А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 6

Пусть: A 6= B, λ < 0. Обозначимчерез P∗ (λ, A, B) точку, удовлетворяющуюусловиям: P∗ (λ, A, B) ∈ l∗ (A, B), P∗ (λ, A, B) ∈/l+ (A, B), ρ A, P∗ (λ, A, B) = (−λ)ρ(A, B).Утверждение 2.1. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки пространства E N , h — соответствующая аффинная координатная карта.→~ N ∃!B ∈ E N (−1. Справедливо утверждение ∀A ∈ E N ∀x ∈ EAB = x).2.

Пусть: A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), (B1 , C1 ) ≈ (B2 , C2 ). Тогда(A1 , C1 ) ≈ (A2 , C2 ).3. Пусть: λ ∈ R, A, B ∈ E N . Тогда h P∗ (λ, A, B) − h(A) = λ h(B) − h(A) .4. Пусть: λ ∈R, A1 , B1 , A2 , B2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ). Тогда A1 , P∗ (λ, A1 , B1 ) ≈A2 , P∗ (λ, A2 , B2 ) .5.

Пусть A1 , A2 ∈ E N . Тогда (A1 , A1 ) ≈ (A2 , A2 ).Доказательство.~N.1. Пусть: A ∈ E N , x ∈ E−→Пусть: B ∈ E N , AB = x. Тогда:−→[AB](h) = [x](h),h(B) − h(A) = [x](h),h(B) = h(A) + [x](h),B = h−1 h(A) + [x](h) .−−→−−→Пусть: B1 ∈ E N , AB1 = x, B2 ∈ E N , AB2 = x. Тогда: B1 = h−1 h(A) + [x](h) ,B2 = h−1 h(A) + [x](h) . Следовательно,B1 = B2 .Пусть B = h−1 h(A) + [x](h) .

Тогда: B ∈ E N ,−→[AB](h) = h(B) − h(A) = h h−1 h(A) + [x](h) − h(A) = h(A) + [x](h) − h(A) = [x](h).−→Согласно второму критерию равенства векторов: B ∈ E N , AB = x.2. Так как: (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), (B1 , C1 ) ≈ (B2 , C2 ), то: h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ),h(C1 ) − h(B1 ) = h(C2 ) − h(B2 ). Тогда:h(C1 ) − h(A1 ) = h(C1 ) − h(B1 ) + h(B1 ) − h(A1 ) == h(C2 ) − h(B2 ) + h(B2 ) − h(A2 ) = h(C2 ) − h(A2 ).Следовательно, (A1 , C1 ) ≈ (A2 , C2 ).3. Утверждение нетрудно доказать, используя определение аффинной координатнойкарты и теорему Фалеса.4. Так как (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), то h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ). Тогда:h P∗ (λ, A1 , B1 ) − h(A1 ) = λ h(B1 ) − h(A1 ) = λ h(B2 ) − h(A2 ) == h P∗ (λ, A2 , B2 ) − h(A2 ).Следовательно, A1 , P∗ (λ, A1 , B1 ) ≈ A2 , P∗ (λ, A2 , B2 ) .2.3.

Пространства E 1 , E 2 , E 3235. Утверждение непосредственно следует из определения эквивалентности упорядоченных пар точек.Утверждение (нетрудно доказать, используя второй пункт утверждения (2.1) и средстваэлементарной геометрии). Пусть N = 1, 3.1. Пусть: A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), (A1 , C1 ) ≈ (A2 , C2 ). Тогда△B1 A1 C1 ∼= △B2 A2 C2 .2. Пусть: A1 , B1 , C1 , A2 , B2 , C2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), (A1 , C1 ) ≈ (A2 , C2 ), A1 6= B1 ,\A1 6= C1 . Тогда: A2 6= B2 , A2 6= C2 , B\1 A1 C1 = B2 A2 C2 .Определение. Пусть N = 1, 3.→−−→−→~ N . Пусть: A, B, C ∈ E N , x = −Пусть x, y ∈ EAB, y = BC. Обозначим, x + y = AC.~ N .

Будем говорить, что {x+y}Очевидно, x+y ∈ E~ N — стандартная операция сложенияx,y∈EN~ . Корректность определения стандартной операции сложенияна множестве E~ N непосредственно следует из: определения вектора, первогона множестве Eпункта утверждения 2.1; первого критерия равенства векторов, второго пунктаутверждения 2.1.−−−−−−−−−→→~ N .

