Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 13

PDF-файл Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 13 Линейная алгебра и аналитическая геометрия (36662): Книга - 2 семестрТом 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)) - PDF, страница 13 (36662) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "Том 1" внутри архива находится в папке "Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)". PDF-файл из архива "Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 13 страницы из PDF

1 2 1 .1хххх ху о хо7. 122. у у оу у у...о7Порядок :матрицы равен п.а х ху а х7. 1 23. у у аххху у у . а...............ai - Ьпа 2 - Ьn....a n - Ьп§ 7.77Вы числение определителя1 1ai ху а2у у. . . . .1 у уо117. 124. 111хххххаз. . . .у . . ап..Вычислить определители, раскладывая их в произведение оп­ределителей.7. 125.7. 126.cos ( а1 - /31 ) cos ( а 1 - /32 ) . . . cos ( а 1 - /Зп )cos ( a 2 - /31 ) cos ( a 2 - /32 ) .

. . cos ( a 2 - /3n )cos ( an - /31 ) соs ( а п - /32 )cos ( ап - /Зп )sin 2 а 1sin ( a 1 + а 2 )sin ( a 2 + а 1 )sin 2а 2sin ( a 1 + ап )sin ( a 2 + an )sin 2an1 а ]: Ь]:1 - aib 11 - а 2 Ь11 - а2 Ь1-7. 127.7. 128.7. 129.( а о + Ьо ) п( а 1 + Ьо ) п80818281s2831 - а]: Ь21 - а 1 Ь21 - а 2 Ь21 - а 2 Ь21 - a l bn1 - а2 Ь�1 - а 2 Ьп( ао + Ь1 ) п . .

. ( ао + Ьп ) п( а 1 + Ь 1 ) п . . . ( а 1 + Ьп ) п8283848n - 1 8п 8 n +18п - 18пSn + l···S 2n- 2,где 8 k=хТ + . . . + х� .Глава II.787. 1 30.8283848182838Q8182....8n- 1 8 п 8 n+1§8........8п - 1 1х8n8 п+ 1 х 2 , где 8 k. . . .8 2n - 2 x nОпределители=x f + . . .

+ х� .С ме ш анные з адач ияд­8 . 1 . 8 Доказать, что есл и квадратная мат риц а вто рого порходитне пре воска нил ьпотентна , то ее индекс нил ьпотентно стидвух .ядка8 . 2 . Доказать, что нил ьпотентная мат риц а вто рого поримеет нул ево й след.> 3, не8.3 . Доказать, что все чле ны опр еделителя порядка пмогут быть одновр еме нно полож ительн ым и.8.4 . Доказать, что :ы9 пер вогоа) эле ментар ное преобр азо ван ие бло чно й мат рицтип а может изм енить тол ько знак опр еделителя ;чно й мат­б) в результате эле ментар ного преобр азо ван ия блоой- либо стро­риц ы вто рого тип а, т.е. умноже ния всех клеток какава на квад­ки сле ва или всех клеток какого- либо столбца спрdet D;рат ную мат рицу D , ее определитель умн ожается наы третье гов) эле ментар ное пре обр азо ван ие бло чно й мат рицтип а не мен яет ее опр еделитель .ен8.5 .

Изв естно, что опр еделитель мат рицы А порядка п равd. Найти опр еделители следующих бло чных мат риц :б)а);[ 1 �]-[ �з �� ]·8.6 . Доказать , что есл и мат рица А ортого нал ьная, тоIлтА I8. 7. Доказать , что если А , В , С - квадратны е м атр ицы одного=порядка, то:а)�1=det(J - АВ) ;8См. также задачи 2.35, 16.56.9См.

задачу 3.23.б)О.IВАI=det( J - БА) ;79Смешанные задачи§8 .АВ В, В] .А I = d et [A8.8. 1 0 Выяснить , для любых ли квадратных матриц А, В , С ,в)А ВВС) ;С I = det ( A -г)D одного порядка справедливо равенство��= det (AD - ВС ) .8 . 9 . Пусть А и В квадратные матрицы порядков т и п со­ответственно. Доказать, что определитель их кронекерова про­изведения вычисляется по формулеdet (A 0 В ) = (det А) п (det B ) m .-·8 .

10 . Доказать , что определитель кососимметрической мат­рицы А четного порядка не изменится, если ко всем ее элементамприбавить одно и то же число.8. 1 1 . Матрица В получена из стохастической матрицы А по­рядка п вычитанием из каждого элемента числа 1 . Доказать, чтоdet B = ( 1 - n) det A.8 . 1 2 . Пусть S k k-я строчная сумма квадратной матрицыА = ( aij ) порядка п. Доказать, что-= (- l) n - l (n - l ) det A.8 .

1 3 . Доказать, что для любой матрицы А = ( aij ) Е IR.n x n :ана �п..ап1У1гдеA ij...а ппУпХпz= z det A -пL XiYj Aij ,i ,j = lалгебраическое дополнение элемента aij в матрице А.8 . 14 . Доказать , что для любой матрицы А = ( a ij ) Е Rn x n :-al l +а2 1 +io.Х1cм .ххai2 + ха22+ ха п1 + х ап2 + хтакже задачи 9 . 8 1 и 9.82.= det А + хL A ij ,пi ,j = lГлава II.80гдеAijОпределителиалгебраическое дополнение элемента a ij в матрице А.8. 1 5 . Пусть f (t) = (с 1 - t) (c2 - t) .

. . (Сп - t) . Доказать, что-аааС1 а аь с2 аь ь С3..ь.Спььa f (Ь) - b f (a)а-Ь8. 16. Доказать, что для любой матрицы А =(aij ) Е Rn x n :х 1 а 11 х 2 а 1 2 . . . Xn a 1 na 2nа 2 1 а 22+...+=n\ A I L xk .k l=8 . 17 . Доказать, что сумма алгебраических дополнений всехэлементов матрицы А = ( aij ) Е Rn x n равна определителю1а 2 1 - аназ1 - а н.. ..ап1 - a l l..11а 22 - a i 2аз2 - a i 2........ап2 - a i 2.а 2п - а 1пазn - a i n.. .а пп - ai n..8.

18. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всехэлементов матрицы не изменится , если ко всем ее элементам при­бавить одно и то же число.8. 18. 1 . Доказать, что любой определитель равен полусуммедвух определителей, один из которых получен из данного при­бавлением ко всем элементам его матрицы числа h, а другой аналогичным вычитанием числа h.8 . 19 . Доказать, что если все элементы одной строки (столб­ца) матрицы равны единице, то сумма алгебраических дополне­ний всех элементов этой матрицы равна ее определителю .§8 .81Смешанные задачи8 . 2 0 . Доказать, чтоai c1аз с 1Ь 1 сзЬз сзa2 d1a4 d 1Ь2 dзb4 d3aic2аз с2Ь 1 с4Ьз с4a 2 d2a 4 d2Ь 2 d4b4 d4a i а2аз а4Ь 1 Ь2Ьз Ь4с 1 с2С3 С4d i d2dз d48 . 2 1 . Пусть А и В - квадратные матрицы порядка п.

Доказать, чтоIA I IBI =·nL I A k l . I Bk l ,k=lгде A k и Bk получены из А и В обменом столбцов с номерами 1 иk соответственно (т. е. первый столбец матрицы А и k-й столбецматрицы В меняются местами) .8 . 2 2 . Пусть А и В - матрицы размера п х m и m х п соот­ветственно. Доказать , что:а) при п > m определитель произведения АВ равен нулю;б) при п < m выполнено равенство ( фор.мула Бине-Коши)det A B =где A k 1 .

. . kп - минор п-го порядка, расположенный в столбцахматрицы А с номерами k 1 , . . . , kп , а B k 1 · · . kп - минор п-го порядка,расположенный в строках матрицы В с номерами ki , . . . , kп .8 . 2 3 . Доказать, что сумма главных миноров k-го порядкаматрицы Ат А равна сумме квадратов всех миноров k-го порядкаматрицы А .8 . 24. Континуантоil называется определительа) Записать ( а1а 2 . . . ап ) в виде многочлена от a i , . .

. , а п .6) Написать разложение континуанты по первым k строкам.Глава II. Определители82в ) Установить сле,цующую связь континуанты с непрерывны­ми дробями:+ --1ап - 1 + ап8 . 25 . Определитель квадратной матрицы А , элементы кото­рой заданы условиями aij = (xi + Yj ) - 1 называется определите­лем Коши. Доказать, что,det A =П (xi - XJ ) (yi - YJ )n � i >j> l8. 26. Вычислить определитель1-12-12-13.

. . .11-13-14/i,flj=l (xi + Yj ) .1п1. . . . .1n+l12n - 1п п+ l n+28. 27. Вычислить определительь с dа d -сь-с - d а-d с - Ь аа-Ь8. 28. Перемножая матрицы определителейХ1 Х 2 Хз Х4Х 2 -х 1 - Х4 х зХз Х4 - х 1 - Х 2Х4 -х з Х 2 - Х 1доказать тождество Эйлера:У1 У2 Уз У4У2 -у 1 - у4 УзУз У4 - у 1 - у2У4 - уз У2 -у 1§8.83Смешанные задачи( х у + х § + х 5 + х�) (Yf + У� + У� + YJ) == (х 1 у 1 + Х 2 У2 + ХзУз + Х 4 у4 ) 2 + (х 1 у2 - Х 2 У1 - ХзУ4 + Х 4 уз ) 2 ++(х 1 уз + х 2 у4 - х з у 1 - Х4 у2 ) 2 + (х 1 у4 - Х 2 У4 + х з у2 - х4 у1 ) 2 .8 . 2 9 .

Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п > 2, элементы которой заданы условиями aij = fi (Xj ) ,где Xj Е IR - произвольные числа, а fi ( t) - произвольные много­члены степени не выше п - 2 .8 . 30 . Пусть f (t) = cotn + c 1 tn -l + . . . + Сп - многочлен п-йстепени и элементы квадратной матрицы А порядка п + 1 вы­числяются по формулам aij = f (t) при t = х + h(i + j - 2 ) , где хи h фиксированы.

Доказать, чтоdet А = ( - h2 ) n(n + 1 ) / 2 (n ! co) n + 1 .Комбинируя различные методы, вычислить определители.п1 2 3о а 2 азапх 1 2 ... n- 1Ь 1 о а з . . . ап8. 3 1 . Ь 1 Ь 2 о . . . а п . 8 . 3 2 . х х 1 . . . n - 2. . . . . . . . . . . . ..............х х х ... 1оЬ 1 Ь 2 Ьзх у (х 1 - 1 )1 х 2 (х 2 - 1) х � (х 2 - 1 )х� - 1 ( х 1 - 1)х� - 1 (х 2 - 1 )1 х 1 ( х 1 - 1)8 . 33 .1 Хп ( Хп - 1 ) х; (хп - 1 )1 + х18 . 34.1 + x r . .

. 1 + х}1 + Х 2 1 + х § . . . 1 + х�1 + Хп 1 + х; . . . 1 + х�8.35.8 . 36.. ... . ... . . . .. . . . . . . . . . .. . . 1 + а п + Ьп1 + Х1Уп1 + Х 2 Уп. . .1 + Х1У2Х1У11 + Х 2 У1Х 2 У21 + ХпУ1 1 + ХпУ2···Хп УпГлава II. Определители848. 37.ап - Ь 2ап - Ьп + хP+ n - 1 - хaP + l aaP+ n+ l - хaP + 2 n - 1 хаР - хaP+n - х8 . 38.aP+n ( n- 1 )_Х_Хap + n ( n - 1 ) + 1_aP + n 2 - 1 - хХ8 . 38. 1 .8. 39.ап - ао а; - а в1-хаа2а а 2 - х а3а2аз а4 - х8.40.аn - 1хх + а1ххх + а2хххх + азх8.41 .a2n- 2 хххх_ххсп1сп2 спз11 с7; - 1 с7� - 1 с� - 11 с� -2 с� -2 с� - 2с�оо8.42 .а� - а0ап - 1апan+ l1111с21с§1 спп - 1 cnn+-11х + апсп - 2 спп - 1 сnпn-12 cпn-11 оcn2ncn- 2 оопооо1сп1С�+ 11c2nn-2оооо§8.85Смешанные задачи118.43.с1С�+ 1Сlп + пС� + п+ 1тc::i + n - 1 с::� +п8.44.8 .45 .8.46.8.47.8.48 .c:::i+ 2n - lооо1 1 о о1 CJ с� о1 CJ с§ с�сп2 спз .

. . спп - 1c::i + 2nС�+ п c::i +n + lc::i + n + 1 c::i+n + 2 . . . c:::i + 2n + lс::� + зпc::i + 2n c:::i+ 2n + lсппсп21 сn1С�+ 11 С� + 1 С� + 1С�+ 21 С� + 2 С�+ 2с�пс2С�+ 1С!J:пспc::i + 11 С� + п C�+ n1 о о1 С{ О1 CJ С§c::i +n111ттооО1хх21 Cпl сп2 . . . спп - 1 х п8 .49 . Доказать , что определитель квадратной матри цы А по­рядка п с элементами aij = Cfm , где п < m , вычисляется по фор­мулеdet А=mn(n + l ) / 2 .8 . 50. Определителем Вронского или вронскианом системып - 1 раз дифференцируемых функций f1 (x) , f2 (x) , . . .

, fп (х) на-Глава II. Определители86зывается определительn!1 (х) ff (х) Jf' (x) . . . Ji -l)1 (х)n- ) ( x)�(х)(х)(х)...!2ЛЛfW ( f1 , f2 , . . . , fп ) =fп (х) f� (x) f� (x) . . . f�n - l ) (x)Вычислить вронскианы следующих систем функций:O: Xхха) W ( е а1 , е а 2 , . . . , е n ) , где а 1 , . . . , ап Е �1П> прои 3 в о льны,б) W ( х а1 , х а , , х а ) , где числа а 1 , .

. . , ап Е IR таковы, чтони одно из них не совпадает с числами О , 1 , . . . , п 2.Е8. 5 1 . Доказать, что для любой числовой матрицы А =IR. n x n выполнено соотношение2••·п•-w ( :f>1i/i, t a2i fi , . . . , t aпi!i ) = det A·( aij )W ( f1 , !2 , . . . , fп ) ·i= li=l1.= 18 . 52 . Доказать , что для любой п 1 раз дифференцируемойфункции 'Р (х) имеют место равенства:а) W ( 'Pf1 , 'Pf2 , . . . , (j)fп ) = 'P n W ( J1 , f2 , . .

. , fп ) ;-б) W ( f1 ( 'P (x) ) , f2 ( 'P (x ) ) , . . . , fп ( 'Р (х) ) ) == ( <р1 (х) ) n (n - l ) / 2 W ( !1 (у ) , f2( y ) ,··8 . 5 3 . Доказать, что имеют место равенства:а) W ( l , f2 , fз , . . . , fn ) = W ( f� , f� , . . . , f� ) ;·' fn ( Y ) ) l y=<p(x)[ ( f2 ) , ( f3 ) , .

. . , ( fп ) '] = Jr1 W ( f1 , /2 , . . . , fп ) ;//fi!1fi..!!:__ W ( f1 , . . . , fn -2 , fn ) _- W ( f1 , . . . , fn- 2 ) W ( f1 , . . . , fn ) .в)dx W ( J1 , fп - 2 , fп - 1 )( W ( J1 ,fп - 1 ) ) 26) W···,8 . 54 . Доказать, что···,f1 (x) f� (x ) . . . Ji n -2 ) (x) Ji n) (x)f2 (x) f� (x ) . . . f� n- 2 ) (х) f� n) ( х)·§9 .87Обратная матрица§9 .Обратная матрицаМатрица А - 1 называетсяА, если11л.А=IАА =Матрица А, для которой существует обратная матрица, называетсяобратной к матри'Цеобрати­въ�рожденной (особенной}, еслимой.Квадратная матрица А называется{неособенной), если I A I -:/= О.I A I = О, и невъtрожденнойRn x nПусть А = (aij ).

МатрицаЕ.Ап 1Ап 2А пп](9. 1 )'составленная из алгебраических дополнений Aij к элементам ai j матрицыА, называетсяк матрице А.Т е о р е м а 9.1 (о фальшивом разложении определителя) .присоединенной (взаимной)Сум­ма произведений элементов одной строки (столб'Ца) матри'Ц'Ьt на алгебраи­-ческие дополнени.я к элементам (}ругой ее строки (соответственно столб­'Ца) равнанулю.Из этой теоремы и теоремы Лапласа следует, чтоAA == AA == I A l · l.(9.2)о р е м а 9.2 (критерий обратимости) . Матрu'Ца обратиматогда Ти етолъкотогда, когда она не вuрождена, при этомА- 1 =-(9.3)1 ......ТАТА.Т е о р е м а 9.3 (о единственности обратной матрицы) .БА == /),В = А- 1 .АВ IП р и м е р 9 . 1 . Найти обратную для невырожденной матрицыА= � � .а . •Р е ш е н и е.

Из (9 3 ) следует, что А - 1 = О � !З'Уквадратна.я матри'Ца и==(или[.то][а-{3 ]Если АП р и м е р 9.2. Найти обратные матрицы для матриц элементарных пре­образований Pij , Di , Lij .Р е ша е н и е. Заметим, что матрицы Pij , Di , Lij невырождены: 1 Pij 1 = - 1 ,/ Dz /-:/= О, I Lij l = 1 . Использование формулы (9.3 ) для матриц ужетретьего порядка утомительно, так как требует большого объема вычис­лений, поэтому поступим следующии образом. Пусть А - одна из матрицэлеыентарных преобразований.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее