А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 9

. , β r , удовлетворяющих условиям: α1 , . . . , αr , β 1 , . . . , β r ∈ R, αk Xk = β k Xk , справедливо утверждение∀k = 1, r(αk = β k ).Будем говорить, что X1 , . . . , Xr — линейно зависимые матрицы, если существуют числаλ1 , . . . , λr , удовлетворяющие условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk Xk = Θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0).Будем говорить, что X1 , . . .

, Xr — линейно независимые матрицы, если для любых чисел λ1 , . . . , λr , удовлетворяющих условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk Xk = Θ, справедливо утверждение ∀k = 1, r(λk = 0).Утверждение (критерий линейной зависимости матриц). Пусть N1 , N2 ∈ N.1. Пусть X ∈ RN2 ×N1 . Матрица X является линейно зависимой тогда и только тогда, когда X = Θ.2. Пусть: r ∈ Z, r > 2, X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 .

Матрицы X1 , . . . , Xr являются линейнозависимыми тогда и только тогда, когда существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющийусловию Xk0 ∈ L(X1 , . . . , Xk0 −1 , Xk0 +1 , . . . , Xr ).Доказательство.1. Пусть X — линейно зависимая матрица. Тогда существует число λ ∈ R, удовлетворяющее условиям: λX = Θ, λ 6= 0. Следовательно, X = Θ.Пусть X = Θ. Тогда 1X = Θ. Так как 1 6= 0, то X — линейно зависимая матрица.2. Пусть X1 , . .

. , Xr — линейно зависимые матрицы. Тогда существуют числаλ1 , . . . , λN ∈ R, удовлетворяющие условиям: λk Xk = Θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Выберем номер k0 = 1, r, удовлетворяющий условию λk0 6= 0. Тогда:λ1 X1 + · · · + λk0 −1 Xk0 −1 + λk0 Xk0 + λk0 +1 Xk0 +1 + · · · + λr Xr = Θ,X k0 =−λk0 −1−λk0 +1−λr−λ1X1 + · · · +Xk0 −1 +Xk0 +1 + · · · +Xr ,λ k0λ k0λ k0λ k0Xk0 ∈ L(X1 , .

. . , Xk0 −1 , Xk0 +1 , . . . , Xr ).Пусть существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющий условию Xk0 ∈L(X1 , . . . , Xk0 −1 , Xk0 +1 , . . . , Xr ). Тогда существуют числа λ1 , . . . , λk0 −1 , λk0 +1 , . . . , λr ∈ R,удовлетворяющие условию:Xk0 = λ1 X1 + · · · + λk0 −1 Xk0 −1 + λk0 +1 Xk0 +1 + · · · + λr Xr .3.2. Линейная комбинация матриц, линейная зависимость матриц37Следовательно:(−λ1 )X1 + · · · + (−λk0 −1 )Xk0 −1 + 1Xk0 + (−λk0 +1 )Xk0 +1 + · · · + (−λr )Xr = Θ.Так как 1 6= 0, то X1 , . . .

, Xr — линейно зависимые матрицы.Утверждение (критерий линейной независимости матриц). Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈N, X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 . Матрицы X1 , . . . , Xr являются линейно независимыми тогдаи только тогда, когда по любой линейной комбинации матриц X1 , . . . , Xr однозначновосстанавливаются её коэффициенты.Доказательство. Пусть X1 , . . . , Xr — линейно независимые матрицы. Пусть: α1 , . . . , αr ,β 1 , .

. . , β r ∈ R, αk Xk = β k Xk . Тогда (αk − β k )Xk = Θ. Так как X1 , . . . , Xr — линейнонезависимые матрицы, то ∀k = 1, r(αk − β k = 0). Тогда ∀k = 1, r(αk = β k ). Следовательно, по любой линейной комбинации матриц X1 , . . . , Xr однозначно восстанавливаются еёкоэффициенты.Пусть по любой линейной комбинации матриц X1 , . . . , Xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть: λ1 , .

. . , λr ∈ R, λk Xk = Θ. Тогда:λ1 X1 + · · · + λr Xr = 0X1 + · · · + 0Xr .Так как по любой линейной комбинации матриц X1 , . . . , Xr однозначно восстанавливаютсяеё коэффициенты, то ∀k = 1, r(λk = 0). Тогда X1 , . . . , Xr — линейно независимые матрицы.Утверждение. Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈ N, X1 , .

. . , Xr , X ∈ RN2 ×N1 , X1 , . . . , Xr —линейно независимые матрицы, X1 , . . . , Xr , X — линейно зависимые матрицы. ТогдаX ∈ L(X1 , . . . , Xr ).Доказательство. Так как X1 , . . . , Xr , X — линейно зависимые матрицы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr+1 ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 X1 + · · · + λr Xr + λr+1 X = Θ, ∃k =1, r + 1(λk 6= 0). Предположим, что λr+1 = 0. Тогда: λ1 X1 + · · · + λr Xr = Θ, ∃k = 1, r(λk 6=0) (что противоречит утверждению: X1 , . .

