Том 2 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 4

. . , хт .П ок азать, что система X j , . . . , х т , Уь ••■, Уп экви валентна систе­ме х , , . . . , х т .4 4 . 5 3 . Д оказать, что в каждой систем е векторов X i , . . . , x m,содержащей хотя бы один ненулевой вектор , можно выбратьэквивалентную ей линейно независимую подсистем у.$44. Определение и основные свойства174 4 .5 4 . Ламы векторы:а, = ( 0 ,1 ,0 ,2 ,0 ) , а , = (7 ,4 ,1 ,8 ,3 ) , о3 = (0 ,3 ,0 ,1 ,0 ) ,ал = ( 1 ,9 ,5 ,7 ,1 ) , а 5 = (0 ,1 ,0 ,5 ,0 ) .Можно ли подобрать числа с,; , i, j = 175, т а к , чтобы векторы6, =+ с,3аг + с,3а3 + с,4ач + с,5а5,i = Т75,были линейно независимы?4 4 .5 5 . Д оказать, что вектор ft тогда и только тогда линейновыражается через векторы а|,а а ,- ..,( ц , когда ранг последнейсистемы векторов не меняется от добавления к ней вектора ft.4 4 .5 6 .

Д оказать, что если две системы векторов имеют оди­наковый ранг и одна из этих систем линейно выражается черездругую, то эти системы эквивалентны.4 4 .5 7 . Д оказать, что если пересечение двух систем векторовА = { d ! , . . . , ^ } и В - {f c i,...,fc m} непусто, тоrg(A П В ) + rg(A U В) < rg/l + rgJ9.4 4 .5 8 . Д оказать, что для любых двух систем векторов А ={ a i , . . . , a * } и В = { f t i , . . . , 6 m} справедливо равенствоrg(A U В) < rg А + rg В,причем равенство в этом соотношении выполнено тогда и толь­ко тогда, когда ни один вектор одной системы не выражаетсялинейно через векторы другой системы.4 4 .5 9 .

Д оказать, что в л-мерном линейном пространстве лю­бые п линейно независимых векторов образуют базис.4 4 .6 0 . Д оказать, что любой ненулевой вектор пространстваможно включить в некоторый базис этого пространства.4 4 .6 1 . Д оказать, что в конечномерном пространстве суще­ствует базис, не содержащий ни одного вектора из заданной си­стемы векторов a i , . .

. , a t .4 4 .6 2 . В пространстве I s найти три различных базиса, име­ющих общие векторы е : = ( 1 ,0 ,0 ,1 ,1 ) , е2 = (0 ,1 ,1 ,0 ,0 ) . Верноли, что сущ ествует лишь конечное число таких базисов, в кото­рых системы добавляемых векторов попарно не эквивалентны?4 4 .6 3 . Систему многочленов t 5 + tA, ts - 'it3, t5 + 2 t7, ts - tдополнить до базиса пространства Ms4 4 .6 4 . Систему матриц'2 7 6 '6 1 4нить до базиса пространства К2ХЗ'2 1 Г)3 0 1'4 8 7'1 9 2 5 допол-18 Глава .ХП.Линсйнос пространство над произвольным44.6S. Систему матриц1 1 0'1 U 10 10'0 0 2 '0 1 (12 0 1'2 0 0 '0 1 00 0 0' ° 0 (п1 0 1.0 0 00 200 0 0дополнить до базиса п р о ст р а н ств а Ш3 х3 .М ожно Л((020выбрать все добавляемые матрицы к о со си м м етр и ч ески м и ?Показать, что векторы С | , .

. . , е п образуют базис арифмеп,ческого пространства и найти координаты вектора х в этом б*,знсе:44.66. е, = ( 2, 2, -1), с, = ( 2 , - 1 , 2 ) , е3 = ( - 1 , 2 , 2 ) ;х = (1,1,1).44.67. е, = (1,5,3), е3 = (2 ,7 ,3 ), еа = ( 3, 9, 4) ;j = (2 - 2», 7 - 4 » , 4 - i).44.88. е, = ( 1 , 2 , - 1 , - 2 ) , е3 = ( 2 , 3 , 0 , - 1 ) , е3 = ( 1, 2, 1, 4),Сч = ( 1, 3, -1, 0); г = (7,14, - 1 , 2 ) .44.69. е, = (1,2,1,1), е3 = (2, 3, 1, 0) , е3 = ( 3 , 1 , 1 , - 2 ) ,«, = ( - 4 , 4 , - 1 , 6 ) ; * = ( 7, 8, 7, 2) .44.70. Построить какой-либо базис в вещественном про.странстве C j и найти координаты в этом базисе вектора(1 + « , 1 - 2 0 .44.71.

