Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 13

1 2 1 .1хххх ху о хо7. 122. у у оу у у...о7Порядок :матрицы равен п.а х ху а х7. 1 23. у у аххху у у . а...............ai - Ьпа 2 - Ьn....a n - Ьп§ 7.77Вы числение определителя1 1ai ху а2у у. . . . .1 у уо117. 124. 111хххххаз. . . .у . . ап..Вычислить определители, раскладывая их в произведение оп­ределителей.7. 125.7. 126.cos ( а1 - /31 ) cos ( а 1 - /32 ) . . . cos ( а 1 - /Зп )cos ( a 2 - /31 ) cos ( a 2 - /32 ) .

. . cos ( a 2 - /3n )cos ( an - /31 ) соs ( а п - /32 )cos ( ап - /Зп )sin 2 а 1sin ( a 1 + а 2 )sin ( a 2 + а 1 )sin 2а 2sin ( a 1 + ап )sin ( a 2 + an )sin 2an1 а ]: Ь]:1 - aib 11 - а 2 Ь11 - а2 Ь1-7. 127.7. 128.7. 129.( а о + Ьо ) п( а 1 + Ьо ) п80818281s2831 - а]: Ь21 - а 1 Ь21 - а 2 Ь21 - а 2 Ь21 - a l bn1 - а2 Ь�1 - а 2 Ьп( ао + Ь1 ) п . .

. ( ао + Ьп ) п( а 1 + Ь 1 ) п . . . ( а 1 + Ьп ) п8283848n - 1 8п 8 n +18п - 18пSn + l···S 2n- 2,где 8 k=хТ + . . . + х� .Глава II.787. 1 30.8283848182838Q8182....8n- 1 8 п 8 n+1§8........8п - 1 1х8n8 п+ 1 х 2 , где 8 k. . . .8 2n - 2 x nОпределители=x f + . . .

+ х� .С ме ш анные з адач ияд­8 . 1 . 8 Доказать, что есл и квадратная мат риц а вто рого порходитне пре воска нил ьпотентна , то ее индекс нил ьпотентно стидвух .ядка8 . 2 . Доказать, что нил ьпотентная мат риц а вто рого поримеет нул ево й след.> 3, не8.3 . Доказать, что все чле ны опр еделителя порядка пмогут быть одновр еме нно полож ительн ым и.8.4 . Доказать, что :ы9 пер вогоа) эле ментар ное преобр азо ван ие бло чно й мат рицтип а может изм енить тол ько знак опр еделителя ;чно й мат­б) в результате эле ментар ного преобр азо ван ия блоой- либо стро­риц ы вто рого тип а, т.е. умноже ния всех клеток какава на квад­ки сле ва или всех клеток какого- либо столбца спрdet D;рат ную мат рицу D , ее определитель умн ожается наы третье гов) эле ментар ное пре обр азо ван ие бло чно й мат рицтип а не мен яет ее опр еделитель .ен8.5 .

Изв естно, что опр еделитель мат рицы А порядка п равd. Найти опр еделители следующих бло чных мат риц :б)а);[ 1 �]-[ �з �� ]·8.6 . Доказать , что есл и мат рица А ортого нал ьная, тоIлтА I8. 7. Доказать , что если А , В , С - квадратны е м атр ицы одного=порядка, то:а)�1=det(J - АВ) ;8См. также задачи 2.35, 16.56.9См.

задачу 3.23.б)О.IВАI=det( J - БА) ;79Смешанные задачи§8 .АВ В, В] .А I = d et [A8.8. 1 0 Выяснить , для любых ли квадратных матриц А, В , С ,в)А ВВС) ;С I = det ( A -г)D одного порядка справедливо равенство��= det (AD - ВС ) .8 . 9 . Пусть А и В квадратные матрицы порядков т и п со­ответственно. Доказать, что определитель их кронекерова про­изведения вычисляется по формулеdet (A 0 В ) = (det А) п (det B ) m .-·8 .

10 . Доказать , что определитель кососимметрической мат­рицы А четного порядка не изменится, если ко всем ее элементамприбавить одно и то же число.8. 1 1 . Матрица В получена из стохастической матрицы А по­рядка п вычитанием из каждого элемента числа 1 . Доказать, чтоdet B = ( 1 - n) det A.8 . 1 2 . Пусть S k k-я строчная сумма квадратной матрицыА = ( aij ) порядка п. Доказать, что-= (- l) n - l (n - l ) det A.8 .

1 3 . Доказать, что для любой матрицы А = ( aij ) Е IR.n x n :ана �п..ап1У1гдеA ij...а ппУпХпz= z det A -пL XiYj Aij ,i ,j = lалгебраическое дополнение элемента aij в матрице А.8 . 14 . Доказать , что для любой матрицы А = ( a ij ) Е Rn x n :-al l +а2 1 +io.Х1cм .ххai2 + ха22+ ха п1 + х ап2 + хтакже задачи 9 . 8 1 и 9.82.= det А + хL A ij ,пi ,j = lГлава II.80гдеAijОпределителиалгебраическое дополнение элемента a ij в матрице А.8. 1 5 . Пусть f (t) = (с 1 - t) (c2 - t) .

. . (Сп - t) . Доказать, что-аааС1 а аь с2 аь ь С3..ь.Спььa f (Ь) - b f (a)а-Ь8. 16. Доказать, что для любой матрицы А =(aij ) Е Rn x n :х 1 а 11 х 2 а 1 2 . . . Xn a 1 na 2nа 2 1 а 22+...+=n\ A I L xk .k l=8 . 17 . Доказать, что сумма алгебраических дополнений всехэлементов матрицы А = ( aij ) Е Rn x n равна определителю1а 2 1 - аназ1 - а н.. ..ап1 - a l l..11а 22 - a i 2аз2 - a i 2........ап2 - a i 2.а 2п - а 1пазn - a i n.. .а пп - ai n..8.

18. Доказать, что сумма алгебраических дополнений всехэлементов матрицы не изменится , если ко всем ее элементам при­бавить одно и то же число.8. 18. 1 . Доказать, что любой определитель равен полусуммедвух определителей, один из которых получен из данного при­бавлением ко всем элементам его матрицы числа h, а другой аналогичным вычитанием числа h.8 . 19 . Доказать, что если все элементы одной строки (столб­ца) матрицы равны единице, то сумма алгебраических дополне­ний всех элементов этой матрицы равна ее определителю .§8 .81Смешанные задачи8 . 2 0 . Доказать, чтоai c1аз с 1Ь 1 сзЬз сзa2 d1a4 d 1Ь2 dзb4 d3aic2аз с2Ь 1 с4Ьз с4a 2 d2a 4 d2Ь 2 d4b4 d4a i а2аз а4Ь 1 Ь2Ьз Ь4с 1 с2С3 С4d i d2dз d48 . 2 1 . Пусть А и В - квадратные матрицы порядка п.

Доказать, чтоIA I IBI =·nL I A k l . I Bk l ,k=lгде A k и Bk получены из А и В обменом столбцов с номерами 1 иk соответственно (т. е. первый столбец матрицы А и k-й столбецматрицы В меняются местами) .8 . 2 2 . Пусть А и В - матрицы размера п х m и m х п соот­ветственно. Доказать , что:а) при п > m определитель произведения АВ равен нулю;б) при п < m выполнено равенство ( фор.мула Бине-Коши)det A B =где A k 1 .

. . kп - минор п-го порядка, расположенный в столбцахматрицы А с номерами k 1 , . . . , kп , а B k 1 · · . kп - минор п-го порядка,расположенный в строках матрицы В с номерами ki , . . . , kп .8 . 2 3 . Доказать, что сумма главных миноров k-го порядкаматрицы Ат А равна сумме квадратов всех миноров k-го порядкаматрицы А .8 . 24. Континуантоil называется определительа) Записать ( а1а 2 . . . ап ) в виде многочлена от a i , . .

. , а п .6) Написать разложение континуанты по первым k строкам.Глава II. Определители82в ) Установить сле,цующую связь континуанты с непрерывны­ми дробями:+ --1ап - 1 + ап8 . 25 . Определитель квадратной матрицы А , элементы кото­рой заданы условиями aij = (xi + Yj ) - 1 называется определите­лем Коши. Доказать, что,det A =П (xi - XJ ) (yi - YJ )n � i >j> l8. 26. Вычислить определитель1-12-12-13.

