А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 5

Из аксиом элементарной геометрии непосредственно следует, что E 3 6= ∅.Пусть A, B ∈ E 3 . Обозначим через ρ(A, B) расстояние между точками A, B.Пусть p1 , p2 ∈ E 3 . Будем говорить, что p1 , p2 — аффинно зависимые точки, если p1 = p2 .Пусть p1 , p2 , p3 ∈ E 3 . Будем говорить, что p1 , p2 , p3 — аффинно зависимые точки, еслисуществует прямая l, удовлетворяющая условиям: l — прямая в пространстве E 3 , p1 , p2 ,p3 ∈ l.Пусть p1 , p2 , p3 , p4 ∈ E 3 . Будем говорить, что p1 , p2 , p3 , p4 — аффинно зависимые точки,если существует плоскость π, удовлетворяющая условиям: π — плоскость в пространствеE 3 , p1 , p2 , p3 , p4 ∈ π.Пусть: r ∈ Z, r > 5, p1 , . .

. , pr ∈ E 3 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно зависимые точки.Пусть: r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E 3 . Будем говорить, что p1 , . . . , pr — аффинно независимые точки, если точки p1 , . . . , pr не являются аффинно зависимыми.Пусть l1 , l2 — прямые в пространстве E 3 . Будем писать l1 k l2 , если:1. существует плоскость π, удовлетворяющая условиям: π — плоскость в пространстве3E , l1 , l2 ⊆ π;2. либо l1 ∩ l2 = ∅, либо l1 = l2 .Утверждение l1 k l2 читается: «прямая l1 параллельна прямой l2 ».Пусть A, B — аффинно независимые точки пространства E 3 . Обозначим через l∗ (A, B)прямую, удовлетворяющую условиям: l∗ (A, B) — прямая в пространстве E 3 , A, B ∈l∗ (A, B).2.3.

Пространства E 1 , E 2 , E 319Пусть A, B — аффинно независимые точки пространства E 3 . Обозначим через l+ (A, B)множество всех точек p, удовлетворяющих условиям: p ∈ l∗ (A, B) и либо p = A, либо точкаp лежит между точками A, B, либо p = B, либо точка B лежит между точками A, p.

Будемговорить, что l+ (A, B) — луч, выходящий из точки A и проходящий через точку B.Пусть π1 , π2 — плоскости в пространстве E 3 . Будем писать π1 k π2 , если либо π1 ∩π2 = ∅,либо π1 = π2 . Утверждение π1 k π2 читается: «плоскость π1 параллельна плоскости π2 ».Пусть A, B, C — аффинно независимые точки пространства E 3 . Обозначим черезπ∗ (A, B, C) плоскость, удовлетворяющую условиям: π∗ (A, B, C) — плоскость в пространстве E 3 , A, B, C ∈ π∗ (A, B, C).Пусть: O, I1 , I2 , I3 — аффинно независимые точки пространства E 3 .

Пусть A ∈ E 3 .Обозначим через π1 плоскость, удовлетворяющую условиям: π1 — плоскость в пространстве E 3 , A ∈ π1 , π1 k π∗ (O, I2 , I3 ). Обозначим через A1 точку, удовлетворяющую усло1)виям: A1 ∈ π1 , A1 ∈ l∗ (O, I1 ). Пусть A1 ∈ l+ (O, I1 ). Обозначим, h1 (A) = ρ(O,A.

Пустьρ(O,I1 )1). Обозначим через π2 плоскость, удовлетворяA1 ∈/ l+ (O, I1 ). Обозначим, h1 (A) = − ρ(O,Aρ(O,I1 )ющую условиям: π2 — плоскость в пространстве E 3 , A ∈ π2 , π2 k π∗ (O, I1 , I3 ). Обозначимчерез A2 точку, удовлетворяющую условиям: A2 ∈ π2 , A2 ∈ l∗ (O, I2 ). Пусть A2 ∈ l+ (O, I2 ).2)2). Пусть A2 ∈/ l+ (O, I2 ). Обозначим, h2 (A) = − ρ(O,A. ОбознаОбозначим, h2 (A) = ρ(O,Aρ(O,I2 )ρ(O,I2 )чим через π3 плоскость, удовлетворяющую условиям: π3 — плоскость в пространстве E 3 ,A ∈ π3 , π3 k π∗ (O, I1 , I2 ). Обозначим через A3 точку, удовлетворяющую условиям: A3 ∈ π3 ,3)A3 ∈ l∗ (O, I3 ). Пусть A3 ∈ l+ (O, I3 ).

