В.С. Русаков, А.И. Слепков, Е.А. Никанорова, Н.И. Чистякова - Механика. Методика решения задач, страница 6

1.16(1.104), полученными в предыдущей задаче:υ r = r& = −2a sin ϕϕ& = −2ab sin ϕ ,(1.105)υϕ = rϕ& = 2a (1 + cos ϕ )b;a r = &r& − rϕ& 2 = −2ab 2 ( 2 cos ϕ + 1),(1.106)aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&& = −4ab 2 sin ϕ .Тогда искомые модули скорости и ускорения материальной точкиравны:υ = υ r2 + υϕ2 = 2ab 2 + 2 cos(bt ) ,(1.107)a = ar2 + aϕ2 = 2ab 2 5 + 4 cos(bt ) .(1.108)Заметим, что материальная точка в моменты времениtk = (2k + 1)π(где k = 0, 1, 2, ...) находится в начале (полюсе) поbлярной системы координат, имеет нулевую скорость, а ускорение,по модулю равное a(tk ) = 2ab 2 , направлено противоположно полярной оси.Задача 1.11(На кинематику материальной точки)Планета движется вокруг Солнца в соответствии с законамиКеплера по эллиптической траектории r (1 − e cosϕ ) = p .

Параметрэллипса p , эксцентриситет e и секторную скорость σ считать заданными. Определить проекции ускорения планеты в зависимостиот координат r и ϕ полярной системы.МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ36РешениеI. При решении задачи будем считать планету и Солнце материальными точками. Согласно первому закону Кеплера все планеты движутся по эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одном из фокусов эллипса O (см. рис. 1.17).rϕ&Δtr(t+Δt)ϕ(t)Or(t)XРис. 1.17В соответствии с условием задачи введем полярную системукоординат в плоскости движения планеты, полюс которой совпадает с Солнцем, а полярная ось совпадает с одной из осей эллипса.Согласно второму закону Кеплера секторная скорость σпланеты, равная скорости изменения площади, описываемой радиус-вектором материальной точки, представляющим планету, постоянна при движении планеты вокруг Солнца.II.

Для нахождения проекций ускорения планеты в полярнойсистеме координат воспользуемся формулами (1.104):a r = &r& − rϕ& 2 ,(1.109)aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&&.Поскольку в уравнения (1.109) входят производные полярных координат по времени, дополним эту систему уравнением траектории планеты и выражением для ее секторной скорости σ :r (1 − e cosϕ ) = p ,(1.110)1σ = r 2ϕ& .(1.111)2III.

В соответствии с условием задачи секторная скорость σпостоянна при движении планеты по эллиптической траектории,поэтому ее производная по времени равна нулю:Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем371(1.112)2Сравнивая (1.112) с выражением (1.109) для проекции ускорения aϕ , видим, что aϕ = 0 . Следовательно, ускорение в любойσ& = rϕ& + r 2ϕ&& = 0 .момент времени имеет только проекцию ar , которая в соответствии с (1.109) является функцией производных полярных координатпо времени.Продифференцируем обе части уравнения траектории (1.110)по времени:r&(1 − e cos ϕ ) + re sinϕ ϕ& = 0 .(1.113)Используя уравнение траектории (1.110) и выражение длясекторной скорости (1.111), преобразуем (1.113) к виду:(1.114)r& p + 2σ e sin ϕ = 0 .Продифференцируем теперь обе части уравнения (1.114) повремени&r&p + 2σ e cosϕ ϕ& = 0 .(1.115)Опять воспользуемся уравнением траектории (1.110) и выражением для секторной скорости (1.111) для исключения cosϕ и ϕ&из (1.115):r − p 2σr− p&r&p + 2σe(1.116)⋅ 2 = &r&p + 4σ 2 3 = 0 .er rrВ результате находим:r− p&r& = −4σ 2 3 .(1.117)r pДля нахождения искомой проекции ускорения планеты a r ,как функции только координат полярной системы, подставим &r&2σ(1.116) и ϕ& = 2 (см.

(1.111)) в выражение (1.109):r4σ 24σ 2r− p(1.118)a r = &r& − rϕ& 2 = −4σ 2 3 − r 4 = − 2 .r prr pТаким образом, ускорение планеты, движущейся по эллиптической траектории, направлено к Солнцу, не зависит от полярногоугла ϕ и обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца:МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ384σ 2,r 2paϕ = 0.ar = −(1.119)Задача 1.12(На кинематику материальной точки)Небольшое тело движется по гладкой внутренней поверхности полого вертикального цилиндра радиуса R. В начальный момент времени скорость тела направлена перпендикулярно оси цилиндра и равна υ0 . Определить законы изменения скорости и ускорения материальной точки в цилиндрической системе координат, атакже угол α (t ) между скоростью и ускорением.РешениеI.

