А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 32

Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).~ 2 , N∗ (M0 ) 6= θ. Будем говорить,Обозначим, N∗ (M0 ) = −pe1 + x20 e2 . Тогда: N∗ (M0 ) ∈ Eчто N — нормальный вектор к параболе l в точке M0 , если N ∈ L N∗ (M0 ) .~ 2 , τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), τ∗ (M0 ) 6= θ.Обозначим, τ∗ (M0 ) = x20 e1 + pe2 . Тогда: τ∗ (M0 ) ∈ EБудем говорить, что τ — касательный вектор к параболе l в точке M0 , если τ ∈ L τ∗ (M0 ) .Обозначим через l∗ (M0 ) прямую, удовлетворяющую условиям: l∗ (M0 ) — прямая в пространстве E 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальный вектор к прямой l∗ (M0 ). Будем говорить, что l∗ (M0 ) — касательная прямая к параболе l в точке M0 .14213.

Кривые второго порядка−−−→Утверждение.Пусть ψ : R → l. Обозначим: ψ1 (t) = Oψ(t) при t ∈ D(ψ); ψ2 (t) =hO,e ψ(t) при t ∈ D(ψ).Пусть: t0 ∈ R, ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 . Обозначим: M0 = ψ(t0 ),x0 = ψ2 (t0 ). Тогда: ψ̇1 (t0 ) ⊥ N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — касательный вектор к параболе l в точкеM0 .Доказательство. Пусть t ∈ D(ψ). Тогда ψ(t) ∈ l.

Следовательно:ψ22 (t)2= 2pψ21 (t).Так как ψ1 — дифференцируемая функция в точке t0 , то:2ψ22 (t0 )ψ̇22 (t0 ) = 2pψ̇21 (t0 ),−pψ̇21 (t0 ) + x20 ψ̇22 (t0 ) = 0,N∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) = 0.Так как: N∗ (M0 ) 6= θ, τ∗ (M0 ) ⊥ N∗ (M0 ), то τ∗ (M0 ), ψ̇1 (t0 ) — линейно зависимые векторы.Так как τ∗ (M0 ) 6= θ, то ψ̇1 (t0 ) ∈ L τ∗ (M0 ) .Замечание (уравнение касательной прямой к параболе). Пусть: M0 ∈ l, x0 = hO,e (M0 ).Тогда (x20 )2 = 2px10 .Так как: l∗ (M0 ) — прямая в пространствеE 2 , M0 ∈ l∗ (M0 ), N∗ (M0 ) — нормальныйвектор к прямой l∗ (M0 ), то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:−p(x1 − x10 ) + x20 (x2 − x20 ) = 0, x ∈ R2 ;x20 x2 = p(−x10 + x1 ) + (x20 )2 , x ∈ R2 ;x20 x2 = p(x10 + x1 ) + (x20 )2 − 2px10 , x ∈ R2 .Так как (x20 )2 = 2px10 , то hO,e l∗ (M0 ) — множество решений уравнения:x20 x2 = p(x10 + x1 ), x ∈ R2 .−−−→Утверждение (оптическое свойство параболы).

Пусть M0 ∈ l. Тогда ϕ N∗ (M0 ), F M0 =ϕ N∗ (M0 ), −e1 .Доказательство. Обозначим, x0 = hO,e (M0 ). Так как M0 ∈ l, то: (x20 )2 = 2px10 , r(M0 ) =p/2 + x10 .−−−→Очевидно: kF M0 k = ρ(F, M0 ) = ρ(M0 , F ) = r(M0 ).−−−→Очевидно, [F M0 ](e) = (x10 − p/2, x20 )T . Так как: (x20 )2 = 2px10 , r(M0 ) = p/2 + x10 , то:−−−→N∗ (M0 ), F M0 = −p(x10 − p/2) + x20 x20 = (x20 )2 + p(p/2 − x10 ) = (x20 )2 − 2px10 + p(p/2 + x10 ) == pr(M0 ).−−−→Так как M0 ∈ l, то F M0 6= θ. Так как N∗ (M0 ) 6= θ, то:−−−→ N∗ (M0 ), F M0−−−→pr(M0 )ϕ N∗ (M0 ), F M0 = arccos = arccos −−→N∗ (M0 )r(M0 ) =N∗ (M0 ) · k−F M0 k13.4. Парабола143p= arccos .N∗ (M0 )Очевидно: k − e1 k = ke1 k = 1.Очевидно, [−e1 ](e) = (−1, 0)T . Тогда:N∗ (M0 ), −e1 = −p(−1) + x20 0 = p.Так как: N∗ (M0 ) 6= θ, −e1 6= θ, то:ϕ N∗ (M0 ), −e1 N∗ (M0 ), −e1p= arccos N∗ (M0 ) · k − e1 k = arccos N∗ (M0 ) .−−−→Итак: ϕ N∗ (M0 ), F M0 = arccosp|N∗ (M0 )|= ϕ N∗ (M0 ), −e1 .14414.

