Е.В. Хорошилова - Неопределенный интеграл (1113675)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В. ЛОМОНОСОВАУДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73Х82Факультет вычислительной математики и кибернетикиПечатается по решению Редакционно-издательского советафакультета вычислительной математики и кибернетикиМГУ им. М.В. ЛомоносоваЕ.В. ХорошиловаРецензенты:доценты факультета ВМиК МГУ Мухин С.И., Фомичёв В.В.Хорошилова Е.В.Х82МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗНЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛВ помощь практическим занятиямУчебное пособиедля студентов университетовМатематический анализ: неопределённый интеграл (в помощьпрактическим занятиям): Учеб.
пособие для студентов университетов.– М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (лицензия ИД № 05899 от 24.09.2001 г.), МАКС Пресс, 2007.– 184с.ISBN 978-5-89407-292-0ISBN 978-5-317-02090-3В книге приводятся основные теоретические сведения о неопределённыхинтегралах, рассмотрено большинство известных приёмов и методов интегрирования и различные классы интегрируемых функций (с указанием способовинтегрирования).
Изложение материала подкреплено большим количеством разобранных примеров вычисления интегралов (более 200 интегралов), в концекаждого параграфа приводятся задачи для самостоятельного решения (более200 задач с ответами).Пособие содержит следующие параграфы: «Понятие неопределённогоинтеграла», «Основные методы интегрирования», «Интегрирование рациональных дробей», «Интегрирование иррациональных функций», «Интегрирование тригонометрических функций», «Интегрирование гиперболических, показательных, логарифмических и других трансцендентных функций».Книга предназначена для освоения на практике теории неопределённогоинтеграла, выработки навыков практического интегрирования, закреплениякурса лекций, использования на семинарах и во время подготовки домашнихзаданий.
Цель пособия – помочь студенту в освоении различных приёмов и методов интегрирования.Для студентов университетов, в том числе математических специальностей,изучающих интегральное исчисление в рамках курса математического анализа.УДК 378(075.8):517.521.3ББК 22.161я73МАКС ПРЕССМОСКВА – 2007ISBN 978-5-89407-292-0ISBN 978-5-317-02090-3© Факультет Вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007© Хорошилова Е.В., 2007Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл4СОДЕРЖАНИЕПредисловие. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8§ 1. Понятие неопределённого интеграла1.1. Историческая справка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла. .
141.3. Интегралы, выражаемые и невыражаемые в элементарных функциях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4. Основные свойства неопределённого интеграла. . . . . . . . . .
. . . . 231.5. Таблица простейших интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26§ 2. Основные методы интегрирования2.1. Интегрирование путём сведения к табличным интегралам с помощью простейших преобразований. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2. Интегрирование путём замены переменной∫f (t ( x ))t ′( x )dx == ∫ f (t )dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Интегрирование по частям∫ udv = uv − ∫ vdu . . . .
. . . . . . . . . . 33§ 3. Интегрирование рациональных функций3.1. Интегралы видаax + b∫ cx + d dx (ac ≠ 0; cx + d ≠ 0) . . . . . . . . . .∫ (x + a ) (x + b )3.5. Интегралы вида∫ ax3.6. Интегралы вида∫()3.7. Интегралы вида∫()m40( a ≠ b; m, n ∈ N ) . . . . .
. . 42nAx + Bdx (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44+ bx + cdxn ∈ N , n ≥ 2; b 2 − 4c < 0 . 45n2x + bx + c( Ax + B)dxn ∈ N , n ≥ 2; b 2 − 4c < 0 . 47n2x + bx + c2()()3.8. Метод алгебраических преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.9. Представление рациональных дробей суммой простейших дробей с использованием метода неопределённых коэффициентов. 523.10.
Метод М.В.ОстроградскогоP(x )P1 ( x )P2 ( x )∫ Q(x ) dx = Q (x ) + ∫ Q (x ) dx . 6112Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65§ 4. Интегрирование иррациональных функций4.1. Интегрирование линейных и дробно-линейных иррациональностей4.1.1. Интегралы вида()⎛ax + b ⎞nn⎜,Rx,ax+bdx,Rx∫∫ ⎜ cx + d ⎟⎟dx . . . 68⎝⎠pkp1p2⎛q1 ⎛ ax + b ⎞ q 2qkaxbaxb++⎜⎛⎞⎛⎞4.1.2.
