В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач, страница 7

Валвращается с постоянной угловой скоростью ω. Определить зависимость модулей скорости и ускорения лодки от длины веревкиL > Н. Движение лодки считается поступательным.ω RL(ω rH ) 2Ответ: υ =, a=.32L2 − H 2L2 − H 2()Задача 7.Найти уравнение кинематическойсвязи для ускорений тел, подвешенных нанерастяжимых нитях (см. рис.).Ответ: a1 + 2a2 + a3 = 0 , где a1 , a 2 и a 3 –проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.132Задача 8Определить закон изменения модуля скорости материальнойточки, движущейся в плоскости, если ее движение описывается вполярной системе координат следующим законом: r (t ) = a (1 − bt ) ,btϕ (t ) =, где a и b – положительные постоянные величины.1 − btОтвет: υ = ab 1 +11, при t < .2b(1 − bt )Глава 1.

Кинематика материальной точки и простейших систем43Задача 9Четыре тела подвешены на нерастяжимых нитях (см. рис.). Найти ускорениетела 4, если известны ускорения остальныхтрех тел.Ответ: a4 = − (a1 + a2 + 2a3 ) 4 , где a1 , a2 ,a3 и a4 – проекции ускорений тел на вертикальную ось декартовой системы координат.4312Задача 10Найти уравнение кинематической связи для ускорений тел,подвешенных на нерастяжимых нитях так, как показано на рисунке.rR1234511 ⎞R+rr⎛a2 + ⎜ 2a3 + a4 + a5 ⎟ = 0 ,22 ⎠RR⎝где a1 , a2 , a3 , a4 и a5 – проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.Ответ: a1 +44МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 11Два тела подвешены на нерастяжимых нитях, как показано на рисунке.Определить ускорение тела 2, если известно ускорение тела 1.Ответ: a2 = −16a1 , где a1 и a2 – проекции ускорений тел на вертикальнуюось декартовой системы координат.21Глава 2.

Динамика материальной точки и простейших систем45ГЛАВА 2ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ИПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ2.1. Теоретический материал2.1.1. Законы НьютонаПервый закон Ньютона. Существуют такие системы отсчета, относительно которых изолированная материальная точка (накоторую не действуют силы) движется равномерно и прямолинейно или покоится. Такие системы отсчета называются инерциальными.Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчетапроизведение массы материальной точки на ее ускорение равносумме всех сил, действующих на эту материальную точку со стороны других тел:ma = ∑ Fi .(2.1)iТретий закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух материальных точек:1) парные и приложены к разным материальным точкам,2) одной природы,3) равны по модулю,4) противоположны по направлению,5) направлены вдоль прямой, соединяющей материальныеточки.Уравнение движения – второй закон Ньютона, записанный ввекторной форме или в проекциях на оси инерциальной системыотсчета:⎧⎪ma x = ∑ Fix ,i⎪⎪(2.2)ma = ∑ Fi или ⎨ma y = ∑ Fiy ,ii⎪⎪ma = F .iz⎪⎩ z ∑iЗаметим, что уравнение движения можно записать в проекциях на любую, в том числе и произвольно движущуюся относительно инерциальной системы отсчета, ось. Для этого достаточноМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ46умножить скалярно левую и правую части векторного уравнениядвижения (2) на единичный вектор (орт), задающий направлениеэтой оси.

Например, на направление скорости τ и на направление,перпендикулярное скорости n :man = ∑ Fin ,i(2.3)maτ = ∑ Fiτ ,iгде an (t ) = an (t )n(t ) и aτ (t ) = aτ (t )τ (t ) – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения материальной точки.Законы динамики – это законы Ньютона и законы, описывающие индивидуальные свойства сил.2.1.2.

Законы, описывающие индивидуальные свойства силА. Гравитационные силыЗакон всемирного тяготения. Материальные точки притягиваются друг к другу с силами F21 и F12 (см. рис. 2.1), модуликоторых пропорциональны произведению их масс и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:mmF21 = − F12 = G 1 3 2 r12 .(2.4)r12Здесь G = 6,673⋅10−11 Н⋅м2/кг2 – гравитационная постоянная,r12 = r2 − r1 .Sr1m1F21 F12 r12 m2r2Рис.

2.1. Ориентация сил гравитационного взаимодействиядвух материальных точекСилы гравитационного взаимодействия сферически симметричных тел, как нетрудно показать, определяются выражениемГлава 2. Динамика материальной точки и простейших систем47(2.4), в котором r12 – радиус-вектор центра второго тела относительно центра первого тела.Сила тяжести, действующая на материальную точку, –сумма силы гравитационного притяжения Земли (или любого другого космического объекта) и центробежной силы инерции (см.Главу 4), действующей на материальную точку в системе отсчета,связанной с Землей.Сила тяжести, действующая на тело, – сумма сил тяжести,действующих на материальные точки этого тела.В однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Землисила тяжести Fт равна произведению массы тела m на ускорениецентра масс тела при свободном падении (ускорение свободногопадения) g относительно Земли: Fт = mg .Вес тела – сила, с которой тело, находящееся в поле сил тяжести, действует на неподвижную относительно него опору илиподвес, препятствующие свободному падению тела.Б.

