Том 2 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 7

Все многочлены, имеющие корень а £ К.4 5 .1 3 . Все многочлены, имеющие корень а £ С \ Е .4 5 .1 4 . Все многочлены, имеющие своими корнями не равныемежду собой числа <4,Д а ,.. . ,а * £ R.4 5 .1 5 . Многочлен / (x i,X 2 , . . . , x n) о т п н еи звестн ы х с коэф­фициентами из произвольного поля Р н а зы ва е тся однородныммногочленом , если можно указать такое н ату р ал ьн о е число т ,что/ ( * * i,« * 2 , . . . , ^ n ) = tm/ ( x il x a i . . . 1x n)Щ £ Р.П оказать, что все однородные многочлены степени к о т п неиз­вестных х ь х 2 , . . . , х „ с коэффициентами из произвольного полявместе с нулевым многочленом при обычных операциях над мно­гочленами образуют линейное простран ство, и найти его размери п гттгг§45.Линейное подпространство314 5 .1 6 .Найти размерность и какой-либо базис комплексногоарифметического подпространства, заданного системой линей­ных алгебраических уравнений:Л (I 4 i > i + ( l + 3i)za=0, .

Л ( l - i ) i i + (2 + »)*2=0,' 1 (1 - 2*‘)х, + (1 + 2|>а=0; °} \(6 - 4«)х, + (9 + 7«)х2=0;(в)(1 - i ) x , 4 ( - 3 4 2 i > i 4 ( 2 - i ) x 3 = 0,< ( - 4 + 6i)i| + (-1 —3i)x2 — 3ix3 = 0,l( - 9 4 ijz j 4( 5 - i ) x 244x3 = 0;fxi 4 (1 - i)x2 4 (2 4 0 I 3 = 0,r) < (1 - 3 t> i - (2 4 4i)x3 4 (5 - 5i)x3 = 0,(2ii| 4 (2 4 2 i) ij 4 ( - 2 4 4i)x3 = 0;д)X i2x2 4 ( l 4-x i 43x2 - (1 4i l l 4 ( 1 4 i )z 2 +2ix i 4(2 - i)x 2 - (1 42i)x3 - ( l - i ) x 4 = 0,3t)x3 4 (2 - i)x4 = 0,x3 42ix4 = 0,2ix3 - (2 - 2i)x4 = 0,2 i') x 3 4 ( 2 - i ) x 4 = 0.Найти размерность и какой-либо базис линейных оболочек,натянутых на следующие системы векторов соответствующихлинейных пространств.4 5 .1 7 . а , = ( 1 ,0 ,0 ,- 1 ) , а2 = (2,1,1,0), а3 = (1,1,1,1),ал - (1 )2 ,3 ,4 ), а5 = (0,1,2,3).4 5 .1 8 .

а 3= (1 ,1 ,1 ,1 ,0 ), а2 = ( - 1 ,-1 ,1 ,1 ,1 ), а3= (2 ,2 ,0 ,0 ,-1 ),а4 = (1 ,1 ,5 ,5 ,2 ), а5 = ( 1 ,- 1 ,- 1 ,0 ,0 ) .4 5 .1 9 . /»(!) = 1б 4 1\ h {t) = t6 4 3f4 - t, h{t) = l6 - 2(4 4 l,h (t) = t* - 414 4 2 1.4 5 .2 0 . cx - ( - 3 4 2c2 = (3 4 i , 7 —6t).4 5 .2 1 . c, = (1, - 2 ,t ) , c2 = (2 - i , - 4 4 2 t,l 4 2i),c3 = (3i, - 6 i , - 3 ).4 5 .2 2 . cI = (0l 3 4 * , 4 - i , - 3 ) ,c2 = (1,1,1,1 - i),c3 = (1 ,7 4 6i,9 - 2 i,- 5 - »)•4 5 .2 3 . Cl = (1 ,1 ,1 ,1 ), c2 = ( 1 , 1 , 1 , ! - 0 , сз = (1)2,1,3),c4 = ( 0 ,0 ,0 ,1 ), c5 = (2,3,2,4 - i)<4 5 .2 4 . A\ -6 9 801 6A2 -2 1 13 0 1A3 -2 7 6'-61 4 '4 5 .2 5 .Линейное подпространство L натянуто на системувекторов X i , .

