Овчинников. Линейная алгебра (лекции), страница 8

. . , xn ) = Q (x1 , . . . , xn−1 ) + λn (xn )2 ,где λn ≤ 0. Тогда Q(en ) = λn ≤ 0, т.е. КФ Q не является ПО.21. КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРАГлавным минором порядка k матрицы A размера n×n называется определитель матрицы,полученной из матрицы A вычеркиванием последних n − k строк и столбцов.Теорема. Матрица Q является ПО тогда и только тогда, когда все ее главныеминоры положительны:qq q11 > 0, 11 12 > 0, , . . . , det Q > 0.q21 q22Доказательство. Воспользумся методом математической индукции. Для матрицы размера 1 × 1 утверждение очевидно:Q(x) = q11 (x1 )2 > 0⇐⇒q11 > 0.1. Необходимость.Индуктивное предположение: Матрица Q ∈ Rk×k ПО ⇒ все ее главные минорыположительны.Шаг индукции: Пусть матрица Q ∈ R(k+1)×(k+1) ПО.

Докажем, что все ее главныеминоры положительны. Рассмотрим ПО квадратичную формуk+1qij xi xj ;i,j=1все ее главные миноры до порядка k включительно положительны по предположениюиндукции. Но и det Q > 0, так как в каноническом базисе он равен 1 и является инвариантом.2. Достаточность.Индуктивное предположение: Все главные миноры матрицы Q ∈ Rk×k положительны⇒ матрица Q ПО.Шаг индукции: Рассмотрим квадратичную формуk+1i,j=1qij xi xj .16По предположению индукции, эта форма ПО для векторов из ЛПП L(e1 , .

. . , ek ), поэтомуее положительный индекс инерции не меньше k. Если он равен k, то в каноническом(а значит, и в любом) базисе det Q ≤ 1; противоречие. Следовательно, положительныйиндекс инерции матрицы Q равен k + 1.2Линейная алгебра–3Линейные операторы1. ЛИНЕЙНЫЕПодставим сюда выражениеfj = akj ek .Таким образом, приравнивая полученные выражения, находим:fj = akj ckk ek = cjj akj ek .ОПЕРАТОРЫЛинейный оператор (ЛО) — это гомоморфизм ЛП, т.е.

отображение A : V → W , где V ,W — ЛП над одним и тем же ЧП, удовлетворяющее следующему условию:A(αx + βy) = αA(x) + βA(y)для всех x, y ∈ V .Нас будет интересовать случай, когда W = V , т.е. когда пространство образов ЛОсовпадает с пространством прообразов. В этом случае гомоморфизмы ЛП называютсяэндоморфизмами.Пусть V (K) — ЛП над произвольным ЧП, e1 , . .

. , en — базис в V , x ∈ V . Разложиввектор x по базису, получимjВ силу единственности разложения по базису получаемakj ckk = cjj akj .Это соотношение можно записать в матричной форме:CAe = Ae C.Умножая обе части слева на матрицу C −1 , получаем искомое соотношениеAe = C −1 Ae C.В тензорных обозначениях эта формула имеет видA(x) = A(x ej ) = x A(ej ).Таким образом, чтобы вычислить образ произвольного вектора при действии ЛО, достаточно знать лишь образы fj = A(ej ) базисных векторов. Разложим каждый из векторовfj по базису ej :fj ≡ A(ej ) = akj ek .Возникающая квадратная матрица 1 1aa a2 .

. . a1n222 aa a2 . . . a n Ae = .. . .. .... .. .ana an2 . . .annназывается матрицей ЛО в выбранном базисе e1 , . . . , en .Столбцы матрицы ЛО представляют собой столбцы координат образов векторов базисаотносительно этого базиса.Таким образом,y = A(x) = xj fj = xj akj ek ,т.е.