. , Xr — линейно независимые матрицы). Итак,λr+1 6= 0. Тогда:−λ1−λrX+···+Xr ,1λr+1λr+1X ∈ L(X1 , . . . , Xr ).X=Утверждение. Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈ N, X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 , σ ∈ Sr , Xσ(1) , . . . , Xσ(r) —линейно зависимые матрицы. Тогда X1 , . . . , Xr — линейно зависимые матрицы.Доказательство. Так как Xσ(1) , . .

. , Xσ(r) — линейно зависимые матрицы, то существуют числа λ1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 Xσ(1) + · · · + λr Xσ(r) = Θ,∃m = 1, r(λm 6= 0). Тогда:λσ−1 (1)X1 + · · · + λ σ−1 (r)Xr = Θ,∃k = 1, r(λσ−1 (k)6= 0).Следовательно, X1 , . . .

, Xr — линейно зависимые матрицы.Утверждение. Пусть: N1 , N2 ∈ N; r ∈ N, X1 , . . . , Xr ∈ RN2 ×N1 , r0 ∈ N, k1 , . . . , kr0 = 1, r,k1 < · · · < kr0 , Xk1 , . . . , Xkr0 — линейно зависимые матрицы. Тогда X1 , . . . , Xr — линейнозависимые матрицы.383. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3Доказательство. Так как Xk1 , . . . , Xkr0 — линейно зависимые матрицы, то существуютчисла α1 , . .

. , αr0 ∈ R, удовлетворяющие условиям: α1 Xk1 + · · · + αr0 Xkr0 = Θ, ∃m =1, r0 (αm 6= 0). Обозначим: β k1 = α1 , . . . , β kr0 = αr0 , β k = 0 при: k = 1, r, k ∈/ {k1 , . . . , kr0 }.Тогда:β k1 Xk1 + · · · + β kr0 Xkr0 = Θ,β 1 X1 + · · · + β r Xr = Θ,∃m = 1, r0 (β km 6= 0);∃k = 1, r(β k 6= 0).Следовательно, X1 , . . .

, Xr — линейно зависимые матрицы.3.3. Перемножение матрицОпределение.1. Пусть: N1 , N2 , N3 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 . Обозначим:(BA)ji = Bkj Aki , i = 1, N1 , j = 1, N3 .Очевидно, BA ∈ RN3 ×N1 . Будем говорить, что BA — произведение матриц B, A.2. Пусть N ∈ N. Обозначим:Iij = δij , i = 1, N , j = 1, N .Очевидно, I ∈ RN ×N . Будем говорить, что I — единичная матрица из множества RN ×N .Утверждение.1.

Пусть: N1 , N2 , N3 , N4 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 , C ∈ RN4 ×N3 . Тогда (CB)A =C(BA).2. Пусть: N1 , N2 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 . Тогда: AI1 = A, I2 A = A.3. Пусть: N1 , N2 , N3 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 , B1 , B2 ∈ RN3 ×N2 . Тогда (B1 +B2 )A = B1 A+B2 A.4. Пусть: N1 , N2 , N3 ∈ N; λ ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 .

Тогда (λB)A = λ(BA).5. Пусть: N1 , N2 , N3 ∈ N; A1 , A2 ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 . Тогда B(A1 +A2 ) = BA1 +BA2 .6. Пусть: N1 , N2 , N3 ∈ N; λ ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 . Тогда B(λA) = λ(BA).Доказательство.1. Очевидно, (CB)A, C(BA) ∈ RN4 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N4 . Тогда:N2N3N2 XN2 XN3XXj Xj kjmkj(CB)A i =(CB)k Ai =Cm Bk Ai =(CmBkm )Aki =k=1=N3 XN2Xm=1 k=1k=1jCm(Bkm Aki ) =N3Xm=1jCmm=1N2Xk=1Bkm Aki =k=1 m=1N3Xm=1jjCm(BA)mi = C(BA) i .Следовательно, (CB)A = C(BA).Проделаем аналогичные выкладки, используя правило суммирования Эйнштейна.Очевидно, (CB)A, C(BA) ∈ RN4 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N4 . Тогда:(CB)Ajijjjj= (CB)jk Aki = (CmBkm )Aki = Cm(Bkm Aki ) = Cm(BA)mi = C(BA) i .Следовательно, (CB)A = C(BA).3.3.

Перемножение матриц392. Очевидно, AI1 , A ∈ RN2 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(AI1 )ji = Ajk (I1 )ki = Ajk δik = Aji .Следовательно, AI1 = A.Очевидно, I2 A, A ∈ RN2 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:(I2 A)ji = (I2 )jk Aki = δkj Aki = Aji .Следовательно, I2 A = A.3. Очевидно, (B1 + B2 )A, B1 A + B2 A ∈ RN3 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N3 . Тогда:j(B1 + B2 )A i = (B1 + B2 )jk Aki = (B1 )jk + (B2 )jk Aki = (B1 )jk Aki + (B2 )jk Aki == (B1 A)ji + (B2 A)ji = (B1 A + B2 A)ji .Следовательно, (B1 + B2 )A = B1 A + B2 A.4. Очевидно, (λB)A, λ(BA) ∈ RN3 ×N1 .

Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N3 . Тогда:jj(λB)A i = (λB)jk Aki = (λBkj )Aki = λ(Bkj Aki ) = λ(BA)ji = λ(BA) i .Следовательно, (λB)A = λ(BA).5. Очевидно, B(A1 + A2 ), BA1 + BA2 ∈ RN3 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N3 . Тогда:B(A1 + A2 )ji= Bkj (A1 + A2 )ki = Bkj (A1 )ki + (A2 )ki = Bkj (A1 )ki + Bkj (A2 )ki == (BA1 )ji + (BA2 )ji = (BA1 + BA2 )ji .Следовательно, B(A1 + A2 ) = BA1 + BA2 .6. Очевидно, B(λA), λ(BA) ∈ RN3 ×N1 .

Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N3 . Тогда:B(λA)jij= Bkj (λA)ki = Bkj (λAki ) = λ(Bkj Aki ) = λ(BA)ji = λ(BA) i .Следовательно, B(λA) = λ(BA).Замечание.1. Пусть N1 , N2 ∈ N. Пусть: A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN1 ×N2 . Будем говорить, что матрицы B,A коммутируют, если BA = AB.Пусть: A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN1 ×N2 , матрицы B, A коммутируют. Тогда N2 = N1 .2. Пусть N ∈ N. Пусть A, B ∈ RN ×N . Обозначим, [B, A] = BA − AB. Будем говорить,что [B, A] — коммутатор матриц B, A.Пусть A, B ∈ RN ×N . Матрицы B, A коммутируют тогда и только тогда, когда[B, A] = Θ.3. Пусть: N ∈ N; A, B1 , B2 ∈ RN ×N . Тогда [B1 + B2 , A] = [B1 , A] + [B2 , A].4. Пусть: N ∈ N; λ ∈ R, A, B ∈ RN ×N .

Тогда [λB, A] = λ[B, A].5. Пусть: N ∈ N; A1 , A2 , B ∈ RN ×N . Тогда [B, A1 + A2 ] = [B, A1 ] + [B, A2 ].6. Пусть: N ∈ N; λ ∈ R, A, B ∈ RN ×N . Тогда [B, λA] = λ[B, A].7. Пусть: N ∈ N; A, B ∈ RN ×N . Тогда [A, B] = −[B, A]. 8. Пусть: N ∈ N; A, B, C ∈ RN ×N . Тогда C, [B, A] + A, [C, B] + B, [A, C] = Θ.403.

Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 33.4. Транспонирование матрицыОпределение. Пусть: N1 , N2 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 . Обозначим:(AT )ji = Aij , i = 1, N2 , j = 1, N1 .Очевидно, AT ∈ RN1 ×N2 . Будем говорить, что AT — результат транспонирования матрицыA.Утверждение.1. Пусть: N1 ,2. Пусть: N1 ,3. Пусть: N1 ,4.

Пусть: N1 ,N2 ∈ N; A, B ∈ RN2 ×N1 . Тогда (A + B)T = AT + B T .N2 ∈ N; λ ∈ R, A ∈ RN2 ×N1 . Тогда (λA)T = λAT .N2 , N3 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 , B ∈ RN3 ×N2 . Тогда (BA)T = AT B T .N2 ∈ N; A ∈ RN2 ×N1 . Тогда (AT )T = A.Доказательство.1. Очевидно, (A + B)T , AT + B T ∈ RN1 ×N2 . Пусть: i = 1, N2 , j = 1, N1 . Тогда:j(A + B)T i = (A + B)ij = Aij + Bji = (AT )ji + (B T )ji = (AT + B T )ji .Следовательно, (A + B)T = AT + B T .2. Очевидно, (λA)T , λAT ∈ RN1 ×N2 .

Пусть: i = 1, N2 , j = 1, N1 . Тогда:j(λA)T i = (λA)ij = λAij = λ(AT )ji = (λAT )ji .Следовательно, (λA)T = λAT .3. Очевидно, (BA)T , AT B T ∈ RN1 ×N3 . Пусть: i = 1, N3 , j = 1, N1 . Тогда:j(BA)T i = (BA)ij = Bki Akj = (B T )ki (AT )jk = (AT )jk (B T )ki = (AT B T )ji .Следовательно, (BA)T = AT B T .4. Очевидно, (AT )T , A ∈ RN2 ×N1 . Пусть: i = 1, N1 , j = 1, N2 . Тогда:j(AT )T i = (AT )ij = Aji .Следовательно, (AT )T = A.3.5. След матрицыОпределение.