. . , x * . Доказать, что размерность L равна рангусистемы X i , . . . , ! * , а базисом может служить любая база этой32/лава ХИ.Л нш'Иноу пространство нал произвол*,ньш полейсистемы.4 5 .2 6 . Пусть Г - n-мерное линейное п р о стр а н ст в над ц0.лем Р , состоящим из q элементов. Найти количество А-мсрны*подпространств пространства V.Найти системы линейных алгебраических уравнений, онисы.вагоших линейные оболочки, натянутые на следующие системывехторов.4 5 .

2 7 . Л) = ( 1 , - 1 , 1 , 0 ) , а а = ( 1 , 1 , 0 , 1 ) , в з = ( 2 , 0 , 1 , 1 ) .4 5 .2 8 . e, = ( l , - l , l , - l , l ) , o j = ( l , 1 ,0 ,0 ,3 ), Аз = ( 0 , 1 , 1 .-1 .7 ),он = ( 0 ,2 ,- 1 ,1 ,2 ) .4 5 .2 9 . с, = (1 + i,3 ), с, = (3 - 1,3 - 6t).4 5 .3 0 . с, = ( 1 , 1 , 1 , ! - * ) *4 5 .3 1 . с, = (0,3 + i,4 - J, - 3 ) , с, = (1 ,7 + 2t, 9 - 2t, - 5 - i),г3 = (1,4 + i , 5 - I, —2 —i), Сц = (l, 1,1,1 “•*')•4 5 .3 2 . Пусть L - m-мерное линейное подпространство nмерного пространства V.

Доказать, что можно найти такойбазис в | ,..., еп пространства V, в котором первые тп векторовпринадлежат подпространству L.4 5 .3 3 . Доказать, что каково бы ни было m -мерное подпространство L n-мерного пространства V , где тп < п, найдетсябазис Г , в котором: а) не содержится ни одного вектора из L\б) содержится ровно к векторов из L, к < тп.4 5 .3 4 . Можно ли составить базис пространства Мъ из мно­гочленов пятой степени? Можно ли, наоборот, найти базис этогопространства, в котором бы не содержалось ни одного многочле­на пятой степени?4 5 .3 5 . Доказать, что линейная оболочка системы векторовх\\ •••>** является пересечением всех подпространств, содержа­щих векторыи в этом смысле является наименьшийподпространством, содержащим эти векторы.4 5 .3 6 . Пусть V - л-мерное линейное пространство. Если е какоя-либо базис пространства I , то для каждого вектора а 6 Vобозначим через at строку из его координат в базисе е.

Доказать,что две линейно независимые системы а , , а 2, . . . , а* и Ьг, 62, - ■•, 6*{к < п) пространства V эквивалентны тогда и только тогда,когда в любом базисе е соответствующие миноры А:-го порядкаИ ВГ, ^остан'1енные из строк ( п , ) е, ( а а) „ , . . . , (а * ), иl°Ue> { ° 2)€, ■■., (5 * ),, пропорциональны.§4Д.33Л и н е й н о е п одп р остр ан ство4 6 . 3 7 .

Д о к а з а т ь , ч т о дл я л ю б о г о р Е Г 1d i m ( / M + . . . -f L p) < dim L , + . . . + dim L v .4 5 .3 8 .П у с т ь L i - ли не йная об о л о ч к а в е к т о р о вL 2 - ли ней н ая о б о л о ч к а в е к т о р о в b l , . . . , b i . Д о к а з а т ь , ч т о б а з и ­с о м с у м м ы L 1 + L i м о ж е т с л у ж и т ь л ю бая б а з а с и с т е м ы а х, . .

. , a t ,6|. П ч а с т н о с т и , б а з и с L x + L 2 м ож но п о л у ч и т ь до полн е­нием к ак б а з и с а 1,х, т а к и б а з и с а L 3 .Н а й т и р а з м е р н о с т ь и к а к о й -л и б о б а з и с с у м м ы п о д п р о с т ­р а н с т в L\ = £ ( а х, . . . , а * ) и L i = £ ( Ь Х, . . . , Ь | ) дл я к а ж д о й изс л е д у ю щ и х с и с т е м в е к т о р о в с о о т в е т с т в у ю щ и х л и н е й н ы х пр о­странств.4 5 .3 9 . а х = ( 0 , 1 ,1 , 1 ) , а2 = (1 ,1 ,1 ,2 ), оэ = ( - 2 ,0 ,1 ,1 ) ;6 , = ( — 1 , 3 , 2 , — 1 ) , Ь2 = ( 1 , 1 , 0 , - 1 ) .4 5 .4 0 . а, = ( 2 , - 5 , 3 ,4 ), а2 = ( 1 ,2 ,0 ,- 7 ) , а 3 = ( 3 ,- 6 ,2 ,5 ) ;6 , = ( 2 , 0 , - 4 , 6 ) , Ь2 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , Ьз = ( 3 , 3 , 1 , 5 ) .'1 2"Г1 3' 1 1 1 Ьх = Г 1 о 1 ,4 5 .

4 1 . «1 —, а2 =1 о ];[ ю ] ’ Ьг 10 1=4 5 .4 2 .*>i“' 1 11 11 2L0 2Г 1 311 - 1 1, а2 =1 - 1 , аз = l l з ] ;L1 21ГЗ 1 1Ьз =1 ь2 — |.1 2 ’[з 1JU]■4 5 .4 3 .Д о к а з а т ь , ч т о с у м м а L x + Ь 2 д ву х л и н ей н ы х под­п р о ст р а н с т в р а в н а п ер есеч ен и ю всех ли н ей н ы х п о д п р о стр а н ств ,с о д е р ж а щ и х к а к L x, т а к и L 2 .4 5 .4 4 . Д о к а з а т ь , ч то для лю бого р € Nd i m ( / ,x + . . .

+ L p ) > m a x ( d i m L x, . . . , d i m L p ) ,п р и ч ем зн а к р а в е н с т в а в эт о м н ер а в ен ств е д о ст и г а е т с я т о г д а ит о л ь к о т о г д а , к о г д а одн о из п о д п р о ст р а н ст в L , со д е р ж и т всео стал ьн ы е п одп р остр ан ства.4 5 .4 5 . П у ст ь V — ли н ей н ое п р о ст р а н ств о н ад беск он еч н ы мп о л ем . Д о к а з а т ь , ч т о о б ъ ед и н ен и е ко н еч н ого м н о ж е с т в а п о д п р о ­стр а н ств в I ' явл я ется п одп р остр ан ством то гд а и то л ько то гд а ,к о гд а одно из п о д п р о стр а н ств со д ер ж и т все о ста л ь н ы е.4 5 . 4 6 . П у с т ь V' - л и н е й н о е п р о с т р а н с т в о н а д б е с к о н е ч н ы мп о л е м Р и V 'i , .

. . , V* - е г о п о д п р о с т р а н с т в а , п р и ч е м V XU . . .U V 't =V . Д о к а з а т ь , ч т о V = V} д л я н е к о т о р о г о j = l , . . . , f c .4 5 .4 7 . П у сть Vл и н е й н о е п р о с т р а н с т в о н а д п о л е м Р , 1\ и27-47034Г л а в л Х П .Л и н е й н о е п р о с т р а н с т в онал произвольным полейГ , - е г о п о д п р о с т р а н с т в а , причем V, U V j = Г .л и б о Г = Ц , ли бо Г = V3.Д о к а з а т ь , что4 5 .4 8 .П р и вести пример т а к о г о п р о с т р а н с т в а V н ад конн ы м п о л ем , ч т о Г = V', U Г , U Г3 , гд е в се Г , , Ц , Г 3 я в л я ю т с я под.п р о с т р а н с т в а м и , о тл и ч н ы м и о т V' и о т н у л е в о го подпростран­ства.Н а й ти р а зм е р н о с т ь и как о й -л и бо б а з и с п ер есеч е н и я д ву х под.п р о с т р а н с т в L\ = £ ( п , , . .

. , а * ) и i j = C ( b y , . . . , b , ) д л я каждойи з с л е д у ю щ и х с и ст е м в ек т о р о в .4 5 . 4 9 . а , = ( 2 , 1 , 0 ) , а 3 = ( 1 , 2 , 3 ) , а 3 = ( —5 , —2 , 1 ) ;Ьу = ( 1 , 1 , 2 ) , Ь3 = ( - 1 , 3 , 0 ) , Ь3 = ( 2 , 0 , 3 ) .4 5 .5 0 . а , = ( 1 ,2 ,1 ,1 ) , а 2 = ( 2 ,3 ,1 ,0 ) , а 3 = ( 3 , 1 , 1 , - 2 ) ;by = ( 0 , 4 , 1 , 3 ) , Ь3 = ( 1 , 0 , - 2 , - 6 ) , Ь3 = ( 1 , 0 , 3 , 5 ) .4 5 .5 1 . о, = (1 ,1 ,0 ,0 ) , в , = ( 0 ,1 ,1 ,0 ) , а 3 = ( 0 ,0 ,1 ,1 ) ;by = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , Ь3 = ( 0 , 2 , 1 , 1 ) , Ь3 = ( 1 , 2 , 1 , 2 ) .Н а й т и р а зм е р н о с т и и к а к и е -л и б о б а з и с ы с у м м ы и пересече­ни я п о д п р о с т р а н с т в Ьу — £ ( a l l .