Обозначим, h3 (A) = ρ(O,A. Пусть A3 ∈/ l+ (O, I3 ).ρ(O,I3 )3)Обозначим, h3 (A) = − ρ(O,A. Очевидно: h — обратимая функция, D(h) = E 3 , R(h) = R3 .ρ(O,I3 )Будем говорить, что h — аффинная координатная карта (аффинная система координат)в пространстве E 3 , соответствующая точкам O, I1 , I2 , I3 . Пусть A ∈ E 3 . Будем говорить,что h(A) — столбец координат точки A в координатной карте h. Очевидно: hm (O) = 0 приm = 1, 3; hm (Ik ) = δkm при k, m = 1, 3.Пусть: p1 , p2 , p3 ∈ E 3 , p1 , p2 — аффинно независимые точки, p1 , p2 , p3 — аффиннозависимые точки. Очевидно, p3 ∈ l∗ (p1 , p2 ).Пусть: p1 , p2 , p3 , p4 ∈ E 3 , p1 , p2 , p3 — аффинно независимые точки, p1 , p2 , p3 , p4 —аффинно зависимые точки.

Очевидно, p4 ∈ π∗ (p1 , p2 , p3 ).Пусть: O, I1 , I2 , I3 — аффинно независимые точки пространства E 3 , h — соответствующая аффинная координатная карта. Очевидно: p ∈ l∗ (O, I1 ) тогда и только тогда, когда:p ∈ E 3 , h2 (p), h3 (p) = 0.Пусть: O, I1 , I2 , I3 — аффинно независимые точки пространства E 3 , h — соответствующая аффинная координатная карта. Очевидно: p ∈ π∗ (O, I1 , I2 ) тогда и только тогда,когда: p ∈ E 3 , h3 (p) = 0.Утверждение (непосредственно следует из определения аффинно зависимых точек).Пусть: N = 1, 3; r ∈ Z, r > 2, p1 , . . .

, pr ∈ E N , σ ∈ Sr , pσ(1) , . . . , pσ(r) — аффинно зависимые точки. Тогда p1 , . . . , pr — аффинно зависимые точки.Утверждение (нетрудно доказать, используя определение аффинно зависимых точек исредства элементарной геометрии). Пусть: N = 1, 3; r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E N , r0 ∈ Z,r0 > 2, k1 , . . . , kr0 = 1, r, k1 < · · · < kr0 , pk1 , . . . , pkr0 — аффинно зависимые точки. Тогдаp1 , .

. . , pr — аффинно зависимые точки.Утверждение (нетрудно доказать, используя определение аффинно зависимых точек исредства элементарной геометрии). Пусть: N = 1, 3; r = 2, N , p1 , . . . , pr ∈ E N , p1 , . . . , pr —2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 320аффинно независимые точки. Существуют точки pr+1 , . . . , pN +1 , удовлетворяющие условиям: pr+1 , . .

. , pN +1 ∈ E N , p1 , . . . , pN +1 — аффинно независимые точки.Определение (эквивалентность упорядоченных пар точек). Пусть: N = 1, 3; u1 , u2 ∈ (E N )2 .Пусть: A1 = u11 , B1 = u21 , A2 = u12 , B2 = u22 , C1 — середина отрезка [A1 , B2 ], C2 — серединаотрезка [A2 , B1 ]. Будем писать u1 ≈ u2 , если C1 = C2 . Утверждение u1 ≈ u2 читается:«упорядоченная пара точек u1 эквивалентна упорядоченной паре точек u2 ».Утверждение (нетрудно доказать, используя определение эквивалентности упорядоченных пар точек и средства элементарной геометрии). Пусть N = 1, 3.1. Пусть: A1 , B1 , A2 , B2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ). Тогда ρ(A1 , B1 ) = ρ(A2 , B2 ).2.

Пусть: A1 , B1 , A2 , B2 ∈ E N , (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), A1 6= B1 . Тогда: A2 6= B2 ,l∗ (A1 , B1 ) k l∗ (A2 , B2 ).Утверждение (выражение для координат середины отрезка; нетрудно доказать, используя определение аффинной координатной карты и теорему Фалеса). Пусть: N = 1, 3;O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки пространства E N , h — соответствующая аффинная координатнаякарта; A, B ∈ E N , C — середина отрезка [A, B]. Тогдаh(C) = 12 h(A) + h(B) .Утверждение (критерий эквивалентности упорядоченных пар точек). Пусть: N = 1, 3;O, I1 , . .

. , IN — аффинно независимые точки пространства E N , h — соответствующаяаффинная координатная карта; A1 , B1 , A2 , B2 ∈ E N . Утверждение (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 )справедливо тогда и только тогда, когда h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ).Доказательство. Пусть (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ). Тогда:C1 = C2 ,h(C1 ) = h(C2 ), 11h(A1 ) + h(B2 ) = h(A2 ) + h(B1 ) ,22h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ).Пусть h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ).

Тогда: 11h(A1 ) + h(B2 ) = h(A2 ) + h(B1 ) ,22h(C1 ) = h(C2 ),C1 = C2 ,(A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ).Утверждение. Пусть N = 1, 3.1. Пусть u ∈ (E N )2 . Тогда u ≈ u.2. Пусть: u1 , u2 ∈ (E N )2 , u1 ≈ u2 . Тогда u2 ≈ u1 .3. Пусть: u1 , u2 , u3 ∈ (E N )2 , u1 ≈ u2 , u2 ≈ u3 . Тогда u1 ≈ u3 .Доказательство.1.

Утверждение непосредственно следует из определения эквивалентности упорядоченных пар точек.2.3. Пространства E 1 , E 2 , E 3212. Утверждение непосредственно следует из определения эквивалентности упорядоченных пар точек.3. Обозначим: A1 = u11 , B1 = u21 , A2 = u12 , B2 = u22 , A3 = u13 , B3 = u23 . Так как:u1 ≈ u2 , u2 ≈ u3 , то: h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ), h(B2 ) − h(A2 ) = h(B3 ) − h(A3 ). Тогдаh(B1 ) − h(A1 ) = h(B3 ) − h(A3 ).

Следовательно, u1 ≈ u3 .Определение (вектор пространства E N ). Пусть N = 1, 3.Пусть A, B ∈ E N . Обозначим:−→ AB = u : u ∈ (E N )2 ∧ u ≈ (A, B) .Будем говорить, что x — вектор пространства E N , если существуют точки A, B, удо−→влетворяющие условиям: A, B ∈ E N , x = AB.~ N множество всех векторов пространства E N .Обозначим через E−→ ~ N−→Пусть A, B ∈ E N . Очевидно, AB ∈ E. Будем говорить, что {AB}A,B∈E N — стандартная операция векторизации на множестве E N .Утверждение (первый критерий равенства векторов). Пусть: N = 1, 3; A1 , B1 , A2 ,−−−→ −−−→B2 ∈ E N .

Утверждение A1 B1 = A2 B2 справедливо тогда и только тогда, когда (A1 , B1 ) ≈(A2 , B2 ).−−−→ −−−→Доказательство. Пусть A1 B1 = A2 B2 . Так как: (A1 , B1 ) ∈ (E N )2 , (A1 , B1 ) ≈ (A1 , B1 ), то−−−→−−−→ −−−→−−−→(A1 , B1 ) ∈ A1 B1 . Так как A1 B1 = A2 B2 , то (A1 , B1 ) ∈ A2 B2 . Тогда (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ).Пусть (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ).

Тогда (A2 , B2 ) ≈ (A1 , B1 ).−−−→Пусть u ∈ A1 B1 . Тогда: u ∈ (E N )2 , u ≈ (A1 , B1 ). Так как (A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ), то:−−−→u ∈ (E N )2 , u ≈ (A2 , B2 ). Тогда u ∈ A2 B2 .−−−→Пусть u ∈ A2 B2 . Тогда: u ∈ (E N )2 , u ≈ (A2 , B2 ). Так как (A2 , B2 ) ≈ (A1 , B1 ), то:−−−→−−−→ −−−→u ∈ (E N )2 , u ≈ (A1 , B1 ). Тогда u ∈ A1 B1 . Итак, A1 B1 = A2 B2 .Определение (координаты вектора). Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . . .

, IN — аффинно независимые~N.точки пространства E N , h — соответствующая аффинная координатная карта; x ∈ E−→Пусть: A, B ∈ E N , x = AB. Обозначим, [x](h) = h(B) − h(A). Будем говорить, что [x](h) —столбец координат вектора x в координатной карте h. Корректность определения координат вектора непосредственно следует из: определения вектора; первогокритерия равенства векторов, критерия эквивалентности упорядоченных парточек.Утверждение (второй критерий равенства векторов). Пусть: N = 1, 3; O, I1 , .

. . , IN —аффинно независимые точки пространства E N , h — соответствующая аффинная ко~ N . Утверждение x = y справедливо тогда и только тогда,ординатная карта; x, y ∈ Eкогда [x](h) = [y](h).Доказательство. Пусть x = y. Тогда [x](h) = [y](h).Пусть [x](h) = [y](h). Выберем точки A1 , B1 , A2 , B2 , удовлетворяющие условиям: A1 ,−−−→−−−→B1 , A2 , B2 ∈ E N , x = A1 B1 , y = A2 B2 . Тогда h(B1 ) − h(A1 ) = h(B2 ) − h(A2 ). Следовательно(A1 , B1 ) ≈ (A2 , B2 ). Тогда x = y.2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 322Определение. Пусть: N = 1, 3; λ ∈ R, A, B ∈ E N . Пусть A = B. Обозначим, P∗ (λ, A, B) =A. Пусть: A 6= B, λ > 0. Обозначим через P∗ (λ, A, B) точку, удовлетворяющую условиям:P∗ (λ, A, B) ∈ l+ (A, B), ρ A, P∗ (λ, A, B) = λρ(A, B).