. . .11-13-14/i,flj=l (xi + Yj ) .1п1. . . . .1n+l12n - 1п п+ l n+28. 27. Вычислить определительь с dа d -сь-с - d а-d с - Ь аа-Ь8. 28. Перемножая матрицы определителейХ1 Х 2 Хз Х4Х 2 -х 1 - Х4 х зХз Х4 - х 1 - Х 2Х4 -х з Х 2 - Х 1доказать тождество Эйлера:У1 У2 Уз У4У2 -у 1 - у4 УзУз У4 - у 1 - у2У4 - уз У2 -у 1§8.83Смешанные задачи( х у + х § + х 5 + х�) (Yf + У� + У� + YJ) == (х 1 у 1 + Х 2 У2 + ХзУз + Х 4 у4 ) 2 + (х 1 у2 - Х 2 У1 - ХзУ4 + Х 4 уз ) 2 ++(х 1 уз + х 2 у4 - х з у 1 - Х4 у2 ) 2 + (х 1 у4 - Х 2 У4 + х з у2 - х4 у1 ) 2 .8 . 2 9 .

Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п > 2, элементы которой заданы условиями aij = fi (Xj ) ,где Xj Е IR - произвольные числа, а fi ( t) - произвольные много­члены степени не выше п - 2 .8 . 30 . Пусть f (t) = cotn + c 1 tn -l + . . . + Сп - многочлен п-йстепени и элементы квадратной матрицы А порядка п + 1 вы­числяются по формулам aij = f (t) при t = х + h(i + j - 2 ) , где хи h фиксированы.

Доказать, чтоdet А = ( - h2 ) n(n + 1 ) / 2 (n ! co) n + 1 .Комбинируя различные методы, вычислить определители.п1 2 3о а 2 азапх 1 2 ... n- 1Ь 1 о а з . . . ап8. 3 1 . Ь 1 Ь 2 о . . . а п . 8 . 3 2 . х х 1 . . . n - 2. . . . . . . . . . . . ..............х х х ... 1оЬ 1 Ь 2 Ьзх у (х 1 - 1 )1 х 2 (х 2 - 1) х � (х 2 - 1 )х� - 1 ( х 1 - 1)х� - 1 (х 2 - 1 )1 х 1 ( х 1 - 1)8 . 33 .1 Хп ( Хп - 1 ) х; (хп - 1 )1 + х18 . 34.1 + x r . .

. 1 + х}1 + Х 2 1 + х § . . . 1 + х�1 + Хп 1 + х; . . . 1 + х�8.35.8 . 36.. ... . ... . . . .. . . . . . . . . . .. . . 1 + а п + Ьп1 + Х1Уп1 + Х 2 Уп. . .1 + Х1У2Х1У11 + Х 2 У1Х 2 У21 + ХпУ1 1 + ХпУ2···Хп УпГлава II. Определители848. 37.ап - Ь 2ап - Ьп + хP+ n - 1 - хaP + l aaP+ n+ l - хaP + 2 n - 1 хаР - хaP+n - х8 . 38.aP+n ( n- 1 )_Х_Хap + n ( n - 1 ) + 1_aP + n 2 - 1 - хХ8 . 38. 1 .8. 39.ап - ао а; - а в1-хаа2а а 2 - х а3а2аз а4 - х8.40.аn - 1хх + а1ххх + а2хххх + азх8.41 .a2n- 2 хххх_ххсп1сп2 спз11 с7; - 1 с7� - 1 с� - 11 с� -2 с� -2 с� - 2с�оо8.42 .а� - а0ап - 1апan+ l1111с21с§1 спп - 1 cnn+-11х + апсп - 2 спп - 1 сnпn-12 cпn-11 оcn2ncn- 2 оопооо1сп1С�+ 11c2nn-2оооо§8.85Смешанные задачи118.43.с1С�+ 1Сlп + пС� + п+ 1тc::i + n - 1 с::� +п8.44.8 .45 .8.46.8.47.8.48 .c:::i+ 2n - lооо1 1 о о1 CJ с� о1 CJ с§ с�сп2 спз .

. . спп - 1c::i + 2nС�+ п c::i +n + lc::i + n + 1 c::i+n + 2 . . . c:::i + 2n + lс::� + зпc::i + 2n c:::i+ 2n + lсппсп21 сn1С�+ 11 С� + 1 С� + 1С�+ 21 С� + 2 С�+ 2с�пс2С�+ 1С!J:пспc::i + 11 С� + п C�+ n1 о о1 С{ О1 CJ С§c::i +n111ттооО1хх21 Cпl сп2 . . . спп - 1 х п8 .49 . Доказать , что определитель квадратной матри цы А по­рядка п с элементами aij = Cfm , где п < m , вычисляется по фор­мулеdet А=mn(n + l ) / 2 .8 . 50. Определителем Вронского или вронскианом системып - 1 раз дифференцируемых функций f1 (x) , f2 (x) , . . .

