А.В. Бадьин - Аналитическая геометрия, страница 7

. . , λr , удовлетворяющих условиям: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ, справедливо утверждение∀k = 1, r(λk = 0).Утверждение (критерий линейной зависимости векторов). Пусть N = 1, 3.~ N . Вектор x является линейно зависимым тогда и только тогда,1.

Пусть x ∈ Eкогда x = θ.~ N . Векторы x1 , . . . , xr являются линейно за2. Пусть: r ∈ Z, r > 2, x1 , . . . , xr ∈ Eвисимыми тогда и только тогда, когда существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющийусловию xk0 ∈ L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . .

, xr ).Доказательство.1. Пусть x — линейно зависимый вектор. Тогда существует число λ ∈ R, удовлетворяющее условиям: λx = θ, λ 6= 0. Следовательно, x = θ.Пусть x = θ. Тогда 1x = θ. Так как 1 6= 0, то x — линейно зависимый вектор.2. Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы. Тогда существуют числа λ1 , . . . , λN ∈R, удовлетворяющие условиям: λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Выберем номер k0 = 1, r,удовлетворяющий условию λk0 6= 0. Тогда:λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 xk0 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr = θ,x k0−λk0 −1−λk0 +1−λr−λ1x1 + · · · +xk0 −1 +xk0 +1 + · · · +xr ,=λ k0λ k0λ k0λ k02.4. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов27xk0 ∈ L(x1 , .

. . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ).Пусть существует номер k0 = 1, r, удовлетворяющий условию xk0∈L(x1 , . . . , xk0 −1 , xk0 +1 , . . . , xr ). Тогда существуют числа λ1 , . . . , λk0 −1 , λk0 +1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условию:xk0 = λ1 x1 + · · · + λk0 −1 xk0 −1 + λk0 +1 xk0 +1 + · · · + λr xr .Следовательно:(−λ1 )x1 + · · · + (−λk0 −1 )xk0 −1 + 1xk0 + (−λk0 +1 )xk0 +1 + · · · + (−λr )xr = θ.Так как 1 6= 0, то x1 , . . .

, xr — линейно зависимые векторы.Утверждение (критерий линейной независимости векторов). Пусть: N = 1, 3; r ∈ N,~ N . Векторы x1 , . . . , xr являются линейно независимыми тогда и толькоx1 , . . . , xr ∈ Eтогда, когда по любой линейной комбинации векторов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Доказательство. Пусть x1 , . .

. , xr — линейно независимые векторы. Пусть: α1 , . . . , αr ,β 1 , . . . , β r ∈ R, αk xk = β k xk . Тогда (αk − β k )xk = θ. Так как x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы, то ∀k = 1, r(αk − β k = 0). Тогда ∀k = 1, r(αk = β k ). Следовательно, полюбой линейной комбинации векторов x1 , .

. . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты.Пусть по любой линейной комбинации векторов x1 , . . . , xr однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Пусть: λ1 , . . . , λr ∈ R, λk xk = θ. Тогда:λ1 x1 + · · · + λr xr = 0x1 + · · · + 0xr .Так как по любой линейной комбинации векторов x1 , . .

. , xr однозначно восстанавливаютсяеё коэффициенты, то ∀k = 1, r(λk = 0). Тогда x1 , . . . , xr — линейно независимые векторы.~ N , x1 , . . . , xr — линейно незавиУтверждение. Пусть: N = 1, 3; r ∈ N, x1 , . . . , xr , x ∈ Eсимые векторы, x1 , . . . , xr , x — линейно зависимые векторы. Тогда x ∈ L(x1 , . . . , xr ).Доказательство. Так как x1 , . . . , xr , x — линейно зависимые векторы, то существуютчисла λ1 , .

. . , λr+1 ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 x1 + · · · + λr xr + λr+1 x = θ,∃k = 1, r + 1(λk 6= 0). Предположим, что λr+1 = 0. Тогда: λ1 x1 + · · · + λr xr = θ,∃k = 1, r(λk 6= 0) (что противоречит утверждению: x1 , . . . , xr — линейно независимыевекторы). Итак, λr+1 6= 0. Тогда:−λ1−λrx+···+xr ,1λr+1λr+1x ∈ L(x1 , . . . , xr ).x=~ N , σ ∈ Sr , xσ(1) , .

. . , xσ(r) — линейноУтверждение. Пусть: N = 1, 3; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ Eзависимые векторы. Тогда x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.2. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 328Доказательство. Так как xσ(1) , . . . , xσ(r) — линейно зависимые векторы, то существуютчисла λ1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условиям: λ1 xσ(1) +· · ·+λr xσ(r) = θ, ∃m = 1, r(λm 6=0). Тогда:λσ−1 (1)x1 + · · · + λσ−1 (r)xr = θ,∃k = 1, r(λσ−1 (k)6= 0).Следовательно, x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.~ N , r0 ∈ N, k1 , . . .

