Овчинников. Линейная алгебра (лекции)

2Линейная алгебрагдеОвчинников Алексей ВитальевичЛитература1. С. Б. Кадомцев. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.2. В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Линейная алгебра.3. Н. Ч. Крутицкая, А. В. Тихонравов, А. А. Шишкин. Аналитическая геометрия илинейная алгебра с приложениями.N — множество натуральных чисел.Z — множество целых чисел.Q — множество рациональных чисел.R — множество вещественных чисел.C — множество комплексных чисел.K — любое из перечисленных множеств.K0 — множество K \ 0.R+ = {x ∈ R : x > 0}.Kn — множество столбцов высоты n с элементами из K.Km×n — множество матриц размера m × n с элементами из K (m строк, n столбцов).ПОЛЕЧисловое поле (ЧП) — это множество чисел, в котором корректны арифметическиеоперации: сложение, вычитание, умножение, деление на ненулевое число.Примеры числовых полей: Q, R, C.Не являются числовыми полями: N, Z, R \ Q.K — любое из перечисленных числовых полей.3.

УМНОЖЕНИЕМАТРИЦan1 an2 . . . anmРазбиение этой матрицы на столбцы имеет видA = [A1 1a1 a21 A1 =  ...  ,an1A2... 1a2 a22 A2 =  ...  ,...,Разбиение этой матрицы на строки имеет вид 1A A2 A= ...  ,An1Am ],a1m ),A2 = (a21...a22...a2m ),An = (an1an2...anm ).Рассмотрим матрицы A ∈ Kn×m , B ∈ Km×p . Их произведение — это матрица C ∈ Kn×p ,элементы которой вычисляются по формулеmajl blk ,l=1j = 1, .

. . , n,k = 1, . . . , p.Рассмотрим разбиение матрицы C на столбцы:C = [C1...Cp ],и обсудим строение k-го столбца:ma1l blk 1 1 l=1alckmm .  . ...  blk =Ck = .. =  ..  =Al blk = A · Bk .mnnl=1l=1ckalanl blkl=1Таким образом,(1) k-й столбец матрицы AB равен линейной комбинации столбцов матрицы A скоэффициентами, равными элементам k-го столбца матрицы B.(2) k-й столбец матрицы AB равен произведению матрицы A на k-й столбец матрицы B.Задача.

Сформулируйте и докажите самостоятельно аналогичное утверждение длястрок матрицы AB.Группа (G, ∗) — это множество G, снабженное операцией∗ : G × G → G,(a, b) → a ∗ b,удовлетворяющей следующим требованиям:(1) ∀a, b, c ∈ G: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (ассоциативность);(2) ∃e ∈ G ∀a ∈ G: e ∗ a = a ∗ e = a (существование нейтрального элемента);(3) ∀a ∈ G ∃a ∈ G: a ∗ a = a ∗ a = e (существование обратного элемента). Обратныйэлемент обозначается a−1 .5. ПРИМЕРЫa1m2 am Am =  ...  .an2...4. ГРУППАБудем использовать нумерацию элементов матрицы с помощью верхних и нижних индексов; верхний индекс обозначает номер строки, нижний — номер столбца.

Рассмотримматрицу A ∈ Kn×m , 1 1a1 a2 . . . a1m a21 a22 . . . a2m A=.. . .. . .... .. .гдеa12cjk =1. ОБОЗНАЧЕНИЯ2. ЧИСЛОВОЕA1 = (a11anmГРУПП1. (Z, +); (Q, +); (R, +); (C, +). Здесь e = 0.2. (R+ , ·). Здесь e = 1.3. (Q0 , ·); (R0 , ·); (C0 , ·). Здесь e = 1.4. GL(n; K) = {A ∈ Kn×n : det A = 0}. Операция — умножение матриц, e = I (единичнаяматрица порядка n). (Проверьте!)Вопрос.

Что является обратным элементом?5. SL(n; K) = {A ∈ Kn×n : det A = 1}. Операция — умножение матриц, e = I (единичнаяматрица порядка n). (Проверьте!)6. U (1) = {z ∈ C : |z| = 1}. Операция — умножение комплексных чисел, e = 1.(Проверьте!)Вопрос. Что является обратным элементом?37.

SO(2) =cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕ: ϕ ∈ [0, 2π) . Операция — умножение матриц. (Проверь-те!)Вопрос. Что является единичным элементом? Что является обратным элементом?Задача. Рассмотрим множество G монотонных строго возрастающих числовых функцийна отрезке [1, −1] и введем на этом множестве операцию композиции функций:∀f, g ∈ G :4(f ∗ g)(x) = f (g(x)),x ∈ [−1, 1].Покажите, что (G, ∗) — группа. Что является нейтральным элементом этой группы? Чтопредставляет собой обратный элемент?6. ПРОСТЕЙШИЕСВОЙСТВА ГРУПП10.

ГОМОМОРФИЗМГРУПППусть (G, ∗) и (H, ) — две группы. Отображение f : G → H называется гомоморфизмом, еслиf (a ∗ b) = f (a) f (b) ∀a, b ∈ G.Множество всех гомоморфизмов групп (G, ∗) и (H, ) обозначается Hom(G, H).Теорема. Пусть f : G → H — гомоморфизм групп (G, ∗) и (H, ). Тогда:(1) f (eG ) = eH ;(2) ∀g ∈ G : f (g −1 ) = (f (g))−1 .Доказательство.1.

Так как eG = eG ∗ eG , то имеемf (eG ) = f (eG ∗ eG ) = f (eG ) f (eG ).Теорема. Пусть (G, ∗) — группа.(1) Нейтральный элемент в группе единствен.(2) ∀a ∈ G обратный элемент a−1 единствен.(3) ∀a ∈ G имеем (a−1 )−1 = a.(4) ∀a, b, c ∈ G: a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c; b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c.Умножим обе части на f (eG )−1 ; получимeH = f (eG ) f (eG )−1 = f (eG ) f (eG ) f (eG )−1 = f (eG ).2. Поскольку g ∗ g −1 = eG = g −1 ∗ g, находимДоказательство. 1. Допустим, что ∃e = e такой, что ∀a ∈ G: e ∗ a = a = a ∗ e .

Положимa = e; тогда e ∗ e = e. С другой стороны, по определению e, e ∗ e = e . Итак, e = e.2. Пусть b = a−1 . Допустим, что ∃c такой, что a ∗ c = c ∗ a = e. Тогдаf (g ∗ g −1 ) = f (eG ) = f (g −1 ∗ g)⇒f (g) f (g −1 ) = eH = f (g −1 ) f (g);отсюда в силу единственности обратного элемента вытекает f (g −1 ) = f (g)−1 .c = c ∗ e = c ∗ (a ∗ b) = (c ∗ a) ∗ b = e ∗ b = b.Завершите доказательство самостоятельно.7. АБЕЛЕВЫГРУППЫГруппа (G, ∗) называется абелевой (коммутативной), еслиa ∗ b = b ∗ a ∀a, b ∈ G.В случае абелевых групп групповая операция часто называется сложением и обозначается знаком +, обратный элемент для a называется противоположным и обозначается −a,а единичный элемент называется нулем и обозначается 0.Вопрос.

Какие из перечисленных выше групп являются абелевыми?8. ПОДГРУППЫПусть (G, ∗) — группа. Непустое подмножество S ⊂ G называется подгруппой группыG, если выполнены следующие условия:(1) ∀s ∈ S: s−1 ∈ S;(2) ∀s, t ∈ S: st ∈ S.Обозначение:S ⊂ G — подмножество группы G;S G — подгруппа группы G.Теорема. Пусть (G, ∗) — группа. Если S G, то S является группой относительнооперации ∗.Задача. Докажите теорему самостоятельно.9. ПРИМЕРЫ1.

(Z, +) (Q, +) (R, +) (C, +).2. U (1) (C0 , ·).3. SL(n, K) GL(n, K).4. SO(2) SL(2, R); SO(2) GL(2, R).ПОДГРУПП11. ПРИМЕРЫГОМОМОРФИЗМОВ ГРУПП1. (G, ∗) = (R, +), (H, ) = (R+ , ·), f = exp:f (a ∗ b) ≡ ea+b = ea · eb ≡ f (a) f (b).2. (G, ∗) = (C0 , ·), (H, ) = (R0 , ·), f = | · |:f (a ∗ b) = |a · b| = |a| · |b| ≡ f (a) f (b).3. (G, ∗) = GL(n; K), (H, ) = (K0 , ·), f = det:f (a ∗ b) ≡ det(a · b) = det a · det b ≡ f (a) f (b).12. ЯДРОИ ОБРАЗ ГОМОМОРФИЗМАПусть (G, ∗) и (H, ) — две группы, f : G → H — гомоморфизм.Ядро ker f гомоморфизма f — это множество элементов группы G, образом которыхявляется нейтральный элемент в H:ker f = g ∈ G f (g) = eH .Образ im f гомоморфизма f — это множество элементов группы H, имеющих прообразв группе G:im f = h ∈ H ∃g ∈ G : h = f (g) .GeGker ffHeHim f5Теорема.

Пусть f : G → H — гомоморфизм групп.ker f G,62. Пусть ker f = eG и im f = H. Докажем, что гомоморфизм f взаимно однозначен.Ясно, что у любого h ∈ H имеется прообраз в G.Остается доказать, чтоim f H.Доказательство.1. Проверим, что ker f G. Имеем:g1 ∈ ker f⇐⇒f (g1 ) = eH ,g2 ∈ ker f⇐⇒f (g2 ) = eH ;⇐⇒g1 ∗ g2 ∈ ker f.h1 ∈ im f⇐⇒∃g1 ∈ G : h1 = f (g1 ),h2 ∈ im f⇐⇒∃g2 ∈ G : h2 = f (g2 ).f (g1 ) = f (g2 ).∃g1 , g2 ∈ G, g1 = g2 :f (g1 ) = f (g2 ).Допустим противное, т.е.поэтомуf (g1 ∗ g2 ) = f (g1 ) f (g2 ) = eH2. Проверим, что im f H. Имеем:∀g1 , g2 ∈ G, g1 = g2 :Имеем:f (g1 ∗ g2−1 ) = f (g1 ) f (g2−1 ) = f (g1 ) f (g2 )−1 = f (g2 ) f (g2 )−1 = eH ,т.е. g1 ∗g2−1 ∈ ker f . Поскольку ker f = eG , получаем g1 ∗g2−1 = eG , т.е.

g2 = g1 , противоречие.Получаемh1 h2 = f (g1 ) f (g2 ) = f (g1 ∗ g2 ) ∈ H,Задача. Проиллюстрируйте теорему на примере изоморфизма U (1) SO(2).что и требовалось.15. ЛИНЕЙНОЕ13. ПРИМЕРЫНайдем ядро и образ каждого из рассмотренных выше гомоморфизмов.1. (G, ∗) = (R, +), (H, ) = (R+ , ·), f = exp. Здесь eG = 0, eH = 1. Условие f (g) = eHпринимает вид eg = 1. Поскольку единственным решением уравнения eg = 1 являетсячисло 0, имеем ker f = 0 = eG .

Поскольку множество значений функции g → eg есть R+ ,имеем im f = R+ = H.2. (G, ∗) = (C0 , ·), (H, ) = (R0 , ·), f = |·|. Здесь eG = 1, eH = 1. Числа, удовлетворяющиеусловию f (g) = eH , т.е. условию |z| = 1, имеют вид eiα , α ∈ [0, 2π), поэтому ker f = U (1).Очевидно, im f = R0 = H.3. (G, ∗) = GL(n; K), (H, ) = (K0 , ·), f = det. Здесь eG = I, eH = 1 (I — единичная матрица порядка n).

Условие f (g) = eH записывается в виде det g = 1, т.е. ker f = SL(n, K).Очевидно, im f = K0 = H.14. ИЗОМОРФИЗМЛинейное пространство (ЛП) V (K) над числовым полем K — это абелева группа V ,снабженная операцией умножения элементов группы на числа из поля K такой, что выполняются следующие требования:(1)(2)(3)(4)∀x ∈ V : 1 · x = x;∀α ∈ K, ∀x, y ∈ V : α(x + y) = αx + αy;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α + β)x = αx + βx;∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β)x = α · (βx).Нейтральный элемент этой абелевой группы называется нулевым вектором и обозначается 0.16. ВТОРОЕГРУПППусть (G, ∗) и (H, ) — две группы.

Гомоморфизм f : G → H называется изоморфизмом,если он взаимно однозначен.Если существует изоморфизм группы (G, ∗) на группу (H, ), то эти группы называютсяизоморфными; обозначение (G, ∗) (H, ) или G H.Вопрос. Какие из приведенных гомоморфизмов являются изоморфизмами?Задача. Доказать, что U (1) SO(2), построив изоморфизм в явном виде.Изоморфные группы обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.Отметим, что отношение изоморфности групп обладает следующими свойствами:(1) G G;(2) G H ⇒ H G;(3) если G H и H K, то G K.Задача. Докажите самостоятельно.Теорема. Гомоморфизм групп f : G → H является изоморфизмом тогда и толькотогда, когда ker f = eG и im f = H.Доказательство.1. Пусть f : G → H — изоморфизм.