Овчинников. Линейная алгебра (лекции), страница 3

. . , n) эквивалентна сумме (1).Посколькуppxk ek =xl el ,k=1l=1имеемxk ek ≡ xl el , k = 1, . . . , p; l = 1, . . . , p.Суммирование с символом Кронекера.Символ Кронекера — это обозначение элементов единичной матрицы:1, если j = k,jδk =0, если j = k.aj δkj ,bk δkj12и т. п. В развернутом виде первая из этихЧасто встречаются суммы видасумм имеет видa1 δk1 + a2 δk2 + · · · + ak δkk + · · · + an δkn .Из n слагаемых в этой сумме отлично от нуля лишь одно, а именно k-е, поэтому всясумма равна ak . Таким образом,aj δkj = ak .Теорема.

Разложение по базису единственно, т.е. ∀x ∈ V его координаты x1 , . . . , xnопределены однозначно.Условимся записывать координаты x1 , . . . , xn вектора x относительно базиса e1 , . . . , enв виде столбца: 1xXe =  ...  ↔ x в базисе e1 , . .

. , en .xnТеорема. Пусть в базисе e1 , . . . , en ЛП V (K) имеем 1 1yx.x ↔  ..  , y ↔  ...  .xnynТогдаx1 + y 1.x + y ↔  ..  ,xn + y nαx1.αx ↔  .. αxn∀α ∈ K.Теорема. Пусть V (K) — ЛП над ЧП K, e1 , . . . , en — базис в V . Отображениеf : V → Kn , сопоставляющее каждому вектору x ∈ V столбец его координат, является изоморфизмом ЛП V и Kn , V Kn .Теорема. Все ЛП одной размерности над одним и тем же ЧП изоморфны.Задача. Докажите эти теоремы самостоятельно.Задача.

Докажите, что если e1 , . . . , en — базис в ЛП V , то V = L(e1 , . . . , en ). Обратноеутверждение неверно: если V = L(x1 , . . . , xp ), то нельзя утверждать, что векторы x1 , . . . , xpобразуют базис в V . Объясните почему.Теорема. ЛП V (K) является n-мерным тогда и только тогда, когда оно имеетбазис, состоящий из n векторов.Доказательство. 1. Пусть dim V = n. Тогда ∃x1 , . . . , xn — ЛН, но ∀x ∈ V векторыx, x1 , . .

. , xn — ЛЗ, т.е. ∃α, α1 , . . . , αn , не все равные нулю, такие, чтоαx + α1 x1 + · · · + αn xn = 0.Ясно, что α = 0; в противном случае получили быα1 x1 + · · · + αn xn = 0,1что возможно лишь при α = · · · = αn = 0 (при этом α = 0), противоречие. Таким образом,α1αnx1 − · · · −xn ,ααт.е. упорядоченный набор x1 , . . . , xn является базисом в V .2. Пусть e1 , . . . , en — базис в V . Докажем, что любые n + 1 векторов x1 , . .

. , xn+1 в VЛЗ. Разложим каждый из этих векторов по базису:x=−x1 = x11 e1 + x21 e2 + · · · + xn1 en ,...xn+1 = x1n+1 e1 + x2n+1 e2 + · · · + xnn+1 en .13Составим матрицу, столбцами которой являются столбцы координат этих векторов: 1x1 x12 .

. . x1n+1 x21 x22 . . . x2n+1 X=... . ...  ...... xn1 xn2 . . .1426. МАТРИЦАxnn+1Это матрица размера n × (n + 1) (n строк, n + 1 столбцов), поэтому ее рангrk X ≤ n.f (e1 ),f (em ) =05. dim C (R) = 2n. Стандартный базис состоит из столбцов   100010  e1 =  ...  , e2 =  ...  , . . . , en =  ...  ,001   i000i0en+1 =  ..

 , en+2 =  ..  , . . . , e2n =  .. ....06. dim Km×n (K) = mn. Стандартный базис0 ... 0 ... .. . . . .. . . ...eij = 0 . . . 1 . . .. . .. . . ... . . .0 ... 0 ...e1 = t,+ ··· +состоит из mn матриц0.. .i = 1, . . . , m,0 ,j= 1, . . . , n,.. .0e2 = t2 ,...,en = tn .8. dim Trig(n, K) = 2n + 1. Стандартный базис состоит из тригонометрических многочленов...,en = cos nt,e1 = cos t,e0 = 1,e−1 = sin t,...,e−n = sin nt.f (ek ) = alk fl ,anm fn .a11 a12 . .

. a1m222 a1 a2 . . . a m A=. .. . . .... .. .an1 an2 . . . anmназывается матрицей гомоморфизма f в паре базисов e1 , . . . , em и f1 , . . . , fn .Найдем теперь образ y произвольного вектора x ∈ V , y = f (x). Пусть 1xx = xk ek , X =  ...  .xmТогдаf (x) = f (xk ek ) = xk f (ek ) = xk alk fl .Таким образом, координаты вектора y равныy l = xk alk ,k = 1, . . . , m,l = 1, . .

. , n.В матричной форме:iгде единица стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца.7. dim Pol(n, K) = n + 1. Стандартный базис состоит из многочленовe0 = 1,где k = 1, . . . , m, l = 1, . . . , n.Матрицаa1m f11n0f (em ).f (e1 ) = a11 f1 + · · · + an1 fn ,...,25. ПРИМЕРЫ0...,Эти векторы лежат в W и, следовательно, их можно разложить по базису f1 , . . . , fn :Отсюда следует, что столбцы матрицы (их количество n + 1) ЛЗ; следовательно, векторыx1 , . .

. , xn+1 также ЛЗ.1. dim K(K) = 1; базис состоит из одного элемента, в качестве которого можно взятьлюбое ненулевое число из K. Число 1 образует так называемый стандартный базис.2. dim R(Q) = ∞.Задача. Объясните почему.3. dim C(R) = 2; базис состоит из двух элементов, в качестве которых можно взять двалюбых ненулевых комплексных числа, сумма которых не равна нулю. Стандартный базисобразуют числа 1, i.Задача.

Докажите.4. dim Kn (K) = n. Стандартный базис образуют столбцы   100010  e1 =  ...  , e2 =  ...  , . . . , en =  ...  .ГОМОМОРФИЗМАРассмотрим гомоморфизм f : V → W , где dim V = m, dim W = n.Выберем какие-либо базисы в этих ЛП: e1 , . . . , em — базис в V , f1 , .

. . , fn — базис в V .Найдем образы векторов e1 , . . . , em :Y = AX.27. РАНГПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦРассмотрим произведение двух матриц C = AB, где A ∈ Kn×m , B ∈ Km×p , C ∈ Kn×p .Поскольку столбцы матрицы C суть линейные комбинации столбцов матрицы A, получаемL(C1 , . . . , Cp ) ⊂ L(A1 , . . . , Am )⇒dim L(C1 , . . .

, Cp ) ≤ dim L(A1 , . . . , Am ).Таким образом,rk(AB) ≤ rk A.Задача. Докажите самостоятельно неравенствоrk(AB) ≤ rk B.1528. СОПРЯЖЕННЫЙБАЗИСПусть V (K) — ЛП, dim V = n, V ∗ (K) — сопряженное ЛП. Пусть e1 , . . . , en — базис в V .Рассмотрим ЛФ ε1 , . . . , εn , действующие по правилуεk (ej ) = δjk .Тогда ∀x = xj ej ∈ V имеем:εk (x) = εk (xj ej ) = xj εk (ej ) = xj δjk = xk .Теорема. dim V = n. Базис в V ∗ образуют ЛФ ε1 , .

. . , εn .Доказательство.1. Проверим, что ЛФ ε1 , . . . , εn ЛН. Пустьαk εk = θ,где θ — ЛФ такой, что θ(x) = 0 ∀x ∈ V . Тогда0 = θ(ej ) = (αk εk )(ej ) = αk · εk (ej ) = αk δjk = αj ,т.е. αj = 0.2. Проверим, что любой ЛФ можно представить в виде ЛК функционалов ε1 , . . . , εn .Если ξ ∈ V ∗ и x = xk ek ∈ V , тоkkξ(x) = ξ(x ek ) = x ξ(ek ) = ε (x)ξk ,где введено обозначениеТаким образом,kξ = ξk ε = ξk ε ,nЗадача. Найдите размерность и базис каждого из указанных ЛПП.Задача.

Докажите, что P AKn×n .5. В ЛП Pol(n, K) подпространствами являются множестваS Pol(n, K) = x(t) ∈ Pol(n, K) x(−t) = x(t)},A Pol(n, K) = x(t) ∈ Pol(n, K) x(−t) = −x(t)},состоящие из четных и нечетных многочленов.Задача. Найдите размерность и базис каждого из указанных ЛПП.k = 1, . . .

, n.P V, dim P = p < dim V = n,e1 , . . . , ep — базис в P . Тогда ∃ep+1 , . . . , en ∈ V \ P такие, чтоe1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , en∗Базис ε , . . . , ε в сопряженном ЛП V называется сопряженным по отношению к базисуe1 , . . . , en в исходном ЛП V . Числа ξk называются координатами ЛФ ξ относительносопряженного базиса ε1 , . . . , εn .29. ЛИНЕЙНОЕБАЗИСАТеорема. Пусть1(символ T означает транспонирование).(2) Подмножество кососимметричных матрицAKn×n = A ∈ Kn×n AT = −A .30. ПОПОЛНЕНИЕξk = ξ(ek ).k(1) Подмножество симметричных матрицSKn×n = A ∈ Kn×n AT = A(3) Подмножество, состоящее из матриц с нулевым следом:P = A ∈ Kn×n tr A = 0 .∗k16ПОДПРОСТРАНСТВОПусть V (K) — ЛП.