, kr0 = 1, r,Утверждение. Пусть: N = 1, 3; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ Ek1 < · · · < kr0 , xk1 , . . . , xkr0 — линейно зависимые векторы. Тогда x1 , . . . , xr — линейнозависимые векторы.Доказательство. Так как xk1 , . . . , xkr0 — линейно зависимые векторы, то существуют числа α1 , . . . , αr0 ∈ R, удовлетворяющие условиям: α1 xk1 +· · ·+αr0 xkr0 = θ, ∃m = 1, r0 (αm 6= 0)./ {k1 , .

. . , kr0 }. Тогда:Обозначим: β k1 = α1 , . . . , β kr0 = αr0 , β k = 0 при: k = 1, r, k ∈β k1 xk1 + · · · + β kr0 xkr0 = θ,β 1 x1 + · · · + β r xr = θ,∃m = 1, r0 (β km 6= 0);∃k = 1, r(β k 6= 0).Следовательно, x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Утверждение. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки простран~N.ства E N , h — соответствующая аффинная координатная карта; r ∈ N, x1 , . . . , xr ∈ EВекторы x1 , .

. . , xr являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда столбцы[x1 ](h), . . . , [xr ](h) являются линейно зависимыми.Доказательство. Пусть x1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы. Тогда существуют числа λ1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условиям: λk xk = θ, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Следовательно:λk [xk ](h) = [λk xk ](h) = [θ](h) = θ̃.Так как ∃k = 1, r(λk 6= 0), то [x1 ](h), . . . , [xr ](h) — линейно зависимые столбцы.Пусть [x1 ](h), . . .

, [xr ](h) — линейно зависимые столбцы. Тогда существуют числаλ1 , . . . , λr ∈ R, удовлетворяющие условиям: λk [xk ](h) = θ̃, ∃k = 1, r(λk 6= 0). Следовательно:[λk xk ](h) = λk [xk ](h) = θ̃ = [θ](h).Согласно второму критерию равенства векторов, λk xk = θ. Так как ∃k = 1, r(λk 6= 0), тоx1 , . . . , xr — линейно зависимые векторы.Утверждение. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , .

. . , IN — аффинно независимые точки простран−−→ства E N , h — соответствующая аффинная координатная карта, ek = OIk при k = 1, N .1. Справедливо утверждение: [ek ]m (h) = δkm при k, m = 1, N .2. Пусть λ1 , . . . , λN ∈ R. Тогда: [λk ek ]m (h) = λm при m = 1, N .~ N . Тогда x = [x]k (h)ek .3. Пусть x ∈ EДоказательство.1. Пусть k, m = 1, N .

Тогда:m−−→[ek ]m (h) = [OIk ]m (h) = h(Ik ) − h(O) = hm (Ik ) − hm (O) = δkm − 0 = δkm .2.4. Линейная комбинация векторов, линейная зависимость векторов292. Пусть m = 1, N . Тогда:[λk ek ]m (h) = λk [ek ]m (h) = λk δkm = λm .m3. Очевидно: [x]k (h)ek (h) = [x]m (h) при m = 1, N . Тогда [x]k (h)ek (h) = [x](h).Согласно второму критерию равенства векторов, [x]k (h)ek = x.Утверждение. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , .

. . , IN — аффинно независимые точки простран−−→ства E N , ek = OIk при k = 1, N .1. Справедливо утверждение: e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы.~ N . Тогда x ∈ L(e1 , . . . , eN ).2. Пусть x ∈ EДоказательство. Пусть h — аффинная координатная карта в пространстве E N , соответствующая точкам O, I1 , . . . , IN .1. Очевидно, по любой линейной комбинации векторов e1 , . . .

, eN однозначно восстанавливаются её коэффициенты. Тогда e1 , . . . , eN — линейно независимые векторы.2. Так как x = [x]k (h)ek , то x ∈ L(e1 , . . . , eN ).Замечание. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки пространства−−→~N.E N , ek = OIk при k = 1, N . Будем говорить, что e1 , . .

. , eN — базис пространства E~ N . Будем говорить, что x̃ — столбец координат вектора x в базисе e, если:Пусть x ∈ Ex̃ ∈ RN , x = x̃k ek .~ N . Очевидно, существует единственный столбец x̃, удовлетворяющий услоПусть x ∈ Eвию: x̃ — столбец координат вектора x в базисе e.~ N . Обозначим через [x](e) столбец координат вектора x в базисе e.Пусть x ∈ E−→Обозначим: hO,e (A) = [OA](e) при A ∈ E N . Будем говорить, что hO,e — аффиннаякоординатная карта (аффинная система координат) в пространстве E N , соответствующаяточке O и базису e. Пусть A ∈ E N .

