Овчинников. Линейная алгебра (лекции), страница 13

Однакоможно привести квадратичную форму к «почти каноническому», диагональному виду с помощью ортогонального преобразования.Матрица A данной квадратичной формы симметрична, поэтому ее можно рассматривать как матрицу Ae симметричного оператора A в евклидовом пространстве относительно некоторого ОНБ e1 , . . . , en . Кроме того,известно, что из собственных векторов симметричного оператора можносоставить ОНБ f1 , . .

. , fn . Очевидно, матрица перехода C от ОНБ e1 , . . . , enк ОНБ f1 , . . . , fn ортогональна (объясните!). В базисе f1 , . . . , fn матрица Afоператора A диагональна и имеет вид Af = diag(λ1 , . . . , λn ), где λ1 , . . . , λn —СЗ оператора A. Матрица же исходной квадратичной формы в базисеf1 , . . . , fn определяется выражениемC T AC = C −1 Ae C = Af ,поскольку матрица C ортогональна, т.е. C −1 = C T . Таким образом, в новыхпеременных y j , связанных с первоначальными переменными xj ортогональной матрицей перехода C, квадратичная форма принимает видQ(y 1 , . .

. , y n ) =n10λj (y j )2 ;j=1ПРИВЕДЕНИЕ ДВУХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ КДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ1Теорема. Пусть A(x , . . . , xn ), B(x1 , . . . , xn ) — две квадратичные формы, причем форма B(x1 , . . . , xn ) положительно определена. Существуетневырожденное преобразование переменных, приводящее форму B к каноническому виду, а форму A — к диагональному.Доказательство. 1. Будем считать, что данные квадратичные формы представляют собой координатные записи квадратичных функционалов A(x) иB(x) в вещественном линейном пространстве V относительно некоторого базиса e1 , .

. . , en (в дальнейшем для краткости будем писать «базис e»).Поскольку квадратичный функционал B(x) положительно определен, можно считать, что соответствующий симметричный билинейный функционалB(x, y) задает в пространстве V скалярное произведение; в этом случаематрица Be представляет собой матрицу Грама базиса e.2. Рассмотрим базис f1 , . . .

, fn (кратко — «базис f »), ортонормированныйотносительно введенного скалярного произведения. Этот базис можно построить, например, приводя квадратичную форму B(x1 , . . . , xn ) к каноническому виду методом Лагранжа или используя процесс ортогонализации.Обозначим матрицу перехода от базиса e к базису f через C. Матрицыквадратичных форм A(x1 , . . . , xn ) и B(x1 , .

. . , xn ) в базисе f имеют видBf = C T Be C = I,Af = C T Ae C;разумеется, обе они симметричны (объясните почему).3. Матрица Af симметрична, базис f — ортонормированный, поэтомуможно считать, что Af — матрица некоторого самосопряженного (симметричного) оператора A. Рассмотрим ортонормированный базис g1 , . .

. , gn ,состоящий из собственных векторов оператора A. В этом базисе матрицаAg оператора A диагональна, Ag = diag(λ1 , . . . , λn ), где λ1 , . . . , λn — собственные значения оператора A. Матрица D перехода от базиса f к базисуg ортогональна (объясните почему!), D−1 = DT . Вычислим матрицы квадратичных функционалов A(x) и B(x) в базисе g:формулы преобразования координат при этом имеют видX = CY,где C — ортогональная матрица.(1)Ag = DT Af D = D−1 Af D = diag(λ1 , . . . , λn );Bg = DT Bf D = D−1 ID = I.11Таким образом, в базисе g матрица функционала A(x) диагональна, а матрица функционала B(x) — единичная.

Таким образом, доказано существование базиса, в котором оба квадратичных функционала имеют диагональный вид:nλj (y j )2 ,A(y 1 , . . . , y n ) =j=1nB(y 1 , . . . , y n ) =(y j )2 .j=1jЗдесь через y обозначены координаты, соответствующие базису g.4. Разработаем алгоритм построения такого базиса. Коэффициенты λjопределяются как корни характеристического уравненияdet(Af − λI) = 0.Учитывая соотношения (1), получаем:0 = det(Af − λI) = det(C T Ae C − λC T Be C) = (det C)2 det(Ae − λBe ).Таким образом, коэффициенты λj определяются как корни «характеристического многочлена» det(Ae − λBe ); этот многочлен называют иногда λмногочленом матриц Ae и Be .Далее, столбец координат Xf,j каждого собственного вектора gj оператора A относительно базиса f определяется как нетривиальное решениеоднородной линейной системы(Af − λj I)Xf,j = 0,где λj — соответствующее собственное значение. Учитывая соотношения(1), можем записать(C T Ae C − λj C T Be C)Xf,j = 0,C T (Ae − λBe )CXf,j = 0.Умножая последнее уравнение слева на матрицу (C T )−1 и учитывая, чтостолбец CXf,j представляет собой столбец собственного вектора gj оператора A относительно базиса e, получаем(Ae − λj Be )Xe,j = 0.Столбцы Xe,j представляют собой координаты векторов общего для обеих форм диагонализирующего базиса относительно исходного базиса, т.е.матрица, составленная из этих столбцов, является матрицей искомого преобразования переменных.Таким образом, процедура одновременного приведения двух квадратичных форм, одна из которых положительно определена, состоит в следующем:12(1) выясняем, какая из двух форм положительно определена; пусть B —матрица положительно определенной формы, A — матрица другойформы;(2) решая уравнение det(A − λB) = 0, находим коэффициенты формы Aв новом (диагонализирующем) базисе;(3) решая для каждого найденного λ линейную систему (A − λB)X = 0,находим столбцы матрицы P перехода от исходного базиса к диагонализирующему; формулы преобразования переменных при этом имеютвид 1 1yx ...

 = P  ...  .xnyn5. Доказательство существенно укорачивается, если пользоваться тензорным языком. Пусть ajk , bjk — симметричные 2-ковариантные тензоры,представляющие данные квадратичные (или, эквивалентно, симметричныебилинейные) формы, причем матрица B = (bjk ) положительно определена.Будем считать тензор bjk метрическим тензором евклидова пространства.Согласно известной теореме, каждой билинейной форме соответствует линейный оператор, матрица которого получается из матрицы формы с помощью операции подъема индекса. Так как данные билинейные формысимметричны, им отвечают самосопряженные операторы с матрицамиbjl alk = ajk ,bjl blk = δkj ,где bjl — контравариантный метрический тензор (матрица (bjl ) являетсяобратной для матрицы (bjl )). Оба указанных оператора (обратите внимание,что второй из них — единичный) имеют диагональные матрицы в базисе,состоящем из собственных векторов оператора ajk , координаты которых находятся из уравненийdet(ajk − λδkj ) = 0,(ajk − λδkj )xk = 0.Опуская в приведенных уравнениях индекс j с помощью метрического тензора bjl , получаемdet(akl − λbkl ) = 0,что и требовалось.(akl − λbkl )xk = 0,.