Пусть: A, B ∈ E N , x = −Пусть: λ ∈ R, x ∈ EAB. Обозначим, λx = AP∗ (λ, A, B).~ N . Будем говорить, что {λx}Очевидно, λx ∈ E~ N — стандартная внешняя операцияλ∈R, x∈E~ N . Корректность определения стандартной внешнейумножения на множестве E~ N непосредственно следует из: определеоперации умножения на множестве Eния вектора; первого критерия равенства векторов, четвёртого пункта утверждения 2.1.−→~ N . Будем говорить, что θ — станПусть A ∈ E N .

Обозначим, θ = AA. Очевидно, θ ∈ E~ N . Корректность определения стандартногодартный нулевой элемент множества E~ N непосредственно следует из: утверждениянулевого элемента множества ENE 6= ∅; пятого пункта утверждения 2.1, первого критерия равенства векторов.Утверждение. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . .

. , IN — аффинно независимые точки пространства E N , h — соответствующая аффинная координатная карта.~ N . Тогда [x + y](h) = [x](h) + [y](h).1. Пусть x, y ∈ E~ N . Тогда [λx](h) = λ[x](h).2. Пусть: λ ∈ R, x ∈ E3. Справедливо утверждение [θ](h) = θ̃.Доказательство.−→−−→1. Выберем точки A, B, C, удовлетворяющие условиям: A, B, C ∈ E N , x = AB, y = BC.Тогда:−→[x + y](h) = [AC](h) = h(C) − h(A) = h(B) − h(A) + h(C) − h(B) = [x](h) + [y](h).−→2. Выберем точки, удовлетворяющие условиям: A, B ∈ E N , x = AB. Тогда:−−−−−−−−−→[λx](h) = AP∗ (λ, A, B) (h) = h P∗ (λ, A, B) − h(A) = λ h(B) − h(A) = λ[x](h).3.

Выберем точку A, удовлетворяющую условию A ∈ E N . Тогда:−→[θ](h) = [AA](h) = h(A) − h(A) = θ̃.Утверждение. Пусть N = 1, 3.242. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3~ N . Тогда x + y = y + x.1. Пусть x, y ∈ E~ N . Тогда (x + y) + z = x + (y + z).2. Пусть x, y, z ∈ E~ N . Тогда x + θ = x.3. Пусть x ∈ E~ N .

Тогда x + (−1)x = θ.4. Пусть x ∈ E~ N . Тогда (αβ)x = α(βx).5. Пусть: α, β ∈ R, x ∈ E~ N . Тогда 1x = x.6. Пусть x ∈ E~ N . Тогда (α + β)x = αx + βx.7. Пусть: α, β ∈ R, x ∈ E~ N . Тогда λ(x + y) = λx + λy.8. Пусть: λ ∈ R, x, y ∈ E~ N . Тогда 0x = θ.9. Пусть x ∈ E10. Пусть λ ∈ R. Тогда λθ = θ.~ N .

Существует единственный вектор x, удовлетворяющий услови11. Пусть a, b ∈ EN~ , a + x = b.ям: x ∈ EДоказательство. Пусть: O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки пространства E N ,h — соответствующая аффинная координатная карта.1. Очевидно:[x + y](h) = [x](h) + [y](h) = [y](h) + [x](h) = [y + x](h).Согласно второму критерию равенства векторов, x + y = y + x.2. Очевидно: (x + y) + z (h) = [x](h) + [y](h) + [z](h) = [x](h) + [x](h) + [y](h) = x + (y + z) (h).Согласно второму критерию равенства векторов, (x + y) + z = x + (y + z).3.

Очевидно:[x + θ](h) = [x](h) + θ̃ = [x](h).Согласно второму критерию равенства векторов, x + θ = x.4. Очевидно:x + (−1)x (h) = [x](h) + (−1)[x](h) = θ̃ = [θ](h).Согласно второму критерию равенства векторов, x + (−1)x = θ.5. Очевидно: (αβ)x (h) = (αβ)[x](h) = α β[x](h) = α(βx) (h).Согласно второму критерию равенства векторов, (αβ)x = α(βx).6. Очевидно:[1x](h) = 1[x](h) = [x](h).Согласно второму критерию равенства векторов, 1x = x.7. Очевидно:(α + β)x (h) = (α + β)[x](h) = α[x](h) + β[x](h) = [αx + βx](h).Согласно второму критерию равенства векторов, (α + β)x = αx + βx.2.3.

