А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрияБадьин А. В.СодержаниеСодержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Логико-математическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1. Логические связки . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Кванторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Теория функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Числовые системы . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1. Пространство RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.

Линейная комбинация столбцов, линейная зависимость столбцов2.3. Пространства E 1 , E 2 , E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов3. Матричная алгебра. Определители порядков 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . .3.1. Пространство RN2 ×N1 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Линейная комбинация матриц, линейная зависимость матриц .3.3. Перемножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4. Транспонирование матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5. След матрицы . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.6. Определители порядков 1, 2, 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Скалярное, векторное, смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . .4.1. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .~N . . .

. . . . . . . . . .4.2. Правые и левые базисы пространства E4.3. Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . .5. Прямые в пространстве E 2 . Прямые и плоскости в пространстве E 3 . .5.1. Прямые в пространстве E 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2. Плоскости в пространстве E 3 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .5.3. Прямые в пространстве E 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1. Определение комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2. Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . . .

. . . . .6.3. Основные функции комплексной переменной . . . . . . . . . . .7. Линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . .7.2. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов............................................................................................................................................133456101012121417263333353840404145454951575759616464666972727927.3.

Подпространство линейного пространства . . . . . . . .7.4. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . .8. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.1. Базис линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . .8.2. Размерность линейного пространства . . . . . . . . .

. .9. Определитель матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.1. Определение определителя. Теория перестановок . . . .9.2. Существование и единственность определителя . . . . .9.3. Основные свойства определителя . . . . . . . .

. . . . .9.4. Метод Гаусса—Жордана для вычисления определителя10. Размерность линейного пространства. Ранг матрицы . . . . . .10.1. Теорема о базисном миноре . . . . . . . . . . . . . . . .10.2. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.11. Линейные операторы. Изоморфизмы линейных пространств .12. Система линейных алгебраических уравнений . . . . . . . . . .12.1. Линейное операторное уравнение . . . . . . . . . . . . .12.2. Система линейных алгебраических уравнений . . . . . .13. Кривые второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .13.1. Определение кривой второго порядка . . . . . . . . . . .13.2. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.4. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .14. Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................................................................................................................................................................................828891919497971011031061081081101141211211221271271271331401441481. Логико-математическая символика3Лекция 1. Логико-математическая символика1.1.

Логические связкиЛогическими связками называются значки: ¬ (отрицание), ∧ (конъюнкция), ∨ (дизъюнкция), =⇒ (импликация), ⇐⇒ (эквивалентность).Пусть A — утверждение. Обозначим через ¬A утверждение, истинностное значениекоторого можно найти с помощью таблицы:A01¬A1 .0Утверждение ¬A читается: «неверно, что A» или «не A». Очевидно, роль отрицания вматематическом языке похожа на роль частицы «не» в разговорном языке.Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ∧ B) утверждение, истинностное значение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A ∧ B)00.01Утверждение (A ∧ B) читается: «A и B».

Далее часто будем писать A ∧ B вместо (A ∧ B).Будем говорить, что A, B — члены конъюнкции A ∧ B. Очевидно, роль конъюнкции вматематическом языке похожа на роль союза «и» в разговорном языке.Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ∨ B) утверждение, истинностное значение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A ∨ B)01.11Утверждение (A∨B) читается: «A или B». Далее часто будем писать A∨B вместо (A∨B).Будем говорить, что A, B — члены дизъюнкции A ∨ B. Внимание! Дизъюнкция истинных утверждений истинна. Очевидно, роль дизъюнкции в математическом языкепохожа на роль союза «или» в разговорном языке (если союз «или» употребляется в соединительном смысле).Пусть A, B — утверждения.

Обозначим через (A =⇒ B) утверждение, истинностноезначение которого можно найти с помощью таблицы:A B0 00 11 01 1(A =⇒ B)11.0141. Логико-математическая символикаУтверждение (A =⇒ B) читается: «если A, то B» или «из A следует B». Далее часто будем писать A =⇒ B вместо (A =⇒ B). Будем говорить, что: A — посылка импликацииA =⇒ B; B — заключение импликации A =⇒ B.