Интегралы R x, ⎜∫ ⎜⎜ ⎝ cx + d ⎟⎠ , ⎜⎝ cx + d ⎟⎠ ,.., ⎜⎝ cx + d ⎟⎠⎝⎞⎟ . 70⎟dx⎟⎠4.2. Интегрирование квадратичных иррациональностей∫ R(x,)ax 2 + bx + c dx (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72∫ ax + bx + cdx . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .4.2.2. Интегралы вида ∫ ( Ax + B ) ax + bx + c ⋅ dx . . . . . . . . . . . . .24.2.1. Интегралы видаdx∫ ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41dx(a ≠ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Интегралы вида ∫(x + a )(x + b )3.2. Интегралы видаdx3.4. Интегралы вида24.2.3. Интегралы вида∫4.2.4. Интегралы вида∫dxax 2 + bx + c( Ax + B)dxax 2 + bx + c7274. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл4.2.5. Интегралы вида4.2.6. Интегралы вида4.2.7. Интегралы вида4.2.8. Интегралы вида4.2.9. Интегралы вида∫Pn (x )dxax 2 + bx + cdx∫ (x − α )∫ (x4.2.11. Интегралы вида∫nnax 2 + bx + cax 2 + bx + c∫ R(x,4.2.13. Интегралы вида ∫ R (x,. . . . .
. . . . . . 83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89)a 2 − x 2 dx , а такжеx−a ⎞⎟dx ,x + a ⎟⎠))dx , а такжеa 2 + x 2 dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93x −a2⎛∫ R⎜⎜ x,⎝2x+a ⎞⎟dx (a > 0) . . . . . . . . . 95x − a ⎟⎠4.2.14. 1-я подстановка Эйлераax 2 + bx + c = t − x a (a > 0) . . 994.2.15. 2-я подстановка Эйлераax 2 + bx + c = xt + c (c > 0) . . 1014.2.16. 3-я подстановка Эйлераa( x − λ )( x − μ ) = t (x − λ ) . . . . .
. . 1024.3. Интегрирование биномиальных дифференциалов∫ x (a + bx )mn p6Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл§ 5. Интегрирование тригонометрических функций∫ R(sin x, cos x )dx , где R – рациональная5.1. Интегралы видафункция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11878⎛a+x⎞∫ R⎜⎜⎝ x, a − x ⎟⎟⎠dx (a > 0) . . . . . . . . . . . 914.2.12. Интегралы вида⎝(n ∈ N ) . . . . . . . . .+ px + q )R( x )dx2∫ R(x,⎛a−x⎞∫ R⎜⎜ x, a + x ⎟⎟dx ,⎠⎝⎛. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 77ax 2 + bx + cdx∫ (x 2 + a )n ⋅ bx 2 + c (n ∈ Z ) . . . . . . . . . . . . 81xdx∫ (x 2 + a )n ⋅ bx 2 + c (n ∈ Z ) . . . . . . . . . . . . 82( Ax + B )dx4.2.10. Интегралы вида∫ R⎜⎜ x,5dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1044.4. Умножение на сопряжённое выражение, нестандартные подстановки и другие преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107Задачи для самостоятельного решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115.1.1. Метод универсальной подстановки. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1185.1.2. Случай, когда5.1.3. Случай, когда5.1.4. Случай, когдаR(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . 119R(sin x,− cos x ) = − R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . . 121R(− sin x,− cos x ) = R(sin x, cos x ) . . . . . . . . . .121∫ sin x cos xdx (n, m ∈ Z ) . .
. . . . . . . . . . . 1235.2.1. Интегралы вида ∫ sin xdx , ∫ cos xdx (n ∈ N ) . . . . . . . . . . 123n5.2. Интегралы видаmnn5.2.2. Случай, когда n и m – положительные чётные числа. . . . . . . . . . .1255.2.3. Случай, когда n или m – натуральное нечётное число. . . . . . . . . . 1265.2.4. Случай, когда n и m –целые отрицательные числа одной чётности. 1275.2.5. Интегралы вида5.2.6. Случай, когдаndxdxnи- целые отрицательные числа, причём одноmx,∫ cos(n ∈ N ) . . .
. . . . . . . . . . . 128∫ sinnxиз них нечётное. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1315.2.7. Случай, когда один из показателей – чётный, а другой – целыйотрицательный. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1315.2.8. Случай, когда один из показателей – нечётный, а другой – целыйотрицательный. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132∫ sin ax cos bxdx , ∫ sin ax sin bxdx ,∫ cos ax cos bxdx , а также ∫ sin ax ⋅ sin bx ⋅ sin cxdx . . . . . . . .
.1335.4. Интегралы вида ∫ tg xdx , ∫ ctg xdx (n ∈ N ) . . . . . . . . . . . . . 134dxdx, ∫ ctg x ⋅, где n ∈ R ,5.5. Интегралы вида ∫ tg x ⋅cos xsin x5.3. Интегралы видаnnnnmmm - чётное натуральное число. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135dxdx5.6. Интегралы вида ∫,∫. . . 135a sin x + b cos x a sin x + b cos x + cdx.
. . . . . . .1385.7. Интегралы вида ∫2a sin x + b sin x ⋅ cos x + c cos 2 xdxdx,∫,5.8. Интегралы вида ∫sin ( x + a )sin ( x + b ) cos(x + a ) cos(x + b )Хорошилова Е.В. Неопределённый интеграл7∫ sin (x + a )cos(x + b ) (a ≠ b) . .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