Арифметические векторы e t , . . . , е„ образуют базис вкомплексном пространстве С". Доказать, что:а) векторыe i ,...,e B,ie i,...,ie „ образуют базис в вещественном пространстве C j;б) векторы е]|. . . , е П|ае|........аеп образуют базис в вещест­венном пространстветогда и только тогда, когда комплекс­ное число а не является вещественным.44.72. Найти координаты многочлена Is - <4 + <3 - Is - <+ 1в каждом из следующих базисов пространства М&:а ) 1, 1, tJ, t3, t\ Is;б)1 , I - i, t’ + i, I* - 1 , « H i ,<5 + «;в) 1 + t3, t + <3, <5 + I3, t3, <4 + l3, t6 + t3.44.73. Доказать, что многочлены 2<+ <5, <3- < 5, <+ <3 образуютбазис в пространстве нечетных многочленов степени не выше 5,и найти координаты многочлена 51 - I3 + 21& в этом базисе.44.74.

Показать, что последовательностие, = ( 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 , . . . ) , е3 = ( 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , . . . )$44.Определениеи основные свойства19образуют базис пространства всех последовательностей веще­ственных чисел (<*1, 02, . . . ) ,удовлетворяющих условию a t =a * - i + а *-*1 ^ > 3. Разложить по этому базису последователь­ность I = ( 1 , 1 ,2 , 3 ,5 , 8 ,. .. ) ,4 4 .7 5 .Д оказать, что система матрицIIьзI 22 Г2 1.2 1.,£ э =1 22 21 2.1 1образует базис пространства Ш3х3. Построить другой базис это­го пространства так , чтобы ни одна из его матриц не выража­лась линейно через какие-либо две матрицы базиса Е\, Е г, Е3,Е<.4 4 .7 6 .Е ,=Д оказать, что матрицы1 -Г.1 - 1 .,£ * ='2 5 ',£ з =1 31 Г3 4'0 15 7образуютбазис пространства 1 3х3,[5 14’в этом базисе.матрицы А =6 134 4 .7 7 .и найтиНайти координаты матрицыкоординатыв каждом изследующих базисов пространства С3х3:1 гб)1 i'1i 0"i Г1 11 Г)1 t1 Г0 i1 0)0 1)1 1i 11г 32 1+ i1i4 4 .7 8 .

Д оказать, что матрицыЕ< =31см0Г1 0Е, = 01 00: -2362Е ,=',Ъ =СМ0'1 221 -2,2 -21: 22 -Г2 -1-1222£з =,Ее =233'3445:01Г1 -1 -11 -1 -2образуют базис пространства симметрических матриц порядкаГО 6Гв этом базисе.3, и найти координаты матрицы .4 = 6 3 - 31 - 3 -320 Глада Л'//.Линейное пространство нал произвольны4 4 .7 9 . Доказать, что каждая из двух систем вектор0а<*» = (1 - 1 , 3 + 2 i),е',=(1,9 + 3 .),е, = ( - 1 + 2«, 3 - «),е'3 = ( - 1 + 3i,9)является базисом пространств С3, и найти матрицу лерех0первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в Че 4 °тбазисе, если известны его координаты ( х ь 1 2) во втором г)а^1|Г|М4 4 .8 0 . Доказать, что каждая из двух систем векторов ИсеОРЪ1, 0 , - i ) ,0 , - i , 1),IIс', = (е', = («1 = ( 1 , о , «),е, = ( 0, i , l ) ,сз = ( », 1,0),является базисом пространства С3, и найти матрицу переход^первого базиса ко второму. Найти координаты вектора в перв°Тбазисе, если известны его координаты ( 1 1 , 1 2 , 1 3 ) во втором б**'зкее.4 4 .8 1 .Показать, что многочлены 1, t - с, (< - с ) 2 , .

, . , (<образуют базис в пространстве Л/„, и найти координаты Мно^члена/ ( 1 ) = во + ail + в 212 + - . . . + antnв этом базисе.4 4 .8 2 . Найти матрицу перехода от естественного базиса пр0.странства Л/„ к базису 1 , t - с, (/ - с ) 2 ,с)п.4 4 .8 3 . Доказать, что каждая из двух систем матриц'123 00 2'■»0 г-11I0 0001 _2'10‘0 01 0 10 2')'3 12 1'11 0'0 00 0'0 11'■1'4 3 '1'‘3' 0 1■'3 0 '4 -15 ) -1 21 5 1 * 3 0 1 00 21 21 -20 01 0'0011 -14.0является базисом пространства 1 3х3, и найти матрицу перехо­да от первого базиса ко второму.

Найти координаты матрицыразмера 3 х 2 в первом базисе, если известны ее координаты. . . , z e) во втором базисе.4 4 .8 4 . Доказать, что каждая из двух систем матриц401-2см0 -Г001 -4о07■ 01 -2‘- 1 03 )2 -300 -220444.Определение и основные свойства■ 0-1-11Г0 -110'>02-2 '-2032 -30210-101 0 '0 -220является базисом в пространстве кососимметрических матрицпорядка 3, и найти матрицу перехода от первого базиса ко вто­рому. Найти координаты кососимметрической матрицы поряд­ка 3 в первом базисе, если известны ее координаты ( z i , х 2, х3) вовтором базисе.4 4 .8 5 .

Д оказать, что каждая из двух систем многочленовt - t 2, <3, 1 + 5< + <3, (1 + г)3(1+о 3 . (1-г) 3 . t - t2+ t3, i + t + t’ + t3является базисом пространства М3. Найти координаты много­члена степени не выше 3 в первом базисе, если известны егокоординаты ( i t , х 5, х 3, г.,) во втором базисе.4 4 .8 6 . Д оказать, что каждая из двух систем многочленов(1 + <2)3, (1 ~ i 3)2, 1и1 + г2 - и 4, 1 - <2 + 1\ fявляется базисом в пространстве четных многочленов степенине выше 4 , и найти матрицу перехода от первого базиса ко вто­рому. Найти координаты четного многочлена степени не выше 4в первом базисе, если известны координаты ( х ь х 3, х 3) во второмбазисе.4 4 .8 7 .

Как изменится матрица перехода от одного базиса кдругому, если:а) поменять местами t-й и j -й векторы первого базиса;б) поменять местами i -й и j -й векторы второго базиса;в) зап и сать векторы обоих базисов в обратном порядке?4 4 .8 8 . М атрица S является матрицей перехода от перво­го базиса, . . . , е„ ко второму базису f i , . . . , /„ п-мерного про­стр ан ства V, а матрица Q - матрицей перехода о т третьегобазиса g i , . . . , g n ко второму базису / i ,. .. ,/ „ . Найти матрицуперехода:а) от второго базиса к первому;б) от первого базиса к третьему.4 4 .8 9 .

Как связаны между собой базисы /i,...,/„ и е\,...,епп ространства V, если матрица перехода о т базиса е к /:22 Глава ХН.Линейнос пространств нал произвол!.»»,...а ) диагональная;б ) скалярная;в) верхняя треугольная;г) нижняя треугольная?4 4 .9 0 . В n-мерном линейном пространстне заданы нектоет , причем т > л + 2.

Д оказать, что сущ ествую т такчисла Q i , . - . , ftm, нс все равные нулю, чтоЕ ," I o,Ci = в и YiT-i= 0.4 4 .9 1 . Доказать, что система векторов линейного проструст в а является базисом тогда и только т о гд а , когда она образу^минимальную систему векторов, порождающую все пространство.4 4 .9 2 . Пусть C i , . . .

, e „ и / ь - - »/ п - два б ази са линейногопространства V' и 1 < к < п. Д ок азать, ч то из векторов вто.рого базиса можно выбрать такие к векторов, что после обменаих с векторами e l t . . . , c t из первого бази са получатся снова цВ1базиса пространства V'.4 4 . 9 3 . Векторы X | , . . . , x t € V' линейно независимы, аба.зиспространства V таков, что он о с т а е т с я базисовпосле замены вектора е; на вектор х, при любом i = \,к.

Вер.но ли, что векторы х , , . . . , x * , e t + i, . . . , е „ тож е образую т базиспространства V'?4 4 . 9 4 . Пусть V' - л-мерное линейное п р о стр ан ств о над полейР , состоящим из q элементов. Найти;а ) число векторов в пространстве V ;б) число базисов пространства V ;в) число невырожденных матриц n -го порядка над полем Р.§45.Линейное подпространствоНепустое подмножество L пространства V называется линейным nodп р о с т р а н ст в о * п р остран ства V', если оно сам о является линейным прост­ранством относительно талонов композиции, действую щ их в V . Другое олрелеленве линейного подпространства, эквивалентное этом у, устанавливаете!теоремой 18.1, которая имеет место и в общем случае.Как уккэыкалось в $22, множество всех решений однородной системыуравненийАх — 0(45.1)с п неизвестными образует линейное подпространство арифметического про­стран ства S " .