Будем говорить, что hO,e (A) — столбец координат точкиA в координатной карте hO,e .Замечание. Пусть: N = 1, 3; O, I1 , . . . , IN — аффинно независимые точки пространства−−→E N , h — соответствующая аффинная координатная карта, ek = OIk при k = 1, N .~ N . Так как: [x](h) ∈ RN , x = [x]k (h)ek , то [x](e) = [x](h).Пусть x ∈ EПусть A ∈ E N . Тогда:−→−→hO,e (A) = [OA](e) = [OA](h) = h(A) − h(O) = h(A) − θ̃ = h(A).Следовательно, hO,e = h.Утверждение. Пусть: l — прямая в пространстве E 2 ; O, I1 — аффинно независимые−−→точки прямой l, e1 = OI1 . Справедливо утверждение: A ∈ l тогда и только тогда, когда:−→A ∈ E 2 , OA ∈ L(e1 ).Доказательство. Так как: O, I1 ∈ l, O, I1 — аффинно независимые точки, то l∗ (O, I1 ) = l.Так как O, I1 — аффинно независимые точки, то существует точка I2 , удовлетворяющая условиям: I2 ∈ E 2 , O, I1 , I2 — аффинно независимые точки.

Пусть: h — аффинная−−→координатная карта в пространстве E 2 , соответствующая точкам O, I1 , I2 , e2 = OI2 .−→−→Пусть A ∈ l. Тогда: A ∈ E 2 , h2 (A) = 0. Следовательно, [OA]2 (e) = 0. Тогда: OA =−→−→−→[OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 = [OA]1 (e)e1 ∈ L(e1 ).−→Пусть: A ∈ E 2 , OA ∈ L(e1 ). Тогда существует число t ∈ R, удовлетворяющее условию−→−→−→−→−→OA = te1 . Следовательно, OA = te1 + 0e2 . С другой стороны, OA = [OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 .−→Тогда [OA]2 (e) = 0. Следовательно, h2 (A) = 0.

Тогда A ∈ l.302. Векторы в пространствах E 1 , E 2 , E 3Утверждение. Пусть: l — прямая в пространстве E 3 ; O, I1 — аффинно независимые−−→точки прямой l, e1 = OI1 . Справедливо утверждение: A ∈ l тогда и только тогда, когда:−→A ∈ E 3 , OA ∈ L(e1 ).Доказательство. Так как: O, I1 ∈ l, O, I1 — аффинно независимые точки, то l∗ (O, I1 ) = l.Так как O, I1 — аффинно независимые точки, то существуют точки I2 , I3 , удовлетворяющие условиям: I2 , I3 ∈ E 3 , O, I1 , I2 , I3 — аффинно независимые точки. Пусть: h —аффинная координатная карта в пространстве E 3 , соответствующая точкам O, I1 , I2 , I3 ,−−→−−→e2 = OI2 , e3 = OI3 .−→−→Пусть A ∈ l. Тогда: A ∈ E 3 , h2 (A), h3 (A) = 0. Следовательно, [OA]2 (e), [OA]3 (e) = 0.−→−→−→−→−→Тогда: OA = [OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 + [OA]3 (e)e3 = [OA]1 (e)e1 ∈ L(e1 ).−→Пусть: A ∈ E 3 , OA ∈ L(e1 ).

Тогда существует число t ∈ R, удовлетворяющее условию−→−→−→−→OA = te1 . Следовательно, OA = te1 + 0e2 + 0e3 . С другой стороны, OA = [OA]1 (e)e1 +−→−→−→−→[OA]2 (e)e2 + [OA]3 (e). Тогда [OA]2 (e), [OA]3 (e) = 0. Следовательно, h2 (A), h3 (A) = 0.Тогда A ∈ l.Утверждение. Пусть: π — плоскость в пространстве E 3 ; O, I1 , I2 — аффинно незави−−→−−→симые точки плоскости π, e1 = OI1 , e2 = OI2 . Справедливо утверждение: A ∈ π тогда−→и только тогда, когда: A ∈ E 3 , OA ∈ L(e1 , e2 ).Доказательство.

Так как: O, I1 , I2 ∈ π, O, I1 , I2 — аффинно независимые точки, тоπ∗ (O, I1 , I2 ) = π. Так как O, I1 , I2 — аффинно независимые точки, то существует точка I3 ,удовлетворяющая условиям: I3 ∈ E 3 , O, I1 , I2 , I3 — аффинно независимые точки. Пусть:h — аффинная координатная карта в пространстве E 3 , соответствующая точкам O, I1 , I2 ,−−→I3 , e3 = OI3 .−→−→Пусть A ∈ π. Тогда: A ∈ E 3 , h3 (A) = 0. Следовательно, [OA]3 (e) = 0.

Тогда: OA =−→−→−→−→−→[OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 + [OA]3 (e)e3 = [OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 ∈ L(e1 , e2 ).−→Пусть: A ∈ E 3 , OA ∈ L(e1 , e2 ). Тогда существуют числа u1 , u2 ∈ R, удовлетворяющее−→−→условию OA = u1 e1 + u2 e2 . Следовательно, OA = u1 e1 + u2 e2 + 0e3 . С другой стороны,−→−→−→−→−→OA = [OA]1 (e)e1 + [OA]2 (e)e2 + [OA]3 (e)e3 . Тогда [OA]3 (e) = 0. Следовательно, h3 (A) = 0.Тогда A ∈ π.Утверждение. Пусть: N = 1, 3; r ∈ Z, r > 2, p1 , . . . , pr ∈ E N , p1 , . . . , pr — аффинно→−−→независимые точки. Тогда −p−1 p2 , .