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика:Учебн. для студ. вузов / Под ред. В.А. Алешкевича.— М.:Академия,2004. Лекция 12.464Лабораторный практикум по механике твердого телаОпределение момента инерции колесаЦель работыЗнакомство с методами определения момента инерциитвердого тела.Идея экспериментаВ работе используются два способа экспериментального определения момента инерции. Первый основан на использовании зависимости периода колебаний физического маятника от его моментаинерции. Второй — на анализе инерционных свойств твердого тела, закрепленного на оси, при его вращательном движении.

Крометого, проводится прямой расчет момента инерции исследуемоготела известной геометрии.ТеорияУравнение вращательного движения для твердого тела, закрепленного на оси, имеет видJε = M ,(4.1)где J — момент инерции твердого тела относительно оси вращения,ε — его угловое ускорение, M — момент внешних сил, приложенных к телу.Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела.