В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач, страница 3

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ10t1A + t 2A.(1.1)2– момент времени излучения из точки A светового сигна-tB =Здесь t1Aла (кванта света) по часам в точке A, t B – момент времени регистрации этого сигнала в точке B по часам в точке B, t 2A – моментвремени регистрации в точке A отраженного в точке B сигнала почасам в точке A.Материальная точка – физическое понятие (модель, абстракция), представляющее тело, размерами (и формой) которогоможно пренебречь в условиях данной задачи.Положение материальной точки относительно данной системы отсчета (в данной системе отсчета) S задается ее координатамиили радиус-вектором r .Радиус-вектор материальной точки r относительно данной системы отсчета – вектор, начало которого находится в началекоординат этой системы, а конец – в месте расположения материальной точки (см.

рис. 1.1а):r = xi + yj + zk = {x, y , z} ,(1.2)где i , j и k – орты декартовой системы координат: i = 1 , j = 1 ,k = 1 ; x, y, z – координаты материальной точки.ZZMz(t)r (t )r (t + Δt )x(t)XMΔr (t )r (t )y(t) YOаXυ(t )YOбРис. 1.1. Радиус-вектор r (t ) , перемещение r (t + Δt ) (а) и скорость υ(t ) (б)материальной точкиЗакон движения материальной точки относительно даннойсистемы отсчета – зависимость радиус-вектора или координат материальной точки от времени:Глава 1.

Кинематика материальной точки и простейших систем11r = r (t );⎧ x = x(t ),⎪⎨ y = y (t ),⎪ z = z (t ).⎩(1.3)Траектория движения материальной точки – линия, описываемая в пространстве концом радиус-вектора материальнойточки.Уравнение траектории задается совокупностью двух уравнений⎧ F1 ( x, y, z ) = 0,(1.4)⎨⎩ F2 ( x, y, z ) = 0,которые можно получить, исключая время из закона движения вкоординатной форме (1.3). Заметим, что сам закон движения в координатной форме представляет собой уравнение траектории, заданное в параметрическом виде.Перемещение материальной точки Δr (t ) – изменение радиус-вектора материальной точки за время Δt с момента времени t(рис.

1а):Δr (t ) = r (t + Δt ) − r (t ) == {x(t + Δt ) − x(t ), y (t + Δt ) − y (t ), z (t + Δt ) − z (t )} .(1.5)Скорость материальной точки υ относительно даннойсистемы отсчета – физическая величина, равная производной радиус-вектора материальной точки по времени (производная беретсяпри постоянных ортах системы координат, поскольку они жесткосвязаны с телом отсчета):d r (t )Δr (t )υ(t ) = {υ x (t ), υ y (t ), υ z (t )} ≡≡ r&(t ) ≡ lim=Δt → 0 Δtdt= {x& (t ), y& (t ), z&(t )} ,(1.6)где υ x , υ y , υ z – проекции скорости υ на соответствующие осисистемы координат. Скорость υ можно представить в виде суммысоставляющих скорости вдоль осей системы координат:(1.7)υ(t ) = x& (t ) i + y& (t ) j + z&(t ) k = υ x (t ) i + υ y (t ) j + υ z (t ) k .При этом модуль скорости υ равенυ (t ) = υ x2 + υ y2 + υ z2 .(1.8)МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ12В соответствии с определением скорость всегда направленапо касательной к траектории (см. рис. 1.1б).Зная закон изменения скорости материальной точки υ(t ) ,и радиус-вектор r0 ≡ r (t0 ) в начальный момент времени t0, можнонайти закон движения:tr (t ) = r0 + ∫ r (t )dt .(1.9)t0Путь s(t), пройденный материальной точкой вдоль траектории(длина траектории) за время t, равенts (t ) = ∫ υ (t )dt ,(1.10)0при этом модуль скорости υ (t ) в любой момент времени равенd s(t )υ ( t ) ≡ υ( t ) == s&(t ) .(1.11)dtУскорение материальной точки a относительно даннойсистемы отсчета – физическая величина, равная производной скорости материальной точки по времени (при постоянных ортах системы координат):a(t ) = {a x (t ), a y (t ), a z (t )}≡ υ&(t ) = {υ& x (t ),υ& y (t ),υ& z (t )},(1.12)где ax, ay, az – проекции ускорения a на соответствующие оси системы координат.

Ускорение a можно представить в виде суммысоставляющих ускорения вдоль осей системы координат:(1.13)a(t ) = υ&x (t ) i + υ& y (t ) j + υ&z (t ) k = a x (t ) i + a y (t ) j + a z (t ) k .При этом модуль ускорения a равенa(t ) = a x2 + a 2y + a z2 .(1.14)Зная закон изменения ускорения материальной точки a (t ) , атакже скорость υ0 ≡ υ(t0 ) и радиус-вектор r0 ≡ r (t0 ) в начальныймомент времени t0, можно найти закон изменения скорости и закондвижения:tυ(t ) = υ0 + ∫ a (t ) d t ,t0(1.15)Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем13⎛ t ''⎞r (t ) = r0 + υ0 (t − t0 ) + ∫ ⎜ ∫ a (t ' ) d t ' ⎟ d t ' ' .(1.16)⎜⎟t0 ⎝ t0⎠Начальные условия для материальной точки – значения радиус-вектора и скорости в начальный момент времени t0 относительно заданной системы отсчета:⎧r (t0 ) = r0 ,(1.17)⎨⎩υ(t0 ) = υ0 .Тангенциальное ускорение aτ – составляющая ускоренияa вдоль направления скорости τ (см.