Поверхности второго порядкаЛекция 14. Поверхности второго порядкаОпределение. Будем говорить, что σ — поверхность второго порядка в пространстве E 3 ,если: σ ⊆ E 3 ; существуют объекты O, e, A, B, C, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e —~ 3 , A ∈ R3×3 , AT = A, A 6= Θ, B ∈ R1×3 , C ∈ R, hO,e [σ] — множествобазис пространства Eвсех решений уравнения:Ak,m xk xm + 2Bm xm + C = 0,x ∈ R3 .Утверждение (без доказательства).

Пусть σ — поверхность второго порядка в пространстве E 3 . Тогда σ является одним из следующих множеств.1. Эллипсоид.2. Множество, состоящее из одной точки.3. Пустое множество.4. Однополостный гиперболоид.5. Конус второго порядка.6. Двуполостный гиперболоид.7. Эллиптический параболоид.8. Гиперболический параболоид.9. Эллиптический цилиндр.10.

Прямая.11. Гиперболический цилиндр.12. Объединение двух плоскостей, пересекающихся по прямой.13. Параболический цилиндр.14. Объединение двух плоскостей, не имеющих общих точек.15. Плоскость.Замечание.1. Будем говорить, что σ — эллипсоид в пространстве E 3 , если: σ ⊆ E 3 ; существуютобъекты O, e, a, b, c, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый ортонормированный~ 3 , a, b, c ∈ R, 0 < c 6 b 6 a, hO,e [σ] — множество всех решенийбазис пространства Eуравнения:(x1 )2 (x2 )2 (x3 )2+ 2 + 2 = 1,a2bc3x∈R .2. Будем говорить, что σ — однополостный гиперболоид в пространстве E 3 , если: σ ⊆E 3 ; существуют объекты O, e, a, b, c, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый~ 3 , a, b ∈ R, 0 < b 6 a, c ∈ (0, +∞), hO,e [σ] —ортонормированный базис пространства Eмножество всех решений уравнения:(x1 )2 (x2 )2 (x3 )2+ 2 − 2 = 1,a2bcx ∈ R3 .3.

Будем говорить, что σ — конус второго порядка в пространстве E 3 , если: σ ⊆ E 3 ;существуют объекты O, e, a, b, c, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый ор~ 3 , a, b ∈ R, 0 < b 6 a, c ∈ (0, +∞), hO,e [σ] —тонормированный базис пространства E14. Поверхности второго порядка145множество всех решений уравнения:(x1 )2 (x2 )2 (x3 )2+ 2 − 2 = 0,a2bcx ∈ R3 .4. Будем говорить, что σ — двуполостный гиперболоид в пространстве E 3 , если: σ ⊆E 3 ; существуют объекты O, e, a, b, c, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый~ 3 , a, b ∈ R, 0 < b 6 a, c ∈ (0, +∞), hO,e [σ] —ортонормированный базис пространства Eмножество всех решений уравнения:(x1 )2 (x2 )2 (x3 )2+ 2 − 2 = −1,a2bcx ∈ R3 .5.

Будем говорить, что σ — эллиптический параболоид в пространстве E 3 , если: σ ⊆E 3 ; существуют объекты O, e, a, b, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый~ 3 , a, b ∈ R, 0 < b 6 a, hO,e [σ] — множество всехортонормированный базис пространства Eрешений уравнения:x3 =(x1 )2 (x2 )2+ 2 ,a2b3x∈R .6.

Будем говорить, что σ — гиперболический параболоид в пространстве E 3 , если: σ ⊆E ; существуют объекты O, e, a, b, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — правый~ 3 , a, b ∈ (0, +∞), hO,e [σ] — множество всехортонормированный базис пространства Eрешений уравнения:3x3 =(x1 )2 (x2 )2− 2 ,a2b3x∈R .Теорема. Пусть: σ — однополостный гиперболоид в пространстве E 3 , P0 ∈ σ. Существуют существуют прямые l1 , l2 , удовлетворяющие условиям:1. l1 — прямая в пространстве E 3 , P0 ∈ l1 , l1 ⊆ σ; l2 — прямая в пространстве E 3 ,P0 ∈ l2 , l2 ⊆ σ; l1 6= l2 ;2. для любой прямой l, удовлетворяющей условиям: l — прямая в пространстве E 3 ,P0 ∈ l, l ⊆ σ, справедливо утверждение: l = l1 ∨ l = l2 .Доказательство. Так как σ — однополостный гиперболоид в пространстве E 3 , то: σ ⊆ E 3 ;существуют объекты O, e, a, b, c, удовлетворяющие условиям: O ∈ E 3 , e — ортонорми~ 3 , a, b, c ∈ (0, +∞), hO,e [σ] — множество всех решенийрованный базис пространства Eуравнения:(x1 )2 (x2 )2 (x3 )2+ 2 − 2 = 1,a2bc3x∈R .Обозначим, x0 = hO,e (P0 ).

Так как P0 ∈ σ, то x0 ∈ hO,e [σ]. Тогда:(x10 )2 (x20 )2 (x30 )2+ 2 − 2 = 1,a2bc14614. Поверхности второго порядкаx0 ∈ R3 .Тогда x10 6= 0 ∨ x20 6= 0. Без ограничения общности можно считать, что x10 6= 0.Пусть: l — прямая в пространстве E 3 , P0 ∈ l. Пусть τ — направляющий вектор прямой~ 3 , τ 6= θ.

Обозначим, y = [τ ](e). Тогда: y ∈ R3 , y 6= θ̃. Очевидно, hO,e [l] —l. Тогда: τ ∈ Eмножество всех решений параметрического уравнения:∃t ∈ R(x = x0 + ty).Запишем необходимые и достаточные условия того, что l ⊆ σ:hO,e [l] ⊆ hO,e [σ];x0 + ty ∈ hO,e [σ], t ∈ R;(x10 + ty 1 )2 (x20 + ty 2 )2 (x30 + ty 3 )2+−= 1, t ∈ R;a2b2c2 (y 1 )2 (y 2 )2 (y 3 )2 x1(x10 )2 (x20 )2 (x30 )2x20 2 x30 3 0 1t++−+2y+y−y+ 2 − 2 t2 = 1, t ∈ R;a2b2c2a2b2c2a2bc x1231 22 23 2xx(y )(y )(y )2 20 y 1 + 20 y 2 − 20 y 3 t ++ 2 − 2 t2 = 0, t ∈ R;2ababcc123xxx0 1y + 20 y 2 − 20 y 3 = 0,a2bc11 (y 1 )2 + (y 2 )2 − 1 (y 3 )2 = 0;a2b2c2a2 x20 2 x30 3 1y = − 1 2y − 2y ,x0 bc2232 a1x0 2 x0 31 1+ 2 (y 2 )2 − 2 (y 3 )2 = 0;y − 2y22(x ) bcbc 02 23a xxy 1 = − 1 20 y 2 − 20 y 3 ,x0 bc31 21222 x0 y 2 − x0 y 3 + (x0 ) (y 2 )2 − (x0 ) (y 3 )2 = 0;b2c2a2 b 2a2 c 232 2a x0 2 x0 3 1y = − 1 2y − 2y ,x0 bc 1 22 31 22 23 2 1 (x0 ) + (x0 ) (y 2 )2 − 2x0 x0 y 2 y 3 − 1 (x0 ) − (x0 ) (y 3 )2 = 0;b2 a2b2b2 c 2c 2 a2c232 2xa xy 1 = − 1 20 y 2 − 20 y 3 ,x0 bc322 223 1 1 + (x0 ) (y 2 )2 − 2x0 x0 y 2 y 3 − 1 1 − (x0 ) (y 3 )2 = 0.b2c2b2 c 2c2b2Обозначим через Q1 множество всех прямых l, удовлетворяющих условиям: l — прямая в пространстве E 3 , P0 ∈ l, l ⊆ σ.