Пространства E 1 , E 2 , E 3258. Очевидно:λ(x + y) (h) = λ [x](h) + [y](h) = λ[x](h) + λ[y](h) = [λx + λy](h).Согласно второму критерию равенства векторов, λ(x + y) = λx + λy.9. Очевидно:[0x](h) = 0[x](h) = θ̃ = [θ](h).Согласно второму критерию равенства векторов, 0x = θ.10. Очевидно:[λθ](h) = λ[θ](h) = λθ̃ = θ̃ = [θ](h).Согласно второму критерию равенства векторов, λθ = θ.~ N , a + x = b.

Тогда:11. Пусть: x ∈ E(−1)a + (a + x) = (−1)a + b,(−1)a + a + x = (−1)a + b,a + (−1)a + x = (−1)a + b,θ + x = (−1)a + b,x + θ = (−1)a + b,x = (−1)a + b.~ N , a + x1 = b, x2 ∈ E~ N , a + x2 = b. Тогда: x1 = (−1)a + b, x2 = (−1)a + b.Пусть: x1 ∈ EСледовательно, x1 = x2 .~ N , a + x = a + (−1)a + b = a + (−1)a + b =Обозначим, x = (−1)a + b.

Тогда: x ∈ Eθ + b = b + θ = b.Определение. Пусть N = 1, 3.~ N . Обозначим, −x = (−1)x. Очевидно: −x ∈ E~ N , x + (−x) = θ. БудемПусть x ∈ Eговорить, что −x — противоположный вектор к вектору x.~ N . Обозначим, y − x = (−1)x + y. Очевидно: y − x ∈ E~ N , x + (y − x) = y.Пусть x, y ∈ EБудем говорить, что y − x — разность векторов y, x.Утверждение. Пусть N = 1, 3.1.

Справедливо утверждение E N 6= ∅.−→ −−→ −→2. Пусть A, B, C ∈ E N . Тогда AB + BC = AC.→~ N ∃!B ∈ E N (−3. Справедливо утверждение ∀A ∈ E N ∀x ∈ EAB = x).−→4. Пусть A ∈ E N . Тогда AA = θ.−→5. Пусть: A, B ∈ E N , AB = θ. Тогда A = B.−→ −→6. Пусть A, B ∈ E N . Тогда (−1)AB = BA.Доказательство.1. Утверждение обсуждалось выше.2. Утверждение непосредственно следует из определения суммы векторов.3. Утверждение обсуждалось выше.4. Утверждение непосредственно следует из определения нулевого вектора.−→−→5. Очевидно, AA = θ. По условию, AB = θ. Тогда A = B.−→−→−→ −→ −→−→6.

Очевидно, AB+(−1)AB = θ. С другой стороны: AB+BA = AA = θ. Тогда (−1)AB =−→BA.2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3262.4. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторовОпределение (линейная комбинация векторов). Пусть: N = 1, 3; r ∈ N, λ1 , . . . , λr ∈ R,~N.x1 , . . . , xr ∈ ENPБудем говорить, чтоλk xk — линейная комбинация векторов x1 , . .

. , xr с коэффициентами λ1 , . . . , λr .k=1Далее часто будем писать λk xk вместоNPλk xk (частный случай правила суммированияk=1Эйнштейна).Определение (линейная оболочка векторов, линейная зависимость векторов, линейная~N.независимость векторов). Пусть: N = 1, 3; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ EОбозначим:L(x1 , . . . , xr ) = {λk xk : λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R} == u : ∃λ1 · · · ∃λr (λ1 ∈ R ∧ · · · ∧ λr ∈ R ∧ u = λk xk ) .~ N . Будем говорить, что L(x1 , . . .

, xr ) — линейная оболочкаОчевидно, L(x1 , . . . , xr ) ⊆ Eвекторов x1 , . . . , xr . Пусть k = 1, r. Тогда: xk = δkm xm ∈ L(x1 , . . . , xr ).Будем говорить, что по любой линейной комбинации векторов x1 , . . . , xr однозначновосстанавливаются её коэффициенты, если для любых чисел α1 , . . . , αr , β 1 , . . . , β r , удовлетворяющих условиям: α1 , .

. . , αr , β 1 , . . . , β r ∈ R, αk xk = β k xk , справедливо утверждение∀k = 1, r(αk = β k ).Будем говорить, что x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы, если существуют числаλ1 , . . . , λr , удовлетворяющие условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0).Будем говорить, что x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, если для любых чиселλ1 , .