, fп (х) на-Глава II. Определители86зывается определительn!1 (х) ff (х) Jf' (x) . . . Ji -l)1 (х)n- ) ( x)�(х)(х)(х)...!2ЛЛfW ( f1 , f2 , . . . , fп ) =fп (х) f� (x) f� (x) . . . f�n - l ) (x)Вычислить вронскианы следующих систем функций:O: Xхха) W ( е а1 , е а 2 , . . . , е n ) , где а 1 , . . . , ап Е �1П> прои 3 в о льны,б) W ( х а1 , х а , , х а ) , где числа а 1 , .

. . , ап Е IR таковы, чтони одно из них не совпадает с числами О , 1 , . . . , п 2.Е8. 5 1 . Доказать, что для любой числовой матрицы А =IR. n x n выполнено соотношение2••·п•-w ( :f>1i/i, t a2i fi , . . . , t aпi!i ) = det A·( aij )W ( f1 , !2 , . . . , fп ) ·i= li=l1.= 18 . 52 . Доказать , что для любой п 1 раз дифференцируемойфункции 'Р (х) имеют место равенства:а) W ( 'Pf1 , 'Pf2 , . . . , (j)fп ) = 'P n W ( J1 , f2 , . .

. , fп ) ;-б) W ( f1 ( 'P (x) ) , f2 ( 'P (x ) ) , . . . , fп ( 'Р (х) ) ) == ( <р1 (х) ) n (n - l ) / 2 W ( !1 (у ) , f2( y ) ,··8 . 5 3 . Доказать, что имеют место равенства:а) W ( l , f2 , fз , . . . , fn ) = W ( f� , f� , . . . , f� ) ;·' fn ( Y ) ) l y=<p(x)[ ( f2 ) , ( f3 ) , .

. . , ( fп ) '] = Jr1 W ( f1 , /2 , . . . , fп ) ;//fi!1fi..!!:__ W ( f1 , . . . , fn -2 , fn ) _- W ( f1 , . . . , fn- 2 ) W ( f1 , . . . , fn ) .в)dx W ( J1 , fп - 2 , fп - 1 )( W ( J1 ,fп - 1 ) ) 26) W···,8 . 54 . Доказать, что···,f1 (x) f� (x ) . . . Ji n -2 ) (x) Ji n) (x)f2 (x) f� (x ) . . . f� n- 2 ) (х) f� n) ( х)·§9 .87Обратная матрица§9 .Обратная матрицаМатрица А - 1 называетсяА, если11л.А=IАА =Матрица А, для которой существует обратная матрица, называетсяобратной к матри'Цеобрати­въ�рожденной (особенной}, еслимой.Квадратная матрица А называется{неособенной), если I A I -:/= О.I A I = О, и невъtрожденнойRn x nПусть А = (aij ).

МатрицаЕ.Ап 1Ап 2А пп](9. 1 )'составленная из алгебраических дополнений Aij к элементам ai j матрицыА, называетсяк матрице А.Т е о р е м а 9.1 (о фальшивом разложении определителя) .присоединенной (взаимной)Сум­ма произведений элементов одной строки (столб'Ца) матри'Ц'Ьt на алгебраи­-ческие дополнени.я к элементам (}ругой ее строки (соответственно столб­'Ца) равнанулю.Из этой теоремы и теоремы Лапласа следует, чтоAA == AA == I A l · l.(9.2)о р е м а 9.2 (критерий обратимости) . Матрu'Ца обратиматогда Ти етолъкотогда, когда она не вuрождена, при этомА- 1 =-(9.3)1 ......ТАТА.Т е о р е м а 9.3 (о единственности обратной матрицы) .БА == /),В = А- 1 .АВ IП р и м е р 9 . 1 . Найти обратную для невырожденной матрицыА= � � .а . •Р е ш е н и е.

Из (9 3 ) следует, что А - 1 = О � !З'Уквадратна.я матри'Ца и==(или[.то][а-{3 ]Если АП р и м е р 9.2. Найти обратные матрицы для матриц элементарных пре­образований Pij , Di , Lij .Р е ша е н и е. Заметим, что матрицы Pij , Di , Lij невырождены: 1 Pij 1 = - 1 ,/ Dz /-:/= О, I Lij l = 1 . Использование формулы (9.3 ) для матриц ужетретьего порядка утомительно, так как требует большого объема вычис­лений, поэтому поступим следующии образом. Пусть А - одна из матрицэлеыентарных преобразований.