Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАУДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73Х82Факультет вычислительной математики и кибернетикиПечатается по решению Редакционно-издательского советафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.В. ЛомоносоваЕ.В. ХорошиловаРецензенты:доценты факультета ВМиК МГУ Мухин С.И., Фомичёв В.В.Хорошилова Е.В.Х82МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗНЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛВ помощь практическим занятиямУчебное пособиедля студентов университетовМатематический анализ: неопределённый интеграл (в помощьпрактическим занятиям): Учеб.

пособие для студентов университетов.– М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД № 05899 от 24.09.2001 г.), МАКС Пресс, 2007.– 184с.ISBN 978-5-89407-292-0ISBN 978-5-317-02090-3В книге приводятся основные теоретические сведения о неопределённыхинтегралах, рассмотрено большинство известных приёмов и методов интегрирования и различные классы интегрируемых функций (с указанием способовинтегрирования).

Изложение материала подкреплено большим количеством разобранных примеров вычисления интегралов (более 200 интегралов), в концекаждого параграфа приводятся задачи для самостоятельного решения (более200 задач с ответами).Пособие содержит следующие параграфы: «Понятие неопределённогоинтеграла», «Основные методы интегрирования», «Интегрирование рациональных дробей», «Интегрирование иррациональных функций», «Интегрирование тригонометрических функций», «Интегрирование гиперболических, показательных, логарифмических и других трансцендентных функций».Книга предназначена для освоения на практике теории неопределённогоинтеграла, выработки навыков практического интегрирования, закреплениякурса лекций, использования на семинарах и во время подготовки домашнихзаданий.

Цель пособия – помочь студенту в освоении различных приёмов и методов интегрирования.Для студентов университетов, в том числе математических специальностей,изучающих интегральное исчисление в рамках курса математического анализа.УДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73МАКС ПРЕССМОСКВА – 2007ISBN 978-5-89407-292-0ISBN 978-5-317-02090-3© Факультет Вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007© Хорошилова Е.В., 2007Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл4СОДЕРЖАНИЕПредисловие. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 1. Понятие неопределённого интеграла1.1. Историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. .

141.3. Интегралы, выражаемые и невыражаемые в элементарных функциях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Основные свойства неопределённого интеграла. . . . . . . . . .

. . . . 231.5. Таблица простейших интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 2. Основные методы интегрирования2.1. Интегрирование путём сведения к табличным интегралам с помощью простейших преобразований. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Интегрирование путём замены переменной∫f (t ( x ))t ′( x )dx == ∫ f (t )dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Интегрирование по частям∫ udv = uv − ∫ vdu . . . .

. . . . . . . . . . 33§ 3. Интегрирование рациональных функций3.1. Интегралы видаax + b∫ cx + d dx (ac ≠ 0; cx + d ≠ 0) . . . . . . . . . .∫ (x + a ) (x + b )3.5. Интегралы вида∫ ax3.6. Интегралы вида∫()3.7. Интегралы вида∫()m40( a ≠ b; m, n ∈ N ) . . . . .

. . 42nAx + Bdx (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44+ bx + cdxn ∈ N , n ≥ 2; b 2 − 4c < 0 . 45n2x + bx + c( Ax + B)dxn ∈ N , n ≥ 2; b 2 − 4c < 0 . 47n2x + bx + c2()()3.8. Метод алгебраических преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9. Представление рациональных дробей суммой простейших дробей с использованием метода неопределённых коэффициентов. 523.10.

Метод М.В.ОстроградскогоP(x )P1 ( x )P2 ( x )∫ Q(x ) dx = Q (x ) + ∫ Q (x ) dx . 6112Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§ 4. Интегрирование иррациональных функций4.1. Интегрирование линейных и дробно-линейных иррациональностей4.1.1. Интегралы вида()⎛ax + b ⎞nn⎜,Rx,ax+bdx,Rx∫∫ ⎜ cx + d ⎟⎟dx . . . 68⎝⎠pkp1p2⎛q1 ⎛ ax + b ⎞ q 2qkaxbaxb++⎜⎛⎞⎛⎞4.1.2.