Будем считать тело материальной точкой, которая движется по цилиндрической поверхности с постоянной вертикальной составляющей ускорения, равной ускорению свободного падения g .Для решения задачи выберем цилиндрическую систему координат,ось Z которой совпадает с осью цилиндра, как показано нарис. 1.18. На том же рисунке изображены орты er, eϕ и ez цилиндрической системы. Ось, от которой отсчитывается угол ϕ системыкоординат, направим на положение тела в начальный момент времени.ZezOeϕϕMgerXРис. 1.18υ0Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших систем39II. В соответствии с условиями задачи и выбранной системойкоординат запишем начальные значения проекций скорости длярассматриваемого тела:(1.120)υ r (0) = 0 , υϕ (0) = υ0 , υ z (0) = 0 .Воспользуемся формулами (1.103) и (1.104) для проекцийскорости и ускорения тела на направления, задаваемые ортами цилиндрической системы:υr = r& , υϕ = rϕ& , υ z = z& ,(1.121)a r = &r& − rϕ& 2 , aϕ = 2r&ϕ& + rϕ&& , a z = &z& .(1.122)Кроме того, в соответствии с условиями задачи, запишем:r (t ) = R , aϕ (t ) = 0 , a z (t ) = − g .(1.123)III.

Используя (1.121) – (1.123), получим законы измененияпроекций скорости и ускорения:υ r (t ) = 0 , υϕ (t ) = υ0 , υ z (t ) = − gt ;(1.124)ar (t ) = −υ02, aϕ (t ) = 0 , a z (t ) = − g .(1.125)RТаким образом, искомый закон изменения скорости и ускорения в цилиндрической системе координат имеет следующий вид:υ = υ0eϕ − gte z ,(1.126)a=−υ02e r − ge z .(1.127)RОпределим также искомый угол α между скоростью и ускорением тела:υ⋅ag 2tcos α =.(1.128)=υa⎛ ⎛ υ 2 ⎞2⎞υ02 + (gt )2 ⎜ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + g 2 ⎟⎜ R⎟⎝⎝ ⎠⎠()1.4.

Задачи для самостоятельного решенияЗадача 1Из пушки, находящейся на самолете, летящем горизонтальносо скоростью υсам , выпущен снаряд в направлении движения само-МЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ40лета. Скорость снаряда относительно самолета равна υсн . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:1) уравнение траектории снаряда относительно Земли y ( x ) ;2) уравнение траектории снаряда относительно самолетаy ′( x ′) ;3) уравнение траектории самолета относительно снарядаy ′′( x ′′) .ggОтвет: 1) y = −x 2 , 2) y′ = − 2 ( x′) 2 ,22υсн2(υ сам + υсн )3) y′′ =g( x′′) 2 , x′′ < 0 . Оси X, X' и X'' декартовой системы коор-2υдинат направлены горизонтально вдоль скорости самолета, а оси Y,Y' и Y'' – вертикально вверх, при этом начало координат системыXY совпадает с положением самолета в момент выстрела пушки.2снЗадача 2Лодка пересекает реку шириной d с постоянной относительно воды скоростью υ , перпендикулярной скорости течения реки,модуль которой нарастает от берегов к середине реки по линейному закону, меняясь от 0 до u.

Найти траекторию лодки, а такжеснос лодки l вниз по течению от места ее отплытия до места причаливания на противоположном берегу реки.Ответ: y =υdux , при y < d/2; y = d −d 2 υd−x , при y > d/2;2uud. Ось X декартовой системы координат XY направлена вдоль2υберега реки, а ось Y – поперек реки. Начало системы координат,жестко связанной с берегом реки, совпадает с местом отплытиялодки.l=Задача 3По движущемуся вниз эскалатору спускается пассажир соскоростью υ относительно эскалатора.

Скорость эскалатора равнаu. Спускаясь по неподвижному эскалатору пассажир проходит Nступеней. Сколько ступеней N' пройдет пассажир, спускаясь подвижущемуся эскалатору?Глава 1. Кинематика материальной точки и простейших системОтвет: N ′ =υυ +u41N.Задача 4Два трактора, движущиеся со скоростями υ1 и υ 2 , буксируютс помощью тросов автомобиль (см.

рис.).υ1αυ2Определить модуль и направление скорости υ автомобиля втот момент, когда тросы параллельны векторам υ1 и υ2 , а угол между ними равен α.Ответ: υ =υ12 + υ 22 − 2υ1υ 2 cos α,sin α⎛⎞⎟ , где β – угол между век1⎜ υ 2 + υ 2 − 2υ υ cos α ⎟21 2⎝ 1⎠υ1 sin αβ1 = arccos⎜торами υ и υ1 .Задача 5Тело А подвешено на нитях, перекинутых через блоки В и Смалого диаметра так, что АВ = ВС (см. рис.).LBCHυAυКонцы нитей тянут с одинаковыми скоростями υ . Расстояние между блоками В и С равно L. Найти модуль скорости υ A телаМЕХАНИКА. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ42А в тот момент, когда оно находится на расстоянии H от прямойВС.2⎛ L ⎞Ответ: υ A = υ 1 + ⎜⎟ .⎝ 2H ⎠Задача 6Лодку подтягивают к пристани высотой Н с помощью веревки, наматываемой на вал лебедки. Радиус вала равен R << H.