Внимание! Импликация с ложнойпосылкой всегда истинна. Очевидно, роль импликации в математическом языке похожа на роль оборота «если. . . , то. . . » в разговорном языке (если при употреблении этогооборота считается, что из лжи следует всё, что угодно).Пусть A, B — утверждения. Обозначим через (A ⇐⇒ B) утверждение, истинностноезначение которого можно найти с помощью таблицы:A0011B0101(A ⇐⇒ B)10.01Утверждение (A ⇐⇒ B) читается: «A справедливо тогда и только тогда, когда Bсправедливо» или «A эквивалентно B». Далее часто будем писать A ⇐⇒ B вместо(A ⇐⇒ B). Очевидно, роль эквивалентности в математическом языке похожа на рольоборота «.

. . тогда и только тогда, когда. . . » в разговорном языке.Замечание. Пусть A, B, C — утверждения. Используя истинностные таблицы, нетруднодоказать:¬¬A ⇐⇒ A,(A ∧ B) ⇐⇒ (B ∧ A),(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C) ,(A ∨ B) ⇐⇒ (B ∨ A),(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (A ∨ C) ,(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B),(A ⇐⇒ B) ⇐⇒ (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ A) ,A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ,A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ,¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B),¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B).Очевидно:¬(A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ ¬B).1.2.

КванторыКванторами называются значки: ∀ (квантор общности или квантор всеобщности), ∃ (квантор существования).Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать ∀xA(x),если для любого допустимого объекта x справедливо A(x).Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать ∃xA(x),если существует допустимый объект x, удовлетворяющий условию A(x).1.3. Теория множеств5Пусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x. Будем писать∃!xA(x), если:∃xA(x) ∧ ∀x∀y A(x) ∧ A(y) =⇒ x = y .Утверждение ∃!xA(x) читается: «существует единственный допустимый объект x, удовлетворяющий условию A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x.

Будем писать∀x B(x) A(x), если:∀x B(x) =⇒ A(x) .Утверждение ∀x B(x) A(x) читается: «для любого допустимого объекта x, удовлетворяющего условию B(x), справедливо A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x. Будем писать∃x B(x) A(x), если:∃x B(x) ∧ A(x) .Утверждение ∃x B(x) A(x) читается: «существует допустимый объект x, удовлетворяющий условию B(x), такой, что A(x)».Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x.

Будем писать∃!x B(x) A(x), если:∃!x B(x) ∧ A(x) .Утверждение ∃!x B(x) A(x) читается: «существует единственный допустимый объект x,удовлетворяющий условию B(x), такой, что A(x)».Замечание. Пусть A(x), B(x) — утверждения относительно допустимого объекта x. Очевидно:¬∀xA(x)¬∃xA(x)¬∀x B(x) A(x)¬∃x B(x)]A(x)1.3. Теория множеств⇐⇒ ∃x¬A(x),⇐⇒ ∀x¬A(x),⇐⇒ ∃x B(x) ¬A(x),⇐⇒ ∀x B(x)]¬A(x).Пусть A — множество. Будем писать x ∈ A, если x принадлежит множеству A.Пусть: A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x, Q — множество.Далее часто будем писать: ∀x ∈ Q A(x) вместо ∀x[x ∈ Q]A(x); ∃x ∈ Q A(x) вместо∃x[x ∈ Q]A(x); ∃!x ∈ Q A(x) вместо ∃!x[x ∈ Q]A(x).

Утверждение ∀x[x ∈ Q]A(x) можночитать: «для любого допустимого объекта x, принадлежащего множеству Q, справедливоA(x)». Утверждение ∃x ∈ Q A(x) можно читать: «существует допустимый объект x, принадлежащий множеству Q, удовлетворяющий условию A(x)». Утверждение ∃!x ∈ Q A(x)можно читать: «существует единственный допустимый объект x, принадлежащий множеству Q, удовлетворяющий условию A(x)».Пусть A, B — множества. Тогда:A = B ⇐⇒ ∀x(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).61. Логико-математическая символикаПусть A(x) — утверждение относительно допустимого объекта x.

Пусть существуетмножество Q, удовлетворяющее условию: Q — множество всех допустимых объектов x,удовлетворяющих условию A(x). Тогда существует единственное множество Q, удовлетворяющее условию: Q — множество всех допустимых объектов x, удовлетворяющих условиюA(x). Обозначим через x : A(x) множество всех допустимых объектов x, удовлетворяющих условию A(x).Будем говорить, что A — пустое множество, если: A — множество, ∀x(x ∈/ A). Существует единственное множество A, удовлетворяющее условию: A — пустое множество.Обозначим через ∅ пустое множество.Пусть A — множество. Будем писать B ⊆ A, если: B — множество, ∀x(x ∈ B =⇒x ∈ A).