А.М. Салецкий, А.И. Слепков - Лабораторный практикум по механике твёрдого тела, страница 10

Измерения проводят не менее трех раз. Данные заносят в таблицу 5.7.< Ty >, S<Ty >< Tz >, S<Tz >< TAG >, S<TAG >3. Подставляют в (5.18) определенные экспериментально геометрические размеры и периоды колебаний маятника для различных способов крепления параллелепипеда в рамке. Находят ошибкиопределения величин, стоящих в правой и левой частях уравнения(5.18). Убеждаются в правильности равенства (5.18) в пределахошибок измерений.Таблица 5.10< T0 >, S<T0 >< Ty >, S<Ty >< Tz >, S<Tz >< TMN >, S< MN >Таблица 5.7Характеристики колебательного движения цилиндраNn0tn0T0nytnyTynztnzTznMN tnTMN4.

Находят средние значения периодов колебаний цилиндра Tz,Ty, TMN и пустой рамки T0 и их погрешности. Результаты вносят втабл. 5.10. Определяют по формуле (5.17) значения моментов инерции J z , J y , J MN для цилиндра. Находят погрешности этих величин.Результаты заносят в табл. 5.11.Таблица 5.114.

Закрепляют в рамке цилиндр, измеряют времена t n для колебаний цилиндра относительно осей z , y, MN . Результаты заносят втаблицу 5.7.JxS JxJyS JyJMNS J MNтеорJ MNтеорS J MN72Лабораторный практикум по механике твердого тела5. Подставляя в (5.20) определенные в п.4 значения J z , J y , находят теоретическое значение момента инерции J MN , сравнивают егос экспериментальным (найденным в п.4).6Определение тензора инерциитвердого телаОсновные итоги работыВ результате выполнения работы должно быть проверено соотношение (5.13) или (5.18) для параллелепипеда и (5.21) для цилиндра и проведено сравнение экспериментального и теоретическогозначений величины момента инерции при вращении тела относительно оси AG (для параллелепипеда) и оси MN (для цилиндра).Контрольные вопросы1.

Записать уравнение моментов и объяснить смысл входящих внего величин.2. Какова связь между моментом импульса и угловой скоростью? Что такое тензор инерции?3. Записать компоненты тензора инерции для простейших систем тонкая палочка, система материальных точек.4. Что такое главные оси? Что такое центральные оси? Примеры.5. Как направлены векторы угловой скорости и момента количества движения при вращении тела вокруг закрепленной осиа) если ось вращения совпадает с одной из главных осей;б) если ось вращения не совпадает ни с одной из главных осей?6.

Связь между компонентами тензора инерции и моментоминерции относительно фиксированной оси.7. Что такое эллипсоид инерции? как с помощью эллипсоидаинерции определить значение момента инерции тела относительнозаданной оси?Литература1. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. 2-е изд.М.: Высшая школа, 1986.

§49.2. Сивухин В. Общий курс физики. Том 1. Механика, 3-е изд. М.:Наука, 1989, §53.Цель работыИзучение тензора инерции твердого тела.Идея экспериментаС помощью крутильного маятника, представляющего собойрамку с исследуемым телом, закрепленную на упругом подвесе,определяется момент инерции тела относительно закрепленной оси.Сравнивая период колебания маятника без тела и с телом, можнонайти момент инерции тела относительно фиксированной оси.Компоненты тензора инерции относительно системы координат,жестко связанной с телом, определяются из нескольких таких опытов, отличающихся направлением оси вращения тела при колебаниях маятника.ТеорияРассмотрим колебания крутильного маятника, представляющего собой сложное тело, состоящее из рамки, закрепленной на вертикальной упругой проволоке, и исследуемого тела (рис.

21). Действие момента сил упругости приводит квозникновению колебаний всей системы спериодомJ′(6.1)T = 2π,Dгде D — коэффициент упругости подвеса,J ′ — момент инерции рамки с исследуемымтелом.Из соотношения (6.1) можно найти моментинерции J ′ :2 T J′ =  D. 2π (6.2)Рис. 21. Устройствокрутильного маятника74Лабораторный практикум по механике твердого телаОпределяя период колебаний пустой рамки T0 , можно найтимомент инерции маятника без тела J 0 :2T J 0 =  0  D.(6.3) 2π Для момента инерции исследуемого тела относительно фиксированной оси вращения получаем:J = J ′ − J0.(6.4)Меняя положение тела относительно рамки, можно определятьмоменты инерции для осей вращения, имеющих различное направление относительно тела.Тензор инерции будем рассматривать в системе координат, жестко связанной с твердым телом.

При этом, как показано во введении,J = J xx cos 2 α + J yy cos 2 β + J zz cos 2 γ ++2 J xy cos α cos β + 2 J xz cos α cos γ + 2 J yz cos β cos γ ,(6.5)где α, β, γ — углы, определяющие положение оси вращения телаотносительно системы координат, связанной с исследуемым телом.Используемая в задаче установка удобна для определения моментов инерции “плоских тел”— т.е. таких тел, толщинакоторых значительно меньшеих поперечных размеров. Приэтом одну из осей (например,ось Oz), связанную с теломсистемы координат, удобнонаправитьперпендикулярноплоскости тела.

Оси Ox и Oyнаходятся в плоскости тела и ихнаправленияпроизвольны,Рис. 22. Схематическое представлениеначало координат совпадает ствердого тела и систем координат x0y,x’0y’. Ось вращения ОР и системыцентром масс тела и находитсякоординат лежат в плоскости чертежана оси вращения (рис. 22). Приэтом один из направляющихкосинусов ( cos γ ) равен нулю, и вместо (6.5) получимJ = J xx cos 2 α + J yy cos 2 β + 2 J xy cosα cos β .(6.6)Величина J — момент инерции данного тела относительнооси, проходящей через его центр масс. При повороте системы координат (осей Ox и Oy в своей плоскости), величина момента инерции J не изменяется, но каждой ориентации осей соответствуютсвои значения компонент тензора инерции J xx , J yy и J xy = J yx .При определенном выборе системы координат, когда направления осей Ox′ и Oy ′ совпадают с главными осями инерции тела,J xy = J yx = 0, и вместо (6.6) имеемJ = J x′ cos 2 α ′ + J ′y cos 2 β ′.(6.6а)В последнем соотношении cos α ′ и cos β ′ — направляющиекосинусы выбранной ранее оси вращения в новых осях координатOx′ , Oy ′ , J x′ и J ′y — компоненты тензора инерции в системе координат, оси которой совпадают по направлению с главными осямиинерции.Выберем на оси вращения некоторую точку Р, находящуюся нарасстоянии R от начала координат и имеющую координатыx′ и y ′ .

Пусть величина R численно равна 1 J . При этомcos α ′ = x′ R ; cos β ′ = y ′ R . Подставив эти величины в (6.6а), получимx′2y ′2J = J x′ 2 + J ′y 2 ,RRилиx ′2 y ′ 2+= 1,(6.6б)a 2 b2где a 2 =JR 2JR 2, b2 =, a и b являются постоянными величинами.J x′J ′yУравнение (6.6б) является каноническим уравнением эллипса вкоординатах x′, y ′, полуоси которого a = 1 J x′ , b = 1 J ′y .Эллипс (6.6б) является сечением эллипсоида инерции плоскостью x ′y ′.

Эллипсоидом инерции называется поверхность, характеризующая величины моментов инерции твердого тела относительно множества возможных осей вращения, проходящих через76Лабораторный практикум по механике твердого телаодну точку (в данном случае через центр масс тела). При этом длякаждого направления вдоль оси l откладываются отрезки, численно равные величине1Jl,где J l— момент инерции телаотносительно оси l. Концы этихотрезковобразуютповерхность,называемую эллипсоидом инерции(трехмерное уравнение эллипсоидаинерции может быть получено из(6.5)).Пусть исследуемое тело имеетформу, показанную на рис.

23. ТочкаО — центр масс тела. Оси Ox и Oyвыбраныпроизвольно.ТелоРис. 23. Форма и положение тела относительно закреплено в рамке крутильногооси вращениямаятника так, что точка О лежит наоси вращения, а положение тела характеризуется угломα ( β = π 2 − α ).Если тело закреплено в рамке так, как показано на рис.24а, тоα = 0 и β = π 2. Из (6.6) получаемJ = J l = J xx .(6.7)При закреплении тела, соответствующем рис.24б, α =π 2и β = 0.

И, следовательно, из (6.6)Рис. 24. Положения тела относительно оси вращенияИз (6.6) можно получить, что при α = α 0 + π 2J = J 5 = J xx sin 2 α 0 + J yy cos 2 α 0 − J xy sin 2α 0 .J = J 2 = J yy .(6.8)При повороте тела в своей плоскости на угол α 0 (рис. 24в) и –α 0 (рис. 24г) относительно оси вращения получаем, соответственно,J = J 3 = J xx cos 2 α 0 + J yy sin 2 α 0 + J xy sin 2α 0 ,J = J 4 = J xx cos2 α 0 + J yy sin 2 α 0 − J xy sin 2α 0 .(6.9)(6.10)Из (6.9) и (6.10) следует, чтоJ 3 − J 4 = 2 J xy sin 2α 0 или J xy =J3 − J 4.2sin 2α 0(6.11)(6.12)Складывая (6.9) и (6.12), получаемJ 3 + J 5 = J1 + J 2 .(6.13)Экспериментальное определение величин J1 , J 2 , J 3 и J 4 даетвозможность найти четыре отличных от нуля компоненты тензораинерции плоского тела: J xx , J yy , J xy = J yx для заданной системыкоординат.

Если оси координат Ox и Oy совпадают с главнымиосями инерции тела, то J xy = J yx = 0. Соотношение (6.13) можетслужить проверкой правильности проведенного эксперимента.78Лабораторный практикум по механике твердого телаЭкспериментальная установкаЭкспериментальная установка показана на рис. 25. Она состоит изстойки и рамки, закрепленной на упругом подвесе. Исследуемыетела поочередно крепятся в рамке с помощью винта. Конструкциякрепления рамки на подвесе такова, что рамка может поворачи-рамке имеется шкала, позволяющая определять углы между осьювращения и осями системы координат, связанной с телом.Установка снабжена системой автоматического отсчета времении числа периодов, включающей в себя таймер и фотоэлектронныйдатчик.Проведение экспериментаУпражнение 1. Определение коэффициента упругостиподвеса и момента инерции пустой рамкиОпределение упругости подвеса осуществляется из результатовизучения колебаний длинного металлического стержня, закрепленного с помощью специального приспособления в рамке перпендикулярно оси вращения.