Обозначим через Q2 множество всех векторов τ ,удовлетворяющих условиям: существует прямая l, удовлетворяющая условиям: l ∈ Q1 ,τ — направляющий вектор прямой l. Обозначим через Q3 множество всех столбцов y,удовлетворяющих условиям: существует вектор τ , удовлетворяющий условиям: τ ∈ Q2 ,14. Поверхности второго порядка147y = [τ ](e). Очевидно, Q3 — множество всех решений уравнения:a2 x20 2 x30 3 1y=−y − 2y ,x10 b2c3 22 3(x0 )2x0 x0 2 3(x20 )2 3 2112 21+(y)−1−(y ) = 0,yy−222 c222bcbcby ∈ R3 , y 6= θ̃;a2 x20 2 x30 3 1y=−y − 2y ,x10 b2c3 22 31(x0 )2x0 x0 2 3(x20 )2 3 212 21+(y)−1−(y ) = 0,yy−c2b2 c 2c2b2 b2y 2 , y 3 ∈ R, y 3 6= 0.2Сделаем замену: α = yy3 , β = y 3 , y 2 , y 3 ∈ R, y 3 6= 0; y 2 = αβ, y 3 = β, α, β ∈ R, β 6= 0.

Тогда:y 2 = αβ, y 3 = β, α, β ∈ R, β 6= 0,x3 a2 x 2y 1 = − 1 20 α − 20 β,x0 bc 32231(x0 )2x0 x0(x20 )2 121+ 2 α − 2 2 α− 2 1− 2= 0;2cbccbbα, β ∈ R, β 6= 0, 2 2x30x0aα−−12c2  x0 by= β,α11(x30 )2 2 2x20 x30(x20 )2 11+ 2 α − 2 2 α− 2 1− 2= 0.b2cbccbОбозначим через D дискриминант полученного квадратного уравнения. Тогда: 2x2 x3 2(x30 )2 (x20 )2 4 0 0D=1− 2=+ 2 2 1+ 2b2 c 2bccb4 (x2 )2 (x3 )2(x2 )2 (x3 )2 (x2 )2 (x3 )2 4 = 2 2 0 2 2 0 + 2 2 1 − 02 + 02 − 0 2 2 0=bcbcbcbcbc4 (x20 )2 (x30 )2 4(x10 )2= 2 2 1− 2 + 2= 2 2 2 > 0.bcbcabcСледовательно, существуют такие числа α1 , α2 , что: α1 , α2 — все различные решенияполученного квадратного уравнения. Обозначим: 2 2 2 2x3x3xx− xa1 b20 α1 − c20− xa1 b20 α2 − c20 0 0y1 =  , y1 = .α1α211Тогда: y1 , y2 ∈ R3 , y1 , y2 — линейно независимые столбцы.

Очевидно, необходимые идостаточные условия того, что l ⊆ σ можно записать в виде:(β ∈ R, β 6= 0,y = y1 β ∨ y = y2 β.148Список литературы~ τ1 , τ2 — линейно независимыеОбозначим: τ1 = Ue (y1 ), τ2 = Ue (y2 ). Тогда: τ1 , τ2 ∈ Q,векторы. Очевидно, необходимые и достаточные условия того, что l ⊆ σ можно записатьв виде:(β ∈ R, β 6= 0,τ = τ1 β ∨ τ = τ2 β.Пусть: l1 — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l1 , τ1 — направляющий вектор прямой l1 ,l2 — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l2 , τ2 — направляющий вектор прямой l2 .

Тогда: l1 ⊆ σ,l2 ⊆ σ, l1 6= l2 .Пусть: l — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l, l ⊆ σ. Пусть τ — направляющий вектор прямой l. Тогда существует такое число β, что: β ∈ R, β 6= 0, τ = τ1 β ∨ τ = τ2 β.Следовательно, l = l1 ∨ l = l2 .Теорема. Пусть: Q — аффинное евклидово пространство над полем R, dim(Q) = 3,Q — ориентированное пространство; σ — гиперболический параболоид в пространствеQ, P0 ∈ σ.1. Существуют такие объекты l1 , l2 , что: l1 — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l1 ,l1 ⊆ σ, l2 — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l2 , l2 ⊆ σ, l1 6= l2 .2. Пусть: l — прямая в пространстве Q, P0 ∈ l, l ⊆ σ.

Тогда l = l1 ∨ l = l2 .Список литературы[1] Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.[2] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.[3] Крутицкая Н. Ч., Тихонравов А. В., Шишкин А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями.[4] Винберг Э. Б. Курс алгебры.[5] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.[6] Бутузов В.

Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах.[7] Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии..