Овчинников. Линейная алгебра (лекции), страница 7

. . , en , B — матрица БФ B относительно этого базиса,x1 , . . . , xn — координаты вектора x относительно этого базиса, то КФ записывается в видеQ(x) = X T BX = bjk xj xk ;координатная запись КФ называется квадратичной формой.Пусть BS , BA — симметричная и косисимметричная части тензора B. Имеем:X T BX = X T (BS + BA )X = X T BS X + X T BA X.Матрица BA кососимметрична, поэтомуX T BA X = (X T BA X)T = X T BAT X = −X T BA X,откудаТаким образом,2X T BA X = 0⇒X T BA X = 0.Q(x) = B(x, x) = BS (x, x) = X T BX = X T BS X.Матрицей квадратичной формы называется симметричная часть матрицы соответствующей билинейной формы. Таким образом, согласно определению, матрица квадратичной формы всегда симметрична.Замечание.

По каждому БФ можно единственным образом построить КФ; матрицаэтого КФ получается из матрицы БФ операцией симметрирования.По каждому КФ можно единственным образом построить симметричный БФ; матрицаэтого БФ совпадает с матрицей КФ.10Ранг матрицы и знак определителя матрицы КФ не зависят от выбора базиса, т.е.являются инвариантами данного КФ.16.

КАНОНИЧЕСКИЙВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫПусть Q(x) — КФ в ЛП V , X T Qe X = qjk xj xk — соответствующая квадратичная формав базисе e1 , . . . , en . Базис e1 , . . . , en пространства V называется каноническим для КФQ(x), если матрица Qe КФ в этом базисе диагональна, причем на диагонали расположенычисла 1, −1, 0. В каноническом базисе КФ представляет собой выражение видаnλj (xj )2 ,λj = ±1, 0.Q(x) =j =1Квадратичную форму можно рассматривать как функцию переменных x1 , .

. . , xn илиx1 , . . . , xn . Переменные x1 , . . . , xn и коэффициенты λj называются каноническими переменными и коэффициентами соответственно.Теорема. Для любого КФ в вещественном ЛП существует канонический базис.Иными словами, квадратичная форма может быть приведена к каноническому видупосредством невырожденного преобразования координат.Доказательство. Доказательство теоремы проведем с помощью индукции по числу переменных квадратичной формы. Процесс построения канонического базиса, описанный вдоказательстве, называется методом Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.1. База индукции: При n = 1 квадратичная форма имеет видQ(x) = q11 (x1 )2 ,q11 = 0,и приводится к каноническому виду преобразованием переменныхx1 = |q11 |x1 .Канонический вид:Q(x) = sign q11 · (x1 )2 .Матрица перехода к каноническому базису имеет вид1C = (c11 ), c11 = .|q11 |Индуктивное предположение: Предположим, что квадратичная форма от n − 1 переменных может быть приведена к каноническому виду.

Матрица перехода к каноническомубазису есть P ; новые канонические переменные выражаются через старые с помощью матрицы P −1 . Отметим, что det P = 0.Шаг индукции: Докажем, что в таком случае форма от n переменных,Q(x1 , . . . , xn ) = qjk xj xkтакже может быть приведена к каноническому виду.Случай 1. Предположим, что q11 = 0. Сгруппируем все слагаемые, содержащие x1 :Q(x1 , . .

. , xn ) =1 1= q11 (x ) + 2q12 x1 x2 + · · · + 2q1n x1 xn ++Q (x2 , . . . , x2 ).Очевидно, Q (x2 , . . . , x2 ) — квадратичная форма от n − 1 переменных. Преобразуем выделенные слагаемые:q11 (x1 )1 + 2q12 x1 x2 + · · · + 2q1n x1 xn =q12q1n= q11 (x1 )1 + 2 x1 x2 + · · · + 2 x1 xn .q11q1111Дополним слагаемые в скобках до полного квадрата слагаемымиq1n nq12 2Q (x2 , . . . , xn ) =x + ··· +x +q11q11n nq1j j q1k k+2xx ;qq11j=2 k=2 11эти слагаемые, очевидно, образуют квадратичную форму от x2 , . . . , xn . В результате получимQ(x1 , . . . , xn ) =2q12 2q1n nx + ··· +x−q11q11−Q (x2 , .

. . , xn ) + Q (x2 , . . . , xn ).= q11 x1 +Ясно, что последние два слагаемые образуют квадратичную форму Q∗ (x2 , . . . , xn ) от n − 1переменных.Введем новую переменную x1 :q12 2q1n nx + ··· +x ;x1 = |q11 | · x1 +q11q11тогдаQ(x2 , . . .

, xn ) = sign q11 · (x1 )2 + Q∗ (x2 , . . . , xn ).∗Согласно предположению индукции, форма Q может быть приведена к каноническомувиду; если P — матрица перехода к каноническому базису для формы Q∗ , x2 , . . . , xn —∗канонические переменные для Q , то можно записать  2xx2 .. .−1 .  = P ·  ..

 .nxnxЯсно, что матрица q121 q11 . . . qq1n110C −1 = 0P −10является матрицей перехода к каноническим переменным для формы Q. Вычислим ееопределитель, используя разложение по первому столбцу:det C −1 = 1 · det P −1 = 0.Таким образом, матрица перехода к каноническому базису может быть получена обращением найденной матрицы C −1 .Случай 2.

Если в исходной форме q11 = 0, но q12 = 0, сделаем предварительно преобразование переменных 1   1 xx1 1 0 ... 0 x2  1 −1 0 . . . 0 x2  3   3  x  = 0 0 1 . . . 0  x . .  . . . ..  ..   .. .. .. . . ...   .. 0 0 0 ... 1xnxnПосле этого преобразования слагаемое q12 x1 x2 превратится вq12 x1 x2 = q12 (x1 + x2 )(x1 − x2 ) == q12 (x1 )2 − q12 (x2 )2 ,12т.е. в форме появляется слагаемое q12 (x1 ), и можно воспользоваться алгоритмом, описанным для случая 1. Очевидно, предварительное преобразование невырождено.Задача. Найдите определитель матрицы предварительного преобразования и обратнуюматрицу.Теорема доказана.17. ПРИМЕРПриведем к каноническому виду квадратичную формуQ(X, Y, Z) = Y 2 + Z 2 + XY + XZ + 2Y Z.Матрица этой формы в исходном базисе0 12 211Qe = 2 1 1  .11 12Поскольку в форме отсутствует x2 , проведем преобразование к промежуточному базисуX = x + y,1 1 0Y = x − y,C1 = 1 −1 0 .0 0 1Z = z.В промежуточном базисе форма примет видQ(x, y, z) = (x − y)2 + z 2 + (x + y)(x − y)++(x + y)z + 2(x − y)z == 2x2 − 2xy + 3xz + z 2 − yz.Выделенные слагаемые (и только они) содержат переменные x; достраиваем полный квадрат:3 1 Q(x, y, z) = 2 x2 + 2x − y + 2x y +24 1 3 1 29 2+ y + z +2 − yz −41624931− y 2 − z 2 + yz − yz + z 2 =282211113= 2 x − y + z − y 2 + yz − z 2 .24228Выделенные слагаемые (и только они) содержат y; достраиваем полный квадрат:211311Q(x, y, z) = 2 x − y + z − y 2 + yz − z 2 =242282 1 1 1 213=2 x− y+ z −y + 2y − z + z 2 +242241 2 1 2+ z − z .88Теперь форма принимает вид221131Q(x, y, z) = 2 x − y + z −y− z .242213Введем новые переменные√ 13 ξ = 2 x− y+ z ,241 1 η= √ y− z ,223ζ = z,4в которых форма примет видQ(ξ, η, ζ) = ξ 2 − η 2 .√√ 2 − 12√ 2 34 √21= 02 − 14 223004является обратной по отношению к матрице перехода от промежуточного базиса к каноническому;1√ 1√2 2√ 2 − 2322 .C2 =  0234003Матрица перехода от исходного базиса к каноническому 1√ 1√2 2√ 2 − 231 1 022=C = C1 C2 = 1 −1 0  02340 0 1003√1√2 32 √202√=  12 2 − 12 2 − 43  .4003Легко проверить, что1 0 0Qe = C T Qe C = 0 −1 0 .0 0 018.

КАНОНИЧЕСКИЙTВИДИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМБФТеорема. Пусть e1 , . . . , en и f1 , . . . , fn — два канонических базиса для КФ Q(x), вкоторых этот КФ записывается в виде квадратичных формQ(x1 , . . . , xn ) = (x1 )2 + · · · + (xp )2 − (xp+1 )2 − · · · − (xr )2 ,Q(y 1 , . . . , y n ) = (y 1 )2 + · · · + (y q )2 − (y q+1 )2 − · · · − (y r )2 .Тогда p = q.Доказательство. Рассмотрим в ЛП V подпространстваP = L(e1 , . . . , ep ),Q = L(fq+1 , . . .

, fn ).Ясно, что ∀x ∈ P , x = 0, имеемQ(x) = (x1 )2 + · · · + (xp )2 > 0.Аналогично, ∀y ∈ QQ(y) = −(y q+1 )2 − · · · − (y r )2 ≤ 0.Поэтому P ∩ Q = 0. Можем записатьdim P + dim Q = dim(P + Q) ≤ dim V = n,p + (n − q) ≤ n⇒p ≤ q.Аналогично доказывается, что q ≤ p. Следовательно, p = q.Число положительных (отрицательных) канонических коэффициентов КФ называетсяположительным (отрицательным) индексом инерции этого КФ.Теорема. Сумма положительного и отрицательного индексов инерции КФ равнарангу этого КФ.Задача. Докажите самостоятельно.j kПусть B(x, y) — БФ в ЛП V , X Qe Y = qjk x y — соответствующая билинейная формав базисе e1 , .

. . , en . Базис e1 , . . . , en пространства V называется каноническим для БФB(x, y), если матрица Be КФ в этом базисе диагональна, причем на диагонали расположены числа 1, −1, 0. В каноническом базисе КФ представляет собой выражение видаB(x, y) =19. ЗАКОНКанонический базис для данной квадратичной формы, очевидно, не единствен. Однакоколичества положительных, отрицательных и нулевых канонических коэффициентов являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа приведения формык каноническому виду.Теорема.

Пусть r = rk Q — ранг матрицы КФ Q(x). Тогда среди каноническихкоэффициентов этого КФ ровно r ненулевых и n − r нулевых (n = dim V ).Задача. Докажите самостоятельно.Таким образом, канонический вид КФ таков:Q(x1 , . . . , xn ) = λ1 (x1 )2 + · · · + λr (xr )2 .Матрица перехода к новым координатам√C2−114nλj xj y j ,λj = ±1, 0.j =1В отличие от квадратичных форм, билинейная форма не всегда может быть приведенак каноническому виду.Задача. Докажите, что билинейную форму x1 y 2 в R2 невозможно привести к каноническому виду.Теорема.

Для любого симметричного БФ в вещественном ЛП всегда существуетканонический базис, т.е. симметричная билинейная форма может быть приведена кканоническому виду посредством невырожденного преобразования координат.Задача. Докажите самостоятельно.20. ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КФКФ Q(x) (и соответствующая квадратичная форма) называется положительно определенным (ПО), если∀x ∈ V, x = 0 : Q(x) > 0.Пример: Q(x1 , x2 ) = (x1 )2 + (x2 )2 .КФ Q(x) называется отрицательно определенным, если∀x ∈ V, x = 0 :Q(x) < 0.Пример: Q(x1 , x2 ) = −(x1 )2 − (x2 )2 .КФ Q(x) называется неопределенным, еслиПример: Q(x1 , x2 ) = (x1 )2 − (x2 )2 .∃x ∈ V :Q(x) > 0,∃y ∈ V :Q(y) < 0.15КФ Q(x) называется положительно полуопределенным, если∀x ∈ V :Q(x) ≥ 0,∃y ∈ V, y = 0 :121 21 22 2Q(y) = 0.1Пример: Q(x , x ) = (x ) − 2x x + (x ) ≡ (x − x2 )2 .КФ Q(x) называется отрицательно полуопределенным, если∀x ∈ V :Q(x) ≤ 0,∃y ∈ V, y = 0 :Q(y) = 0.Матрица Q называется ПО, если она является матрицей ПО КФ Q в некотором базисе.Теорема.

КФ является ПО тогда и только тогда, когда его ранг r и положительный индекс инерции p равны размерности пространства: r = p = n.Доказательство. Если p = r = n, то в каноническом базисеQ(x) = (x1 )2 + · · · + (xn )2 ,так что Q(x) ≥ 0 для всех x ∈ V , причем Q(x) = 0 тогда и только тогда, когдаx1 = · · · = xn = 0, т.е. x = 0.Пусть p < n или r < n. Тогда в каноническом базисе e1 , . . . , en функционал Q выражается формой видаQ(x1 , .