Подмножество P ⊂ V называется линейным подпространством(ЛПП) пространства V , если выполнены следующие условия:(1) ∀x, y ∈ P : x + y ∈ P ;(2) ∀x ∈ P , ∀α ∈ K: αx ∈ P .В любом ЛП V имеются тривиальные ЛПП: {0} и V .Обозначения:• P ⊂ V ⇐⇒ P является подмножеством V ;• P V ⇐⇒ P является нетривиальным ЛПП V .Теорема. Пусть V — ЛП над ЧП K и P V .

Тогда P тоже является ЛП над ЧПK.Задача. Докажите теорему самостоятельно.Примеры ЛПП1. V1 V2 V3 .2. R(R) C(R); Rn (R) Cn (R).Задача. Найдите размерность и базис этих ЛПП.3. Подмножество в Kn (K), состоящее из столбцов, сумма элементов которых равнанулю, является ЛПП в Kn (K).Задача. Найдите размерность и базис этого ЛПП.4. В ЛП Kn×n (K) квадратных матриц порядка n линейными подпространствами являются следующие подмножества.— базис в V .Доказательство. Так как p < n, то ∃ep+1 ∈ V такой, что векторы e1 , .

. . , ep , ep+1 ЛН; при/ P , так как в противном случае получили бы dim P > p.этом ep+1 ∈Если p + 1 = n, пополнение базиса завершено. Если p + 1 < n, продолжаем процесс. 31. ПЕРЕСЕЧЕНИЕИ СУММАЛППТеорема. Если P V , Q V , то P ∩ Q V .Доказательство. Проверим выполнение требований определения:x, y ∈ Px, y ∈ P ∩ Q ⇐⇒x, y ∈ Qx+y ∈P⇐⇒⇐⇒ x + y ∈ P ∩ Q.x+y ∈QВторое условие проверяется аналогично.Замечание. Если P V , Q V , то P ∪ Q не является, вообще говоря, ЛПП.Задача. Приведите соответствующий пример.Суммой P + Q ЛПП P, Q V называется ЛО всевозможных векторов вида x + y, гдеx ∈ P , y ∈ Q, т.е.P + Q = αx + βy α, β ∈ K, x ∈ P, y ∈ Q .Таким образом, ∀z ∈ P + Q: ∃x ∈ P , ∃y ∈ Q такие, что z = x + y.Теорема.

Если P V , Q V , то P + Q V .Задача. Докажите теорему.1718Задача. Докажите, чтоxЗадача. Докажите, чтоzxKn×n = SKn×n ⊕ AKn×n .Pol(n) = S Pol(n) ⊕ A Pol(n).33. ЯДРОyPПусть V (K) и W (K) — два ЛП над ЧП K, f : V → W — гомоморфизм.Ядро ker f гомоморфизма f — это множество векторов из Vker f = x ∈ V f (x) = 0W .yQОбраз im f гомоморфизма f — это множество векторов из Wim f = y ∈ W ∃x ∈ V : y = f (x) .z = x + y = x + y .Теорема. Пусть V — ЛП, P V , Q V . Тогдаdim(P + Q) = dim P + dim Q − dim(P ∩ Q).ker f V,Доказательство.1. Пусть P ∩ Q = {0}.

Тогда базис в P ∩ Q пуст, и его дополнения до базисов в P и Qсутьg1 , . . . , gq ,f 1 , . . . , fp ,где p = dim P , q = dim Q. Базис в P +Q состоит из всех этих векторов, поэтому ∀z ∈ P +Qимеемx = x1 f1 + · · · + xp fp + y 1 g1 + · · · + y q gq . =yЭто разложение единственно (единственность разложения по базису) ⇒ P + Q = P ⊕ Q.2. Пусть P + Q = P ⊕ Q. Докажем, что P ∩ Q = {0}.Предположим противное, т.е. допустим, что ∃v ∈ P ∩ Q, v = 0. Тогда v ∈ P , v ∈ Q и∀z ∈ P ⊕ Q имеемz=x+y =x+ v + y − v, ∈Qx ∈ ker f⇐⇒f (x) = 0W ,y ∈ ker f⇐⇒f (y) = 0W ;поэтомуf (x + y) = f (x) + f (y) = 0WЗавершите доказательство самостоятельно.⇐⇒x + y ∈ ker f.Теорема. Пусть f : V → W — гомоморфизм ЛП.dim ker f + dim im f = dim V.(3)Доказательство. Пусть dim V = n, dim ker f = p, e1 , .