рис. 1.2):υ(t ) d rτ (t ) ≡=, τ (t ) = 1 , aτ (t ) = aτ (t )τ (t ) ,(1.18)υ (t ) d sd υ (t )aτ (t ) == υ& (t ) ,(1.19)dtгде aτ (t ) – проекция ускорения a на направление скорости τ .tSr (t )n(t )Ma n (t )aτ (t )a (t )τ (t )Рис. 1.2.

Ускорение материальной точки a и ее тангенциальная aτ инормальная an составляющиеДвижение материальной точки при aτ (t ) > 0 – ускоренное,при aτ (t ) < 0 – замедленное, при aτ (t ) = 0 – равномерное, а приaτ (t ) = const ≠ 0 – равнопеременное.Нормальное ускорение an – составляющая ускорения a ,перпендикулярная направлению скорости (рис. 1.2):an (t ) = an (t )n(t ) , n(t ) ⊥ τ (t ) , n(t ) = 1 ,(1.20)где an (t ) – проекция ускорения a на направление n , перпендикулярное скорости и направленное к центру кривизны траектории.Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизнытраектории – центру окружности максимального радиуса (радиуса14МЕХАНИКА.

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧкривизны траектории), касательной к траектории в данной точке,при этомυ 2 (t )≥ 0,(1.21)an (t ) =ρ(t )dsгде ρ(t ) ≡– радиус кривизны траектории в данной точке, аdαdα – угол между скоростями в моменты времени t и t + dt.Ускорение a можно представить в виде суммы нормальногоan и тангенциального aτ ускорений:a (t ) = an (t ) +aτ (t ) .(1.22)При этом модуль ускорения a равенa(t ) = an2 (t ) + aτ2 (t ) .(1.23)В соответствии с (1.21) и (1.22) ускорение всегда отклоненоот направления скорости в сторону центра кривизны траектории вданной точке, то есть внутрь траектории (см.

рис. 1.2).В частном случае движенияYυ(t )материальной точки по окружности,т.е. движения в плоскости по траекdϕRториис постоянным радиусом криϕ(t)визны – ρ (t ) = R (рис. 1.3), можноZXввести угловую скорость ω (t ) иугловое ускорение β (t ) :υ (t )dϕ ( t )Рис. 1.3. Кинематические характеω (t ) ≡≡ ϕ& (t ) =,ристикиматериальнойdtR(1.24)точки при ее движении поa(t)υ(t)τокружностиβ (t ) ≡ ω& (t ) ==.RRПри этом:υ 2 (t )an (t ) == ω 2 (t ) R,(1.25)R&aτ (t ) = ω (t ) R.Механическая система – совокупность материальных тел.Система материальных точек – совокупность тел, каждоеиз которых можно считать материальной точкой.

Далее будем счи-Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем15тать, что всякую рассматриваемую нами механическую системуможно рассматривать как систему материальных точек.Абсолютно твердое тело – тело (система материальных точек), расстояния между двумя любыми материальными точкамикоторого не меняются в условиях данной задачи.Поступательное движение абсолютно твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две материальные точки тела, перемещается параллельно самой себе.Принцип суперпозиции движений – в случае поступательного движения системы отсчета S′ относительно системы S(рис. 1.4) радиус-вектор (скорость, ускорение) произвольной материальной точки относительно системы S равен сумме радиусвекторов (скоростей, ускорений) начала отсчета O' системы S' и тойже материальной точки относительно системы S':r (t ) = rO′ (t ) + r ′(t ),(1.26)υ(t ) = υO ′ (t ) + υ′(t ),a (t ) = aO′ (t ) + a′(t ).Здесь υO′ и a O′ – переносные скорость и ускорение соответственно.S'SMr (t )r ′(t )rO' (t )O'OРис.

1.4. Положение материальной точки M относительно двухпоступательно движущихся систем отсчета S и S′Уравнения кинематической связи – уравнения, связывающие кинематические характеристики различных тел системы:f r (r1 , r2 ,..., rN ) = 0,f υ (υ1 , υ2 ,..., υN ) = 0,f a (a1 , a2 ,..., a N ) = 0.(1.27)МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ16Существуют два способа нахождения уравнений кинематической связи.Способ 1. Принцип независимых перемещений.

Перемещение какого-либо тела в системе связанных тел складывается изтак называемых «независимых» перемещений, каждое из которыхобусловлено (вызвано) перемещением соответствующего другоготела системы при покоящихся остальных телах:Δri = ∑ Δrik .(1.28)k ≠iСпособ 2. Записать величины постоянных кинематическиххарактеристик элементов связей (нитей, штанг, блоков, поверхностей и т.д.) через координаты тел системы, используя свойства этихэлементов (нерастяжимость, неподвижность, недеформированность), и продифференцировать эти величины по времени.1.2. Основные типы задач и методы их решения1.2.1.

Классификация задач кинематикиОсновной задачей кинематики является определение кинематических характеристик тел, движущихся относительно даннойсистемы отсчета.Большинство задач кинематики можно условно отнести кследующим типам задач или их комбинациям:1) кинематика материальной точки,2) принцип суперпозиции движений,3) уравнения кинематической связи,4) кинематика простейших механических систем.Как правило, один из типов задач имеет основное, другие –подчиненное по отношению к условию задачи значение.1.2.2.

Общая схема решения задач кинематикиI. Определиться с моделями материальных объектов и явлений.1. Нарисовать чертеж, на котором изобразить рассматриваемые тела.2. Выбрать систему отсчета и изобразить на чертеже ее систему координат (из соображений удобства).Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем173. Изобразить и обозначить кинематические характеристикител.4. Выбрать модели тел и их движения (если это не сделано вусловии задачи).II. Записать полную систему уравнений для искомых величин.1. Записать в проекциях на оси координат:а) законы движения,б) законы изменения скорости,в) законы изменения ускорения.2.