Овчинников. Линейная алгебра (лекции), страница 10

Докажите.3. ДЛИНЫИ УГЛЫ ВЕПДлиной вектора x ∈ E называется числоx = (x, x) ≥ 0.Доказательство. Для любых x, y ∈ E и любого α ∈ R имеем:⇐⇒f (α) = α2 (x, x) + 2α(x, y) + (y, y) ≥ 0.Для того чтобы квадратный трехчлен f (α) принимал только неотрицательные значения,необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был неположителен:(x, y)2 − (x, x)(y, y) ≤ 0.1aj b j .5. В Pol(n, R) можно определить СП иначе:δjl .(αx + y, αx + y) ≥ 0nj=0В любом вещественном ЛП имеется бесконечно много симметричных положительноопределенных БФ; поэтому каждое вещественное ЛП может быть сделано евклидовымпространством бесконечным числом способов.Теорема. Неравенство Коши—Буняковского:∀x, y ∈ E :y = y(t) = b0 + b1 t + · · · + bn tn(x, y) =Поскольку det Ge = 0, матрица Ge обратима; обратная матрица G−1называется конeтравариантным метрическим тензором.

Элементы матрицы G−1обозначаются g jk . Имеетeместо соотношениеklxj y j = X T Y,где X, Y — столбцы, представляющие данные векторы (или, эквивалентно, столбцы координат векторов x, y относительно стандартного базиса).2. В R2 (R) можно определить СП формулойgj k = cjj ckk gjk .Ge = C T Ge C,nj=1gjk = (ej , ek ) = (ek , ej ) = gkj .При переходе к новому базису (с помощью матрицы перехода C) матрица Грама преобразуется по тому же закону, что и матрица любой билинейной формы:ynТеорема.

Имеют место соотношения:1) ∀x ∈ E: x ≥ 0, причем x = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.2) ∀x ∈ E, ∀α ∈ R: αx = |α|x.3) ∀x, y ∈ E: x + y ≤ x + y (неравенство треугольника).Доказательство. Утверждение 1 очевидно.2. Имеем:αx = (αx, αx) = α2 (x, x) = |α|x.33. Имеем:4Закон преобразования метрического тензора при переходе к новому базису усложняетсяпо сравнению с вещественным случаем:2x + y = (x + y, x + y) =gj k = (ej , ek ) = (cjj ej , ckk ek ) == x2 + y2 + 2(x, y) ≤= cjj c̄kk (ej , ek ) = cjj c̄kk gjk .≤ x2 + y2 + 2|(x, y)| ≤В матричных обозначениях≤ x2 + y2 + 2xy == (x + y)2 ,откуда x + y ≤ x + y.Угол между ненулевыми векторами x, y — это число ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π), определяемый изуравнения(x, y)cos ϕ =.xyGe = C T Ge C̄.Теорема. Неравенство Коши—Буняковского:∀x, y ∈ U : |(x, y)|2 ≤ (x, x)(y, y).Доказательство.

При (x, y) = 0 неравенство очевидно. Для любых x, y ∈ U таких, что(x, y) = 0, и любого α ∈ C имеем:0 ≤ (αx + y, αx + y) == α(x, αx + y) + (x, αx + y) =Из неравенства Коши—Буняковского следует, что угол определен для любых двух ненулевых векторов.4. УНИТАРНОЕПРОСТРАНСТВОУнитарное пространство (УП) U — это комплексное ЛП со скалярным произведением. Однако в комплексном ЛП не удается ввести скалярное произведение с помощьюсимметричной билинейной формы. Действительно, в этом случае аксиомы скалярногопроизведения оказываются противоречивыми:= αᾱ(x, x) + α(x, y) + ᾱ(y, x) + (y, y) == |α|2 (x, x) + α(x, y) + ᾱ(x, y) + (y, y).Это неравенство должно выполняться для всех α ∈ C, в том числе для α = tt ∈ R.

Получаем|(x, y)|2 2(x, y)t (x, x) + t(x, y)+|(x, y)|2|(x, y)|(x, y)+t(x, y) + (y, y) ≥ 0,|(x, y)|0 ≤ (ix, ix) = i(x, ix) == i(ix, x) = i2 (x, x) = −(x, x),т.е. (x, x) ≤ 0.Скалярное произведение в унитарном пространстве U можно определить как функциюG : V × V → C, G(x, y) = (x, y), обладающую следующими свойствами:1) ∀x, y ∈ U: (x, y) = (y, x);2) ∀x, y, z ∈ U: (x + y, z) = (x, z) + (y, z);3) ∀x, y ∈ U, ∀α ∈ C: (αx, y) = α(x, y);4) ∀x ∈ U, x = 0: (x, x) > 0.Функция G не является линейной по второму аргументу:(x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) == (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z),т.е.f (t) = (x, x)t2 + 2|(x, y)|t + (y, y) ≥ 0для всех t ∈ R.

Это возможно лишь при условии неположительности дискриминантаквадратного трехчлена f (t):|(x, y)|2 − (x, x)(y, y) ≤ 0.В УП понятие длины векторов и свойства этого понятия формулируются и доказываютсятак же, как и в случае ЕП. Понятие угла между векторами УП не вводится.Задача. Используя примеры ЕП, приведенные в § ??, в качестве образцов, постройтеаналогичные примеры УП.5. ОРТОГОНАЛЬНЫЕоднако(x, αy) = (αy, x) = α(y, x) == ᾱ(y, x) = ᾱ(x, y).Функцию G называют полуторалинейным функционалом (линейным по первому и полулинейным по второму аргументу).Если в УП выбран некоторый базис e1 , . .

. , en , то выражение СП через координатывекторов имеет вид(x, y) = (xj ej , y k ek ) = xj ȳ k gjk ,где gjk = (ej , ek ) — матрица Грама (метрический тензор). В матричных обозначениях(x, y) = XeT Ge Ȳe .(x, y), где|(x, y)|ВЕКТОРЫВекторы x, y ∈ E (или ∈ U) называются ортогональными (x⊥y), если (x, y) = 0.Пусть P E — ЛПП в ЕП E (в УП U). Вектор x называется ортогональным подпространству P E (P U), если он ортогонален любому вектору из P :x⊥P⇐⇒x⊥y ∀y ∈ P.Обозначение: x⊥P .Теорема. 1) x⊥x тогда и только тогда, когда x = 0.2) Если x ∈ P и x⊥P , то x = 0.3) Если y⊥x1 , .

. . , y⊥xk , то y⊥L(x1 , . . . , xk ).4) Если x⊥y, то x + y2 = x2 + y2 (теорема Пифагора).5) Если ненулевые векторы x1 , . . . , xp попарно ортогональны, т.е. xj ⊥xk , j = k, то онилинейно независимы.5Доказательство. 1), 2), 3), 4) — докажите самостоятельно.4. Рассмотрим линейную комбинацию векторов x1 , . . . , xp , равную нулевому вектору:6Доказательство.

Докажем первое утверждение. Пусть P — оператора оптогональногопроектирования на ЛПП P ; тогдаy ∈ P ⊥ ⇐⇒ y ∈ ker P ⇐⇒ z = P(y) = 0⇐⇒ z ∈ P, y − z⊥P ⇐⇒ y⊥P.α1 x1 + · · · + αs xs + · · · + αp xp = 0.Умножая скалярно это равенство на вектор xs , получаем αs = 0, что и требовалось.6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕПРОЕКТОРЫПусть P — ЛПП в ЕП E (или в U). Вектор y называется ортогональной проекцией(ОП) вектора x ∈ E на ЛПП P , если y ∈ P и (x − y)⊥P .Теорема. Пусть P E (P U).

Для любого вектора x ∈ E (∈ U) его ОП единственна.Замечание. Вопрос о существовании ОП будет исследован позже.Завершите доказательство самостоятельно.Если P E, то PразложениеТогда, очевидно, y1 − y2 ∈ P иy1 − y2 = (x − y2 ) (x − y1 ) ⊥P, ⊥P⊥PОпределим оператор P, ставящий в соответствие каждому вектору x ∈ E (∈ U) егоортогональную проекцию y на ЛПП P :y = P(x).z ∈ P,∈P∈E (∈U),Так как y, z ∈ P , то y − z ∈ P и поэтому y − z = 0. Таким образом,z = P(y) = y ⇐⇒ P2 (x) = P(x)∀x,Таким образом, ЕП E (УП U) разлагается в прямую сумму ядра и образа оператора P:E = im P ⊕ ker P.Ядро оператора P называется ортогональным дополнением (ОД) ЛПП P = im P и обозначается P ⊥ . Таким образом, для любого ЛПП P E имеемE = P ⊕ P ⊥.Теорема. Ортогональное дополнение P ⊥ представляет собой множество всех векторов y ∈ E, каждый из которых ортогонален подпространству P :P ⊥ = y ∈ E : y⊥P .P ⊥ также является ЛПП в E, причемdim P ⊥ = dim E − dim P.∈P ⊥∈P∈P ⊥БАЗИСЫБазис e1 , .

. . , en в ЕП (УП) называется ортонормированным (ОНБ), если векторы этогобазиса попарно ортогональны:(ej , ek ) = δjk .Очевидно, ej = 1, j = 1, . . . , n.Матрица Грама ортонормированного базиса является единичной матрицей. ВыражениеСП через координаты векторов относительно ОНБ имеет видnxj y j(x, y) =j=1в ЕП иnxj ȳ jj=1y − z⊥P.т.е.

P2 = P.x = y + (x − y) = P(x) + (x − P(x) . (x, y) =Задача. Докажите, что этот оператор линейный.Теорема. P — проектор, т.е. P2 = P.Доказательство. Очевидно, im P = P . Рассмотрим векторы xy = P(x) ∈ P = im P и z = P(y) = P2 (x). По определению, E, E = P ⊕ P , и для любого вектора x ∈ E имеется единственное7. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕx − y1 ⊥P,x − y2 ⊥P.так что y1 − y2 = 0, противоречие.⊥Эта формула доказывает существование ортогональной проекции y = P(x) любого вектораx на любое ЛПП P .Доказательство. Пусть y1 , y2 — две различные ОП данного вектора x на ЛПП P , т.е.y1 ∈ P,y2 ∈ P,⊥в УП.Существование ОНБ в ЕП не вызывает сомнений: каждая симметричная положительноопределенная билинейная форма обладает каноническим базисом, который и являетсяОНБ. В УП существование ОНБ нуждается в доказательстве.Пусть f1 , . .

. , fn — произвольный базис в ЕП E (в УП U). Построим ОНБ в E (U),используя следующий алгоритм (процесс ортогонализации Грама—Шмидта).Положимf1; e1 = 1.e1 =f1 Построим векторg2 = f2 − prL(e1 ) f2 ,где символом prP обозначен ортогональный проектор на подпространство P . Положимg2;e2 =g2 Очевидно,g2 ⊥e1 , g2 = 1.Считая, что векторы e1 , . . . , ek−1 уже найдены, продолжим процесс. Построим векторgk = fk − prL(e1 ,...,ek−1 ) fk ,который, очевидно, ортогонален подпространству L(e1 , . . . , ek−1 ), и положимgk.ek =gk Ясно, чтоek ⊥e1 , ek ⊥e2 , .

. . , ek ⊥ek−1 , ek = 1.7Получим формулу для вычисления prL(e1 ,...,ek ) x для любого x ∈ E при условии, чтовекторы e1 , . . . , ek попарно ортогональны. Согласно определению,89. АВТОМОРФИЗМЫ ЕПУП. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕОПЕРАТОРЫprL(e1 ,...,ek ) x ∈ L(e1 , . . . , ek ),x − prL(e1 ,...,ek ) x⊥L(e1 , . . . , ek ).(Ax, Ay) = (x, y) ∀x, y ∈ E (∈ U).Таким образом,prL(e1 ,...,ek ) x = α1 e1 + · · · + αk ek ;найдем коэффициенты этой линейной комбинации.

Для любого вектора ej , 1 ≤ j ≤ k,имеемx − (α1 e1 + · · · + αk ek ), ej = 0,откуда(x, ej ) −kДоказательство. Пусть A — изометрический оператор и x ∈ ker A, x = 0. ТогдаЕВКЛИДОВЫХ И УНИТАРНЫХ ПРОСТРАНСТВДва ЕП E1 и E2 называются изоморфными, E1 ∼= E2 , если существует отображениеf : E1 → E2 , являющееся изоморфизмом ЛП и удовлетворяющее условию(f (x), f (y)) = (x, y) ∀x, y ∈ E1 .Отображение f называется изоморфизмом ЕП.Аналогично вводится понятие изоморфизма УП.Теорема.

Любые два ЕП одинаковой размерности изоморфны.Теорема. Все автоморфизмы данного ЕП E (УП U) образуют группу Aut E (Aut U)относительно операции композиции автоморфизмлв (умножения линейных операторов).Задача. Докажите самостоятельно.Изучим структуру изометрических операторов.Теорема. 1) Матрица A ортогонального оператора A в произвольном базисе удовлетворяет соотношениюAT GA = G,где G — матрица Грама этого базиса.2) Матрица A ортогонального оператора A в ОНБ удовлетворяет соотношениюAT A = I,где I — единичная матрица.3) Матрица A унитарного оператора A в произвольном базисе удовлетворяет соотношениюAT GĀ = G,где G — матрица Грама этого базиса.4) Матрица A унитарного оператора A в ОНБ удовлетворяет соотношениюгде I — единичная матрица.5) Определитель матрицы изометрического оператора удовлетворяет соотношению| det A| = 1.6) Все собственные значения изометрического оператора по модулю равны 1.Доказательство.

1) В произвольном базисе имеем(x, y) = X T GY,j=1получаем(f (x), f (y)) =nX T GY = X T AT GAY⇒G = AT GA.6) Пусть x — СВ изометрического оператора A, принадлежащий СЗ λ. Имеем:xj y j ,(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = |λ|2 (x, x),j=1Задача. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему для УП.(Ax, Ay) = (AX)T G(AY ),так чтоf (y) = y k ẽk ,т.е. f — изоморфизм.AT Ā = I,Доказательство. Пусть e1 , . . . , en — ОНБ в E1 , ẽ1 , .