. . , a t ) и L 3 — £ ( 6 Ь . . . , 6 ,), на­т я н у т ы х н а с л е д у ю щ и е с и с т е м ы к о м п л е к с н ы х ари ф м ети ч ески хв е к т о р о в ; р а с с м о т р е т ь д в а с л у ч а я : к о г д а о с н о в н ы м п о л ем явля­е т с я п о л е R в е щ е с т в е н н ы х ч и сел и к о г д а - п о л е С ком плексны хчи сел.4 5 . 5 2 . а , = ( 1 , 2 ,3 ) , а 3 = ( 1 , - 2 , » ) , а з = ( 2 , 0 , 3 + *);6, = (1 ,0 ,3 » ) ,= ( 1 , 4 ,3 + 2 * ), 63 = ( - 1 , 4 , 3 - 4 0 -4 5 .5 3 .

а , = ( 1 ,1 ,1 ,1 ) , а , = ( 1 ,2 ,1 ,3 -i), а 3 = ( 2 , 3 ,2 , 4 - i ) ,= ( 1 , 1 , 1 , 1 - «); 6 » = ( 0 , 1 , 0 , 3 — 0 , 6 2 = ( 0 , 2 , 0 , 5 - 2»),Ь3 = ( 0 , 2 + » , 0 , 6 + i ) , ЬА = ( 1 , 4 + t , 5 — i , - 2 - i ) .Н а й т и р а з м е р н о с т ь и к а к о й -л и б о б а з и с п е р е с е ч е н и я д в у х под­п р о с т р а н с т в Ly и Z .J, е с л и п е р в о е з а д а н о о д н о р о д н о й системойу р а в н е н и й , а в т о р о е - к а к л и н ей н а я о б о л о ч к а с и с т е м ы векторовa i , a 2,fl3 .4 5 .5 4 .f 9i iхЗх6 2+3\ 6 i i - Ах3 + 2 х 3-0,0;ау = ( 2 , 3 , - 1 ) ,а2 = (1,2,2),аз = ( 1 ,1 ,- 3 ) .а» = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) ,4 5 .5 5 . { - 5 x j + Зх2 + х 3 + х л = 0;а 2 = ( 1 ,0 ,1 ,- 1 ) ,а 3 = (1 ,3 ,0 ,- 4 ) .§45.Линейноеподпространство35а, = ( - 1 ,6 ,4 ,7 , -2 ) ,аз = ( - 2 , 3 , 0 , 5 , - 2 ) ,а3 = ( - 3 , 6 , 5 , 6 , - 5 ) .х ,+ х 3 - 2х4=0,2 х , + 2 х 3 - 5 х 4 + х 3 = 0;4 5 .5в• {4 5 .

5 7 . Найти размерности и какие-либо базисы суммы ипересечения подпространств L\ и Z,2, если первое задано одно­родной системой уравнений, а второе - как линейная оболочкасистемы комплексных арифметических векторов ах ,а} , а 3 (рас­см о тр еть д ва случая, когда основным полем является поле Явещ ественны х чисел и когда - поле С комплексных чисел):а, = ( 1 , —2,«),ЗХ( + (1 - 2 i)x t + ix 3 = 0,а 2 = (2 ,1 + I, - » ) ,(3 + 6 i ) i i + 5 х 2 - (2 - i)x 3 = 0;a3 = (0 ,5 -f i ,- 3 i ) .Найти какие-либо базисы суммы и пересечения двух подпро­стр ан ств Li и Z,j, заданных однородными системами уравнений.- x 3 + xs= 0 , ( х, + х 2 - х 3 - х 4=0,4 5 .5 8•i j + х 3 - х 4 = 0; \ 2 х , + 2х3 - х3 - Зх4 - xs = 0.ft:4 5 .5 94 5 .6 0‘ {' 2 x t - i j - х 3 = 0,x i - x 3 - x 4 = 0;f 2xi +| 3 i i - i j - Зх3 = 0,\ Xi —x 3 — x4 = 0.fx 2 — x 4 = 0,| - 3 x 2 + 3 x 4 = 0.x 2 - 2 x 3 — x.| = 0,x 3 - 2 x 4 = 0;\ x t + 2x2 -4 5 .6 1 .