А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 4

Пусть: α1 , . . . , αr ,β 1 , . . . , β r ∈ R, αk xk = β k xk . Тогда (αk − β k )xk = θ̃. Так как x1 , . . . , xr — линейно независимые столбцы, то ∀k = 1, r(αk − β k = 0). Тогда ∀k = 1, r(αk = β k ). Следовательно, полюбой линейной комбинации столбцов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Пусть по любой линейной комбинации столбцов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ̃. Тогда:λ1 x1 + · · · + λr xr = 0x1 + · · · + 0xr .Так как по любой линейной комбинации столбцов x1 , . . .

, xr однозначно восстанавливаютсяеё коэффициенты, то ∀k = 1, r(λk = 0). Тогда x1 , . . . , xr — линейно независимые столбцы.2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 316Утверждение. Пусть: N ∈ N; r ∈ N, x1 , . . . , xr , x ∈ RN , x1 , . . . , xr — линейно независимые столбцы, x1 , . .

. , xr , x — линейно зависимые столбцы. Тогда x ∈ L(x1 , . . . , xr ).Доказательство. Так как x1 , . . . , xr , x — линейно зависимые столбцы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr+1 ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 x1 + · · · + λr xr + λr+1 x = θ̃,∃k = 1, r + 1(λk 6= 0). Предположим, что λr+1 = 0. Тогда: λ1 x1 + · · · + λr xr = θ̃,∃k = 1, r(λk 6= 0) (что противоречит утверждению: x1 , . . . , xr — линейно независимыестолбцы). Итак, λr+1 6= 0.

Тогда:−λr−λ1x+···+xr ,1λr+1λr+1x ∈ L(x1 , . . . , xr ).x=Замечание (перестановки).1. Пусть M — некоторое множество.Будем говорить, что σ — перестановка множества M , если: σ — обратимая функция,D(σ) = M , R(σ) = M .Обозначим через S(M ) множество всех перестановок множества M .Пусть σ1 , σ2 ∈ S(M ). Обозначим, σ2 σ1 = σ2 ◦ σ1 .

Очевидно: σ2 σ1 — обратимая функция, D(σ2 σ1 ) = x : x ∈ D(σ1 ) ∧ σ1 (x) ∈ D(σ2 ) = x : x ∈ M ∧ σ1 (x) ∈ M = {x : x ∈ M } = M,R(σ2 σ1 ) = (σ2 σ1 )[M ] = σ2 σ1 [M ] = σ2 R(σ1 ) = σ2 [M ] = R(σ2 ) = M.Тогда σ2 σ1 ∈ S(M ).Обозначим: e(x) = x при x ∈ M . Очевидно, e ∈ S(M ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σ −1 — обратимая функция, D(σ −1 ) = R(σ) = M ,R(σ −1 ) = D(σ) = M . Тогда σ −1 ∈ S(M ).Пусть σ1 , σ2 , σ3 ∈ S(M ). Очевидно, (σ3 σ2 )σ1 = σ3 (σ2 σ1 ).Пусть σ ∈ S(M ). Очевидно: σe = σ, eσ = σ.Пусть σ ∈ S(M ).

Очевидно: σσ −1 = e, σ −1 σ = e.2. Пусть: M — некоторое конечное множество, σ — обратимая функция, D(σ) = M ,R(σ) ⊆ M . Так как D(σ) — конечное множество,то R(σ) — конечное множество. Так какσ — обратимаяфункция, то: card R(σ) = card D(σ) = card(M ). Так как: R(σ) ⊆ M ,card R(σ) = card(M ), то R(σ) = M . Тогда σ ∈ S(M ).3. Обозначим, S0 = S(∅).Пусть r ∈ N. Обозначим, Sr = S {1, .

. . , r} .4. Пусть: r ∈ N, k1 , . . . , kr = 1, r, k1 , . . . , kr — различные числа. Обозначим: σ(1) =k1 , . . . , σ(r) = kr . Очевидно: σ — обратимая функция, D(σ) = {1, . . . , r}, R(σ) ⊆ {1, . . . , r}.Тогда σ ∈ Sr .Утверждение. Пусть: N ∈ N; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ RN , σ ∈ Sr , xσ(1) , . . . , xσ(r) — линейнозависимые столбцы. Тогда x1 , .

. . , xr — линейно зависимые столбцы.Доказательство. Так как xσ(1) , . . . , xσ(r) — линейно зависимые столбцы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 xσ(1) +· · ·+λr xσ(r) = θ̃, ∃m = 1, r(λm 6=0). Тогда:λσ−1 (1)x1 + · · · + λσ−1 (r)xr = θ̃,∃k = 1, r(λσСледовательно, x1 , . . .

, xr — линейно зависимые столбцы.−1 (k)6= 0).2.3. Пространства E 1 , E 2 , E 317Утверждение. Пусть: N ∈ N; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ RN , r0 ∈ N, k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · <kr0 , xk1 , . . . , xkr0 — линейно зависимые столбцы. Тогда x1 , . . . , xr — линейно зависимыестолбцы.Доказательство. Так как xk1 , . .

. , xkr0 — линейно зависимые столбцы, то существуют числа α1 , . . . , αr0 ∈ R, удовлетворяющие условиям: α1 xk1 +· · ·+αr0 xkr0 = θ̃, ∃m = 1, r0 (αm 6= 0)./ {k1 , . . . , kr0 }. Тогда:Обозначим: β k1 = α1 , . . . , β kr0 = αr0 , β k = 0 при: k = 1, r, k ∈β k1 xk1 + · · · + β kr0 xkr0 = θ̃,β 1 x1 + · · · + β r xr = θ̃,∃m = 1, r0 (β km 6= 0);∃k = 1, r(β k 6= 0).Следовательно, x1 , . . . , xr — линейно зависимые столбцы.2.3. Пространства E 1 , E 2 , E 3Замечание (пространство E 1 ).

Обозначим через E 1 одномерное евклидово геометрическоепространство. Из аксиом элементарной геометрии непосредственно следует, что E 1 6= ∅.Пусть A, B ∈ E 1 . Обозначим через ρ(A, B) расстояние между точками A, B.Пусть p1 , p2 ∈ E 1 . Будем говорить, что p1 , p2 — аффинно зависимые точки, если p1 = p2 .Пусть: r ∈ Z, r > 3, p1 , . . .

, pr ∈ E 1 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно зависимые точки.Пусть: r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E 1 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, если точки p1 , . . . , pr не являются аффинно зависимыми.Пусть A, B — аффинно независимые точки пространства E 1 .

Обозначим через l+ (A, B)множество всех точек p, удовлетворяющих условиям: p ∈ E 1 и либо p = A, либо точка pлежит между точками A, B, либо p = B, либо точка B лежит между точками A, p. Будемговорить, что l+ (A, B) — луч, выходящий из точки A и проходящий через точку B.Пусть O, I — аффинно независимые точки пространства E 1 . Пусть A ∈ E 1 . ПустьA ∈ l+ (O, I). Обозначим, h(A) = ρ(O,A). Пусть A ∈/ l+ (O, I). Обозначим, h(A) = − ρ(O,A).ρ(O,I)ρ(O,I)1Очевидно: h — обратимая функция, D(h) = E , R(h) = R. Будем говорить, что h —аффинная координатная карта (аффинная система координат) в пространстве E 1 , соответствующая точкам O, I. Пусть A ∈ E 1 .

Будем говорить, что h(A) — координата точкиA в координатной карте h. Очевидно: h(O) = 0, h(I) = 1.Замечание (пространство E 2 ). Обозначим через E 2 двумерное евклидово геометрическоепространство. Из аксиом элементарной геометрии непосредственно следует, что E 2 6= ∅.Пусть A, B ∈ E 2 . Обозначим через ρ(A, B) расстояние между точками A, B.Пусть p1 , p2 ∈ E 2 .