Упругие силыЕсли после прекращения внешнего воздействия деформированное тело восстанавливает свою форму и размеры, то деформация называется упругой.Закон Гука. При малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна величине вызывающей ее силы.В частности, при деформации растяжения (сжатия) упругогостержня (пружины, резинового шнура) деформация стержня пропорциональна величине вызывающей ее силы, действующей вдольстержня:1Δl = F .(2.5)kЗдесь k – коэффициент жесткости (упругости) стержня, Δl = l − l0– удлинение стержня, l и l0 – длина стержня в деформированном инедеформированном состояниях (см. рис. 2.2).Если сила, действующая на стержень, направлена противоположно указанному на рис.

2 направлению, то упругий стержень испытывает сжатие. При этом Δl < 0 и F в формуле (2.5) следует считать проекцией силы F на ось X системы координат, изображенной на рис. 2.2.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ48Yl0d0dFlXРис. 2.2. Удлинение стержня под действиемпродольной силыПри деформации растяжения (сжатия) однородного упругогостержня с постоянным вдоль стержня сечением относительное удлинение стержня ε пропорционально нормальному напряжению σ:1ε= σ.(2.6)EЗдесь E – модуль Юнга материала, из которого сделан стержень,FΔlε=– относительное удлинение стержня, σ =– нормальноеSl0напряжение, S – площадь поперечного сечения стержня.Заметим, что для однородного упругого стержня с постоянным вдоль стержня сечением коэффициент жесткости (упругости)этого стержня связан с модулем Юнга соотношением:Sk = E.(2.7)LВ случае растяжения (сжатия) стержня уменьшаются (увеличиваются) его поперечные размеры.

При этом отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению зависит только от материала стержня и называется коэффициентом Пуассона:μ=−ε⊥.ε(2.8)d − d 0 Δd=– относительd0d0ное изменение поперечных размеров стержня, d и d0 – поперечныйлинейный размер стержня в деформированном и недеформированном состояниях (см. рис. 2.2).Здесь μ – коэффициент Пуассона, ε ⊥ =Глава 2.

Динамика материальной точки и простейших систем49При деформации стержня возникают внутренние упругие силы Fупр , действующие между его частями, которые стремятся вернуть стержень в недеформированное состояние. Напряжение упругих сил равноFσ упр = упр .(2.9)SРассмотрим слой стержня с координатами границ x и x + dxвдоль стержня (см. рис. 2.3).ξ(x)ξ(x+dx)σ(x)σ(x+dx)xx+dxXРис. 2.3. Смещение границ выделенногослоя стержняВ результате действия внутренних упругих сил возникаетсмещение левой ξ(x) и правой ξ(x+dx) границ выделенного слоя.Тогда относительная продольная деформация ε этого слоя равнаξ ( x + dx) − ξ ( x) ∂ξε=== ξ x' .(2.10)dx∂xЗакон Гука в этом случае принимает видσ упр ( x) = Eε = Eξ x' .(2.11)В случае деформации слоя изменяются его поперечные размеры. При этом отношение поперечной к продольной деформацииопределяется коэффициентом Пуассона в соответствии с (2.8).При ускоренном движении стержня под действием внешнейсилы, вызывающей его деформацию, возникают неоднородныевдоль стержня напряжения упругих сил.

В этом случае возникающие неоднородные деформации по-прежнему определяются выражениями (2.11), (2.8).50МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВ. Силы тренияСила трения – составляющая силы непосредственного взаимодействия тел при соприкосновении вдоль плоскости соприкосновения.Сила нормального давления (реакции опоры) – составляющая силы взаимодействия тел при непосредственном соприкосновении вдоль направления нормали к плоскости соприкосновения.Силы вязкого (внутреннего) трения Fв – силы трения, возникающие при движении тела в вязкой (жидкой или газообразной)среде.При малой величине скорости υ движения тела относительносредыFв = −ηυ ,(2.12)где η – коэффициент вязкого (внутреннего) трения.Сила вязкого трения покоя равна нулю: Fвп = 0 .Силы сухого трения Fc – силы трения, возникающие принепосредственном соприкосновении твердых тел.Силы трения покоя Fп – силы сухого трения, возникающиев отсутствие относительного движения взаимодействующих тел.Сила трения скольжения Fcк – сила сухого трения, возникающая при относительном движении взаимодействующих тел.Закон Амонтона – Кулона – эмпирический закон, описывающий свойства сил сухого трения:1) модуль силы сухого трения покоя может принимать значения от нуля до некоторого своего максимального значения:0 ≤ Fп ≤ Fmax ;2) модуль силы сухого трения скольжения равен максимальному значению модуля силы сухого трения покоя: Fcк = Fmax ;3) модуль силы сухого трения скольжения пропорционаленмодулю силы нормального давления:Fcк = μN ,(2.13)где μ – коэффициент (силы сухого) трения, не зависящий от силынормального давления, а только от вещества и состояния поверхностей трущихся тел;Глава 2.

Динамика материальной точки и простейших систем514) сила сухого трения скольжения направлена противоположно направлению скорости относительного движения тел υотн :Fcк ↑↓ υотн .(2.14)Силовое поле – область пространства, где действуют силыданной природы, в общем случае зависящие как от времени, так иот координаты и скорости движения материальной точки –F (t , r , υ) .2.2. Основные типы задач и методы их решения2.2.1.