Том 2 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 3

В комплексном линейном пространстве V определе­на новая операция умножения на число по правилу а о х = ах,V G С. Доказать, что V является комплексным линейным про­странством относительно старой операции сложения векторов иновой операции умножения на число.4 4 .8 . Найти ошибку в следующем ’’доказательстве" того,что аксиома 1 •а = a Va G V вытекает из других аксиом линей­ного пространства: "Пусть а = ab, тогда 1 -а = l(a6) = (1 -а)6 =ab = а” .4 4 .9 . На множестве Ж+ положительных действительных чи­сел определены следующие операции:а) "сложение” хфу = ху (т.е. обычное умножение х и у);б) "умножение на действительное число” а © х = х° (т.е.возведение х в степень а).Показать, что множество Ж+ относительно указанных опера­ций образует вещественное линейное пространство.>2 Глава Л*//.Линейное пространство нал произвольны^.4 4 .1 0 .Пусть 1* - множество всех функций, заданны х иннмаюшкх положительные значения на отрезке [а, 5].пРц.лим сложение двух функций н умножение функции на числ^®'вене т вам и:Р*/ Ф Р = /.<?» о © / = / ° ,/> Р €G К.а)Проверить, что относительно указанны х операций VЧв-1я.ется вещественным линейным пространством .б)Д оказать, что пространство V изоморфно пространСтV» всех действительных функций, заданны х на отрезк е (а ,Ь ],0Й5гноснтсльно обычных операций сложения функций и умножец^'функции на число.я4 4 .

1 1 . Пусть Р - поле, F - его подполе,а)Д оказать, что Р является линейным пространством нполем F .б) Найти базис и размерность поля С над полем R.в) П усть m t , . . . , ггц - различные натуральны е числа, кажд^из которых не делится на квадрат простого числа. Д оказать, ч*0числа 1, у/тп7 , . . . , у/тп линейно независимы в пространствег) Пусть г ь . . . , г п - различные рациональные числа из ин­тервала ( 0 , 1 ) . Д оказать, что числа 2 Г*, . . . , 2 Г" линейно незави­симы в пространстве R q .4 4 . 1 2 . Пусть р - простое число и Zp = { 0 , 1 , . . .

, р - 1} множ ество, в котором операции сложения и умножения вводитсяпо правилам (сы. пример 4 4 .3 ):х @ У = (х + 1/) mod р, X о у = ( х у ) mod р.а ) П оказать, что Zp образует поле, и следовательн о, являетсялинейным пространством над самим собой.б ) Ввести структуру линейного п р о стр ан ств а на множестве£р всевозможных арифметических векторов, в которы х каждаякомпонента равна одному из чисел м н ож ества Zp.в) Найти общее число векторов в линейном п р о стр ан ств е^и его размерность.4 4 . 1 3 .

Привести примеры линейных п р о стр ан ств , состоя­щих из п век торов, если: а) п = 1; б) п = 2; в) п = 3; г) п = 4.4 4 . 1 4 . Показать, что если линейное п р остр ан ств о V содер­жит конечное число векторон, большее одного, т о его основноеподе конечно.4 4 . 1 5 . Сущ ествует ли линейное п р о стр ан ств о , состоящее из§44.Определение и основные свойства13шести векторов?4 4 .1 6 .

Пусть V - линейное пространство всех подмножествконечного множества М из п элементов нал полем Zj (си. при­мер 44.4). Д оказать, что если ни одно из подмножеств Х ,, . .. , Х кэтого множества не содержится в объединении остальных, то этиподможества составляю т в V линейно независимую систему.4 4 .1 7 .

Д оказать, что пространство V всех подмножеств мно­ж ества М из п элементов (см. пример 44.4) и арифметическоепространствоизоморфны как линейные пространства над по­лем Z j. У казать какой-либо изоморфизм между ними.4 4 .1 8 . Д ва вектора а и 6 линейного пространства V над по­лем Р называются коллинеарными, если существует такое числоа € Р, что либо а = ab, либо Ь = а а.

Выяснить, являются ликоллинеарными следующие пары векторов комплексных ариф­метических пространств:а) ( 1 , 1 + i , 2 , 2 - 3 i ) ,б) (1, г, 2 — г ,3 + - г),(i, l - i . 2 + i , - l ) ;(1 -1 + :, 1 — Зг, 4 — 2i).Будут ли они коллинеарны как векторы соответствующ их ве­щественных арифметических пространств?4 4 .1 9 .

П усть в пространстве V над полем Р задан неко­торый базис е ] , . . . , е п. Т огда каждому вектору х € V можнопоставить в соответстви е строку его координат в этом базисе:Zh-> х е = (а г ,,...,а г „ ).Доказать, что:а) линейная зависимость (линейная независимость) системывекторов х , у , . . . , г равносильна линейной зависимости (соответ­ственно линейной независимости) системы строк x e,y e, . . . , z t,рассматриваемых как элементы соответствующ его арифметиче­ского пространства Р п\б) ранг системы векторов x , y , .

. . , z равен рангу системыстрок х е,з/е, . . . , г е;в) если вектор а линейно выражается через систему х , у , . . . ,z , т.е. а = Хх + р у + . . . + иг, то это же верно и для строк а е, х е,yt , . . . , гс, причем ае = Ах„ + р у е + . ••+ uzt .4 4 .2 0 .

Вы яснить, являются ли следующие системы матрицлинейно зависимыми:14Глада XII,Линейны пространстпо нал произиольнык,« и; ! ■ [ : ! ■: ] ■[ - ; : ц :■!]•Запнгнт ли ответ от того, каким является пространстпоствснным или комплексным?в° '%4 4 .2 1 . Выяснить, являются ли следующие системы мц0,.членов линейно зависимыми:а) р(»0 , р(-Н), Р(0> Р(~ 0 . где Р (0 = t3 + t3 + t + i;б) l-i,<+ «', (/ -« )2, (/ + О2.Зависит ли ответ от того, каким является п ространство - BeiIleственным или комплексным?4 4 .2 2 . Доказать, что если какой-либо вектор линейного пр0странства единственным образом представляется в виде линСвной комбинации векторов e ite7, .

. . , e ki то э т а си стем а векторулинейно независима.4 4 .2 3 . Доказать, что если каждый вектор линейно цезависимой системы Х)линейно выраж ается через векторуУ ь - - - , У т , ТО п < т .Найти ранг следующих систем векторов и вы яснить, зависа­ли ответ от того, какому пространству - вещественному иликомплексному - принадлежат эти векторы:4 4 .2 5 . х , = ( 1 , 4 , 7, 10),4 4 .2 4 . *1 = ( 1 , 2 , 3 ) ,*2 = (2, 5, 8, 11),I » = (6, 5, 4),х 3 = ( 3 , 6 , 9, 12).= (7, 8, 9),*4 = ( 1 2 ,1 1 ,1 0 ) .4 4 .2 6 .= ( 1 , - 1 , 0, 0 ),X j = (0,1, - 1 , 0 ) ,4 4 .2 7 .х, = ( 1 , - 1 , 0 , 0 ) ,*2 = ( 0 , 1, - 1 , 0 ) ,Хз = ( 0, 0, 1 , - 1 ) ,*3 = (0,0, 1 , - 1 ) ,X, = ( 0 ,0 , 0 , - 1 ) ,*« = ( 1 , 0 , 0 , - 1 ) .*5 = ( 7 , - 3 , - 4 , 5 ) .4 4 .2 8 .*1 = ( 1 , 1 0 , 0 , 0 ) ,4 4 .2 9 .х, = (1, 1, 1, 1, 1),х 2 = (0 , 1, 1 0 , 0 ) ,х 2 = (1, г, - 1 ,* 3 = ( 0 , 0 , 1, 1 0 ),х3 = 0»1),* 4 = (Ю -3, 0, 0 , 1 ) .*« = ( ! , - i ,О4 4 .3 0 .

*1 = ( 3 - i , l - 2 i , - 7 + 5 i,4 + 3 i),X j = (1 + 3*, l + i , - 6 - 7 t ,4*),Is = (0,1,1,-3).4 4 .3 1 . р»( о = t < - l , р ,(0 = « * - 1 , р3(<) = <* + 1, Р 4 (0 = <+ 1>Р з(0 = 1 - 1 .$44. Определение и основные свойства4 4 .3 2 .МО =15(< + l ) s, p,(t) = (< - I ) 3, р3( 0 = (< + I ) 3,М0 =(*-1)3. М0 =(<+1)4, M0 =(‘ - i) 44 4 .3 3 . р,(1) = (< - I ) 4, р»(0 = (< - 1)3(< + 1),МО = (<- 0*(« +1)S. МО =(«-!)(« +1)3,МО = («+1)4.44.34. р,(0 = t + i, Рг(0 = *-«', Рз(0 = i + О МО =<- 1.4 4 .3 5 .

Л, Л 2, Л3, Л4, где Л =12- i4 4 .3 6 . А х1+ i-21 + 2х - 1 - :Лз4 4 .3 7 . Л,1+ iО 1- j*!.- 1 1i 'О 1 +» 2 + t ’Ла-1-11- iЛ*1 1+ гi-1 + it 1- г-11+ i2j2 - i -1 +iЛз —2- i 3+ i1 + 2i 1 - 3i4 4 .3 8 . С ущ ествует ли система векторов из С ", которые коллинеарны как элементы комплексного пространства, а как эле­менты вещественного пространства имеют ранг, больший двух?4 4 .3 9 . Известно, что система векторов a i , a J t . . . , a n 6 С"имеет ранг г как элементы комплексного пространства С ". До­казать, что ранг этой системы в вещественном пространстве Сдне превосходит 2г.Для каждой из следующих систем векторов найти ранг икакую-нибудь базу:4 4 .4 0 .* , = ( 1 , - 4 , 3 ,2 ),4 4 .4 1 .ж, = (0, 2 , - 1 ) ,Жз = (3 , - 2 , 1, 0 ),ж2 = (3, 7, 1),ж3 = (2, 0, 3 ),* 4 = Н , 1,0, 1).*4 = (5, 1, 8).х 2 = (3 , —7, 5, 3 ),4 4 .4 2 .

М < ) = 3<J + 21 + 1, 4 4 .4 3 . р,(<) = I3 + 2I3 + 31 + 4,М О = 413 + 3/+ 2,M l ) = 2 I3 + 3I3 + 41 + 5,М О = 3 О + 21+ 3,р4(1) = I3 + 1 + 1,М О = 313 + 413 + 51 + 6,Р4(<) = 413 + 5 I3 + 61 + 7.р5(1) = 4<3 + 3 1 + 4 .4 4 .4 4 .Л, Лг , ЛЛГ , Л3, Л3, Л4, где Л =1_111 Г14 4 .4 5 . Л, В, В т, АВ, А В Т, В А, В ТА, В В Т, В Т В, где16 Глава ХИ ЛннгИное пространство над произволь,/,...1 0•1 =00 1 00 0 0‘0 0. В =Г0 1 00 0 04 4 . 4 6 . В системе X i , .

. . , x m первые г векторов образуюау, а х ( - ненулевой вектор, не входящий в э т у б а зу . Доказ ^что среди векторов базы найдется вектор x J} I < j < r , -,,***>,что при замене его в подсистеме х , , . . . , х г вектором х, получ,,*01',новая база заданной системы х , , . . . , х т . Б у д е т ли такой Век^С^ *Х| единственным?Г°Р4 4 .4 7 .Ч то можно сказать о системе векторов р ан га гона имеет: а ) единственную базу; б) ровно две базы ; в) р0атри базы? Две базы, отличающиеся лишь порядком вектор^счи таю тся одинаковыми.Найти все базы следующих систем векторов:4 4 .4 8 .х , = (4 , - 2 , 12, 8 ),4 4 .

4 9 . х ж = ( 1 , 2 , 3, 0, - пх 2 = ( - 6 , 12, 9, - 3 ) ,х 2 = ( 0 , 1, 1, 1, 0)= ( - Ю , 5, - 3 0 , - 2 0 ) ,х 3 = ( 1 , 3 , 4 , 1, - их , = ( - 1 4 , 28, 2 1 , - 7 ) .4 4 . 5 0 . У казать все базы системы векторов*1 = ( 1 + »,1 — *',2 + 3»),х 3 = ( 1 - « 1 - 1 - i , 3 - 2*),х 2 = ( г,1,2 ),х 4 = ( 4 , - 4 * , 10 + 2*'),рассм атриваем ы х как: а) элементы комплексного пространстваб ) элементы вещественного п р остр ан ства.4 4 .

5 1 . Даны две системы векторов:i i = (1,1,1),*2 = О , 0 , - 1 ) ,хз = ( 1 , 3 , 5 ),=у2 =уз =У« =(1,2,3),(0,1,2),( 3, 4, 5) ,( 4, 6, 8 ).О пределить, будет ли система УьУ2, Уз,У4 линейно выражатьсячерез систему x j , x 2, x 3.4 4 . 5 2 . Известно, что в системе векторов х ь . . . , х т , у , , .. ,,упвекторы yi, . . . , у„ линейно выражаются через в е к т о р ы®! , .