Интегралы R x, ⎜∫ ⎜⎜ ⎝ cx + d ⎟⎠ , ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ,.., ⎜⎝ cx + d ⎟⎠⎝⎞⎟ . 70⎟dx⎟⎠4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей∫ R(x,)ax 2 + bx + c dx (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72∫ ax + bx + cdx . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .4.2.2. Интегралы вида ∫ ( Ax + B ) ax + bx + c ⋅ dx . . . . . . . . . . . . .24.2.1. Интегралы видаdx∫ ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41dx(a ≠ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Интегралы вида ∫(x + a )(x + b )3.2. Интегралы видаdx3.4. Интегралы вида24.2.3. Интегралы вида∫4.2.4. Интегралы вида∫dxax 2 + bx + c( Ax + B)dxax 2 + bx + c7274. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл4.2.5. Интегралы вида4.2.6. Интегралы вида4.2.7. Интегралы вида4.2.8. Интегралы вида4.2.9. Интегралы вида∫Pn (x )dxax 2 + bx + cdx∫ (x − α )∫ (x4.2.11. Интегралы вида∫nnax 2 + bx + cax 2 + bx + c∫ R(x,4.2.13. Интегралы вида ∫ R (x,. . . . .

. . . . . . 83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89)a 2 − x 2 dx , а такжеx−a ⎞⎟dx ,x + a ⎟⎠))dx , а такжеa 2 + x 2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93x −a2⎛∫ R⎜⎜ x,⎝2x+a ⎞⎟dx (a > 0) . . . . . . . . . 95x − a ⎟⎠4.2.14. 1-я подстановка Эйлераax 2 + bx + c = t − x a (a > 0) . . 994.2.15. 2-я подстановка Эйлераax 2 + bx + c = xt + c (c > 0) . . 1014.2.16. 3-я подстановка Эйлераa( x − λ )( x − μ ) = t (x − λ ) . . . . .

. . 1024.3. Интегрирование биномиальных дифференциалов∫ x (a + bx )mn p6Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл§ 5. Интегрирование тригонометрических функций∫ R(sin x, cos x )dx , где R – рациональная5.1. Интегралы видафункция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11878⎛a+x⎞∫ R⎜⎜⎝ x, a − x ⎟⎟⎠dx (a > 0) . . . . . . . . . . . 914.2.12. Интегралы вида⎝(n ∈ N ) . . . . . . . . .+ px + q )R( x )dx2∫ R(x,⎛a−x⎞∫ R⎜⎜ x, a + x ⎟⎟dx ,⎠⎝⎛. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . 77ax 2 + bx + cdx∫ (x 2 + a )n ⋅ bx 2 + c (n ∈ Z ) . . . . . . . . . . . . 81xdx∫ (x 2 + a )n ⋅ bx 2 + c (n ∈ Z ) . . . . . . . . . . . . 82( Ax + B )dx4.2.10. Интегралы вида∫ R⎜⎜ x,5dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 1044.4. Умножение на сопряжённое выражение, нестандартные подстановки и другие преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115.1.1. Метод универсальной подстановки. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1185.1.2. Случай, когда5.1.3. Случай, когда5.1.4. Случай, когдаR(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . 119R(sin x,− cos x ) = − R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . . 121R(− sin x,− cos x ) = R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . .121∫ sin x cos xdx (n, m ∈ Z ) . .

. . . . . . . . . . . 1235.2.1. Интегралы вида ∫ sin xdx , ∫ cos xdx (n ∈ N ) . . . . . . . . . . 123n5.2. Интегралы видаmnn5.2.2. Случай, когда n и m – положительные чётные числа. . . . . . . . . . .1255.2.3. Случай, когда n или m – натуральное нечётное число. . . . . . . . . . 1265.2.4. Случай, когда n и m –целые отрицательные числа одной чётности. 1275.2.5. Интегралы вида5.2.6. Случай, когдаndxdxnи- целые отрицательные числа, причём одноmx,∫ cos(n ∈ N ) . . .

. . . . . . . . . . . 128∫ sinnxиз них нечётное. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1315.2.7. Случай, когда один из показателей – чётный, а другой – целыйотрицательный. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . 1315.2.8. Случай, когда один из показателей – нечётный, а другой – целыйотрицательный. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132∫ sin ax cos bxdx , ∫ sin ax sin bxdx ,∫ cos ax cos bxdx , а также ∫ sin ax ⋅ sin bx ⋅ sin cxdx . . . . . . . .

.1335.4. Интегралы вида ∫ tg xdx , ∫ ctg xdx (n ∈ N ) . . . . . . . . . . . . . 134dxdx, ∫ ctg x ⋅, где n ∈ R ,5.5. Интегралы вида ∫ tg x ⋅cos xsin x5.3. Интегралы видаnnnnmmm - чётное натуральное число. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135dxdx5.6. Интегралы вида ∫,∫. . . 135a sin x + b cos x a sin x + b cos x + cdx.

. . . . . . .1385.7. Интегралы вида ∫2a sin x + b sin x ⋅ cos x + c cos 2 xdxdx,∫,5.8. Интегралы вида ∫sin ( x + a )sin ( x + b ) cos(x + a ) cos(x + b )Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл7∫ sin (x + a )cos(x + b ) (a ≠ b) . .