Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF))

Г. Д. Ким, Л. В. КрицковАЛГЕБРАИ АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯТеоремы и задачиТомlМОСКО ВСКИ Й ГОСУДАРСТВЕНН Ы Й УНИВЕРСИТЕТимени М. В . ЛомоносоваФакул ьтет вычислител ьно й математики и кибернетикиГ. Д.Ким,Л. В. КрицковАЛГЕБРАИ АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯтеоремь1 и задачитом1Под общей редакциейакадемика РАН В. А. ИльинапланетазнанииuПЛАНЕТА ЗНАНИЙМосква2007ББК 22.147РекомендованоСоветом по прикладной математике и информатикеУМ О по клас.

си'Ческому университетскому образоваю.tюдля студентов в'ысших у'Чебн'Ых заведею.tй,обу'Чающихс.я по спе'Циалъности О10200"Прикладн,а.я математика и информатика" и направлению 510200"Прнкладна.я математика и информатика"Ким Г.Д. , Крицков Л.В .Алгебра и аналитич еская ге ом етрия: Теор е мы и з ада­чи.

Том 1. М. : "Планета знаний", 2007. - 469 с.ISBN 978-5-903242-01-6Настоящая книга представляет собой второе, переработанное и допол­ненное, издание задачника по объединенноыу курсу алгебры и аналитиче­ской геометрии. Теоретической подцержкой книги является учебник ИльинаВ . А . , Ким Г.Д. "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", в которомавторы придерживаются современной тенденции объединения традиционноразличных разделов математики в одну дисциплину, добиваясь наглядностиалгебраических абстракций и лаконичности геометрических доказательств.Каждый раздел учебника содержит теоретическое введение, примеры ре­шения типовых задач и большое число задач для семинарских занятий исамостоятельной работы студентов.

Задачи снабжены ответами и указания­ми.Пособие предназначено для студентов физико-математических специ­альностей университетов.Издание подготовлено в раыках образовательной программы "Формиро­вание системы инновационного образования в ТVIГУ".ISBN 978-5-903242-0 1-6© Ким Г.Д. , Крицков Л . В., 2007© Издательство "Планета Знаний", 2007ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Предисловие ко второму издани ю. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Спис ок литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Г л а в а I. Матрицы . . . . . . .

. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9§ 1 . Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . �............ 10§ 2 . Матрицы специального вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20§ 3. Элементарные преобр аз ования матриц . . . . . . . . . . . . . .. . 31Г л а в а II. Опр е де лите ли . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§ 4. Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38§ 5 . Просте йшие сво йства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41§ 6. Миноры и алгебраические дополнения . . .

. . . . . . . . . . . . . . 49§ 7. Вычисление определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56§ 8 . Смешанные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78§ 9. Обратная м атрица . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 87Г л а в а III. Множества и отображе ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 03§ 1 0 . Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103§ 1 1 . Отображения .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 06§ 1 2 . Эквивалентность и алгебраические законы . . . . . . . . . . . . 1 1 1Г л а в а IV. Введе ни е в теорию линейны хпро странст в . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7§ 13. Геометрические векторы . .. . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7§ 14. Вещественное линейное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125§ 1 5 . Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 30§ 1 6 . Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 36§ 17. Базис и координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145§ 18. Линейное подпространство и линейное многообразие . . 1 56Г л а в а V. Сист е м ы лин е йн ы х ал ге браиче скиху равне ний . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1§ 19. Системы с квадратной невырожденной матрицей . . . . . 162§ 20 . Системы общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 66§ 2 1 . Метод Гаусса исследования и решения систем .

. . . . . . . . 169§ 22 . Геометрические свойства решений системы . . . . . . . . . . . . 1 79Г л а в а VI. Ве кторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189§ 23 . Аффинная система координат. Координаты точки . . . . 189§ 24. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 203§ 25. Векторное и смешанное произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 7....4ОглавлениеГ л а в а VII. П рямая на плоскости и плоскост ьв пространстве....231§ 26. Составление уравнений по различным заданиям . . . . . . 23 1§ 27. Задачи взаимного расположения прямых на плоскостии плоскостей в пространстве . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239§ 28. Полуплоскост _и и полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249§ 29. Метрические задачи в прямоугольной декартовойсистеме координат . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . : . . . .

. 253§ 30 . Метрические задачи в аффинной системе координат . . 267Г л а в а VIII. П рямая и плоскость в пространстве . . . . 271§ 3 1 . У равнения прямой в пространстве. Задачи взаимногорасположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 271§ 32 . Метрические задачи в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279§ 33. Векторные уравнения прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . 286Г л а в а IX. Алгебраич е ски е линии и пове рхностивторого порядка ..... . . .

. . . 29 1§ 34. Эллипс, гипербола и парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291§ 35. Линии второго порядка, заданные общимиуравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307§ 36. Эллипсоиды , гиперболоиды, параболоиды . . . . . .

. . . . . . . 31 6§ 37. Конусы и цилиндры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329§ 38. Поверхности второго порядка, заданные общимиуравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 335Г л а в а Х. Элеме нт ы общей ал гебр ы . ..344§ 39. Группа344§ 40 . Кольцо и поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362Г л а в а XI. П ол е компл ексных чисел .. . . . . .

. . 373§ 41 . Алгебраическая форма комплексного числа . . . . . . . . . . . 373§ 42. Комплексные числа в тригонометрической форме . . . . . 377§ 43. Корни из комплексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 383Ответы и указания . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460Указатель обозначений . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . 466...............................................................................................................................П РЕДИ СЛ ОВИЕ"Задачи не придумывают, их коллекционируют," - это сло­ва из беседы известного математика П . С. Моденова, автора зна­менитого задачника по элементарной математике, с молодымипреподавателями МГУ.Настоящее учебное пособие представляет собой сборник за­дач по объединенному курсу алгебры и аналитической геомет­рии. В основе сборника лежит замечательная коллекция задачнаших учителей и коллег. В первую очередь - это "Сборник за­дач по линейной алгебре" И . В.Проскурякова [21] , "Сборник за­дач по аналитической геометрии" С .

В . Бахвалова, П . С. Моденова,А. С . Пархоменко [1] и "Задачник по линейной алгебре" Х.Д. Икра­мова [8] . Авторы стремились пополнить классическую коллек­цию новыми задачами и, если это им удалось, то во многом бла­годаря сотрудничеству с коллегами по факультету вычислитель­ной математики и кибернетики МГУ им . М . В. Ломоносова.Пособие содержит в основном традиционный, но специаль­ным образом подобранный материал, соответствующий курсу,в котором органически связаны дисциплины "Общая алгебра","Линейная алгебра" и "Аналитическая г еометрия".

В сборникепредставлено большое количество задач разной степени сложно­сти , достаточное для обеспечения курса алгебры и аналитиче­ской геометрии. Вместе с тем сборник может быть полезен и длятех, кто осваивает смежные области: в книгу включены задачиматричного анализа, используемые в численных методах, тео­рии функций, дифференциальных уравнениях, математическойстатистике. Задачи на конечные группы и поля могут заинтере­совать и тех, кто изучает дискретную математику.Несколько замечаний о структуре книги. Задачи сгруппиро­ваны в параграфы.

Нумерация параграфов сквозная . В нача­ле каждого параграфа приводятся определения и формулировкитеорем, касающиеся рассматриваемых понятий, а также приме­ры решений типовых задач. Теоретической подцержкой задачни­ка являются учебник В.В.Воеводина [3 ), в котором заложены ме­тодические основы объединения курсов алгебры и геометрии, иучебник В . А . Ильина, Г.Д.