Будем говорить, что p1 , p2 — аффинно зависимые точки, если p1 = p2 .Пусть p1 , p2 , p3 ∈ E 2 . Будем говорить, что p1 , p2 , p3 — аффинно зависимые точки, еслисуществует прямая l, удовлетворяющая условиям: l — прямая в пространстве E 2 , p1 , p2 ,p3 ∈ l.Пусть: r ∈ Z, r > 4, p1 , .

. . , pr ∈ E 2 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно зависимые точки.Пусть: r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E 2 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, если точки p1 , . . . , pr не являются аффинно зависимыми.Пусть l1 , l2 — прямые в пространстве E 2 . Будем писать l1 k l2 , если либо l1 ∩ l2 = ∅,либо l1 = l2 . Утверждение l1 k l2 читается: «прямая l1 параллельна прямой l2 ».182.

Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3Пусть A, B — аффинно независимые точки пространства E 2 . Обозначим через l∗ (A, B)прямую, удовлетворяющую условиям: l∗ (A, B) — прямая в пространстве E 2 , A, B ∈l∗ (A, B).Пусть A, B — аффинно независимые точки пространства E 2 . Обозначим через l+ (A, B)множество всех точек p, удовлетворяющих условиям: p ∈ l∗ (A, B) и либо p = A, либо точкаp лежит между точками A, B, либо p = B, либо точка B лежит между точками A, p. Будемговорить, что l+ (A, B) — луч, выходящий из точки A и проходящий через точку B.Пусть O, I1 , I2 — аффинно независимые точки пространства E 2 . Пусть A ∈ E 2 .

Обозначим через l1 прямую, удовлетворяющую условиям: l1 — прямая в пространстве E 2 ,A ∈ l1 , l1 k l∗ (O, I2 ). Обозначим через A1 точку, удовлетворяющую условиям: A1 ∈ l1 ,1)A1 ∈ l∗ (O, I1 ). Пусть A1 ∈ l+ (O, I1 ). Обозначим, h1 (A) = ρ(O,A. Пусть A1 ∈/ l+ (O, I1 ). Обоρ(O,I1 )1)значим, h1 (A) = − ρ(O,A. Обозначим через l2 прямую, удовлетворяющую условиям: l2 —ρ(O,I1 )прямая в пространстве E 2 , A ∈ l2 , l2 k l∗ (O, I1 ).

Обозначим через A2 точку, удовлетворя2).ющую условиям: A2 ∈ l2 , A2 ∈ l∗ (O, I2 ). Пусть A2 ∈ l+ (O, I2 ). Обозначим, h2 (A) = ρ(O,Aρ(O,I2 )2). Очевидно: h — обратимая функция,Пусть A2 ∈/ l+ (O, I2 ). Обозначим, h2 (A) = − ρ(O,Aρ(O,I2 )22D(h) = E , R(h) = R . Будем говорить, что h — аффинная координатная карта (аффинная система координат) в пространстве E 2 , соответствующая точкам O, I1 , I2 .

ПустьA ∈ E 2 . Будем говорить, что h(A) — столбец координат точки A в координатной карте h.Очевидно: hm (O) = 0 при m = 1, 2; hm (Ik ) = δkm при k, m = 1, 2.Пусть: p1 , p2 , p3 ∈ E 2 , p1 , p2 — аффинно независимые точки, p1 , p2 , p3 — аффиннозависимые точки. Очевидно, p3 ∈ l∗ (p1 , p2 ).Пусть: O, I1 , I2 — аффинно независимые точки пространства E 2 , h — соответствующаяаффинная координатная карта. Очевидно: p ∈ l∗ (O, I1 ) тогда и только тогда, когда: p ∈ E 2 ,h2 (p) = 0.Замечание (пространство E 3 ). Обозначим через E 3 трёхмерное евклидово геометрическоепространство.