координаты вектора y выражаются через координаты вектора x по формулеy k = akj xjили, в матричной форме,Ye = Ae Xe .2. ЛОЗадача. Проведите доказательство полностью в тензорных обозначениях, не обращаяськ матричной форме записи.3. ЛИНЕЙНОЕ(A + B)(x) = A(x) + B(x),(αA)(x) = α · A(x)для любого x ∈ V .Теорема. Сумма ЛО и произведение ЛО на число также являются ЛО.Теорема. Если Ae , Be — матрицы ЛО A, B в базисе e1 , . . .

, en , то матрицы ЛОA + B и αA равны Ae + Be , αAe , соответственно.Нулевым оператором называется оператор O, действующий по правилуO(x) = 0 ∀x ∈ V.Теорема. Множество всех ЛО, действующих в ЛП V (K) (n = dim V ), являетсяЛП, изоморфным Kn×n (K).Задача. Докажите эти теоремы самостоятельно.Множество всех ЛО, действующих в ЛП V , обозначается End V . Таким образом,dim End V = (dim V )2 = n2 ,End V ∼= Kn×n (K).Теорема. ЛО представляет собой 1-ковариантный, 1-контравариантный тензор.fj =С другой стороны,akj ek=akj ckk ek .ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВОпределим сумму ЛО и произведение ЛО на число по формуламКАК ТЕНЗОРДоказательство.

Для доказательства нужно вывести закон преобразования матрицы ЛОпри переходе к новому базису. Пусть e1 , . . . , en — старый базис, e1 , . . . , en — новый базис,связанные матрицей перехода C:ej = cjj ej .Имеем:fj = A(ej ) = akj ek .Подставим сюда выражения векторов нового базиса через векторы старого:akj = cjj ckk akj .j4. ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛО. АЛГЕБРА ЛОПусть A, B — ЛО, действующие в ЛП V .

Произведением этих ЛО называется отображение, заданное формулой(AB)(x) = A(B(x)) ∀x ∈ V.Теорема. Произведение ЛО также является ЛО.Доказательство.(AB)(x + y) = A(B(x) + B(y)) = AB(x) + AB(y),(AB)(αx) = A(αB(x)) = αAB(x).fj = A(ej ) = A(cjj ej ) = cjj A(ej ) = cjj fj .13Теорема. Если Ae , Be — матрицы ЛО A, B в базисе e1 , . . . , en , то матрица ЛО ABравна Ae Be .Задача. Докажите самостоятельно.Алгеброй A над ЧП K называется ЛП V (K), снабженное операцией• : V × V → V,называемой умножением векторов, ставящей в соответствие каждой упорядоченной паревекторов x, y их произведение — вектор x · y, и обладающей следующими свойствами:(αx + βy) · z = αx · z + βy · z,x · (αy + βz) = αx · y + βx · zдля всех x, y, z ∈ V и всех α, β ∈ K.Алгебра A называется ассоциативной, если для всех x, y, z ∈ A выполняется равенство(x · y) · z = x · (y · z),45.

АЛГЕБРЫ ЛИАлгебра L называется алгеброй Ли, если она антикоммутативна, т.е.x · x = 0 ∀x ∈ L,и для любых ее элементов выполнено тождество Якоби:x · (y · z) + y · (z · x) + z · (x · y) = 0.Задача. Докажите, что из тождества x · x = 0 вытекает тождество x · y = −y · x(∀x, y ∈ L).Задача.

Докажите, что ЛП геометрических векторов в пространстве, снабженное операцией векторного умножения векторов, образует алгебру Ли V над ЧП R.Любую ассоциативную алгебру A можно превратить в алгебру Ли, введя новую операцию умножения по правилу[x, y] = x · y − y · x.Действительно, [x, x] = 0 для любого x. Тождество Якоби легко проверяется:и коммутативной, если для всех x, y ∈ A выполняется равенство[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] =x · y = y · x.= x · (y · z − z · y) − (y · z − z · y) · x+Примеры алгебр1. Множество C комплексных чисел, рассматриваемое как ЛП над полем R вещественных чисел и снабженное обычной операцией умножения комплексных чисел, образуетассоциативную и коммутативную алгебру размерности 2 над ЧП R.2. Множество всех квадратных матриц порядка n с элементами из ЧП K образуетассоциативную, но не коммутативную алгебру размерности n2 над K.3. Множество всех многочленов с коэффициентами из ЧП K образует бесконечномерную алгебру над K.Две алгебры A и B называются изоморфными, если существует отображение φ : A → B,являющееся изоморфизмом линейных пространств и обладающее свойством+y · (z · x − x · z) − (z · x − x · z) · y+φ(x · y) = φ(x) · φ(y)для всех x, y ∈ A.Пример.

Алгебра C комплексных чисел (как алгебра над R) изоморфна алгебре вещественных матриц видаa −b.b aДействительно, отображениеφ(a + ib) =a −bb a+z · (x · y − y · x) − (x · y − y · x) · z = 0.ЛП квадратных матриц порядка n с элементами из ЧП K, снабженное операцией коммутирования матриц[A, B] = AB − BA,образует алгебру Ли, обозначаемую gl(n, K).Задача. Докажите, что множество всех кососимметричных матриц порядка n образует алгебру Ли относительно операции коммутирования. Эта алгебра Ли обозначаетсяsl(n, K).Задача. Докажите, что V ∼= sl(3, R). Указание: изоморфизм задается соответствием  a0c b b  = −c 0 a .c−b −a 06. ЯДРОφ((a + ib)(c + id)) = φ((ac − bd) + i(ad + bc)) =ac − bd −ad − bc=ad + bc ac − bdc −da −b==b ad c= φ(a + ib)φ(c + id).Теорема.

Множество End V всех ЛО, действующих в ЛП V (K), dim V = n, является алгеброй над ЧП K, изоморфной алгебре Kn×n (K).Задача. Докажите самостоятельно. [Указание: изоморфизм алгебр ставит в соответствие каждому ЛО его матрицу в некотором фиксированном базисе.]ЛОПусть A : V → V — ЛО, действующий в ЛП V .Ядро ker A ЛО A — этоker A = x ∈ V A(x) = 0 .Образ im A ЛО A —взаимно однозначно иИ ОБРАЗim A = y ∈ V x ∈ V : y = A(x) .Ядро и образ ЛО являются ЛПП в ЛП V , причемdim ker A + dim im A = dim V.Задача. Докажите самостоятельно.Замечание.

Предыдущее равенство не означает, что V = ker A ⊕ im A.Задача. Найдите ядро и образ ЛО A, действующего в ЛП R2 (R) и имеющего в стандартном базисе матрицу0 1A=.0 0Покажите, что для этого оператора ker A = im A.57. ИНВАРИАНТЫ ЛОТеорема. Ранг матрицы ЛО A не зависит от выбора базиса и равен dim im A.Рангом ЛО A называется число rk A = dim im A.Теорема. Определитель и след матрицы ЛО A не зависят от выбора базиса иназываются определителем det A и следом tr A ЛО A.Задача.

Докажите самостоятельно.8. ЕДИНИЧНЫЙ6Поэтому если x ∈ ker P ∩ im P, то x = P(x) = 0, т.е. ker P ∩ im P = 0 иV = ker P ⊕ im P.Из этой формулы следует, что каждый вектор x ∈ V можно единственным образом представить в видеx = y + z, y ∈ im P, z ∈ ker P.Так какP(x) ∈ im P,И ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОРЫЕдиничный (тождественный) оператор I действует по правилуP(x − P(x)) = P(x) − P2 (x) = 0I(x) = x ∀x ∈ V.Доказательство. Каждый автоморфизм представляет собой невырожденный ЛО, действующий в ЛП V (почему?), а композиция автоморфизмов — произведение соответствующих операторов.