Том 1 (1113042), страница 6
Текст из файла (страница 6)
63. Доказать, что если матрица А не зависит от t, тоde p(t A ) = A exp (t A ) .dt xа)( )31§3 . Элементарные преобразования матрицd 2dA2 . 64. Доказать, что равенство dt ( А )2А dt выполненоdAтогда и только тогда, когда матрицы dt и А перестановочны.dA2 .65. Пусть f ( x) - многочлен, а матрицы А и dt перестаноdAdвочны. Доказать , что dt f ( A) f ( А ) dt==§3 .'·Элементарные преобразования матрицПриведение матрицы к ступенчатой форме. ЭлементарнЪtми преобразованиями матрШJ,'Ы называются преобразования следующих типов:1 ) перестановка двух строк (столбцов) матрицы ;2) умножение строки ( столбца) матрицы на число, отличное от нуля ;3) прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой ее строки (соответственно столбца) , умноженной на любое число.Т е о р е м а 3 . 1 (об основном процессе) .
Произволъна.я ненулевая матрu'Ца коне'ЧН'ЫМ 'Числом элементарН'ЫХ преобразований т о л ъ к ос т р о к первого и третъего типов может бытъ приведена к верхней ступен'Чатой форме.Доказательство ( (9) ) этой теоремы представляет собой описание процесса, приводящего ненулевую матрицу к искомому виду. Проиллюстрируемего на конкретном примере.П р и м е р 3.
1 . Приведем матрицуо 1 26-44 3А == 3 - 2 5 49 -6 3 2элементарными преобразованиями только строк к верхней ступенчатой форме.ПервЪtй шаг. а) Первым ненулевым столбцом в матрице А является 1-йстолбец. Поэтому ведущим элементом первого шага должен быть ненулевойэлемент в позиции ( 1 , 1 ) . В матрице А элемент a i 1 == О и он не может бытьведущиы, поэтоl\·fУ поменяем местами первую и третью строки (можно былобы первую строку переставить со второй, однако, как будет видно в п. "б" ,выбор третьей строки упрощает ручные вычисления) , при этом5 44 3АА 1 ==оо 1 29 -6 3 2б) Аннулируем подциагональные элементы первого столбца, для чегоиз второй и четвертой строк вычтем первую строку, умноженную соответственно на 2 и на 3 (отметим, что выбранный ведущий элемент являетсяделителем аннулируемых элементов, и это освобождает преобразования отдробных вычислений) , при этом�][о�[1 � I =�]i .Глава I.
Матрицы32-i ]45-6 -523 .1- 12 - 1 0 -2Второй шаг состоит в применении первого шага к матрице-6 -5 - 1оО123 .А2о - 12 - 10 -2Так как первым ненулевым столбцом в матрице А 2 является второйстолбец, то ведущий элемент след_ует искать во втором _ столбце и, хотяai 2 = -6 i= О , удобней всего в качестве ведущего элемента выбрать элемент,равный 1 (ибо 1 является делителем любого числа) , поэтому переставив местами 1-ю и 2-ю строки, получим:][==[�[I �6о - 1 2 - 10 -2Вычитая из 3-й строки удвоенную 2-ю строку и прибавляя ко 2-й строке1-ю строку, умноженную на 6, получимO L.!__ 2А2--+АзАз==----+Оо-�О3]-� ] .--+l2____!l_ .о о оВсе использованные преобразования строк матрицы А2 можно рассматривать как преобразования строк исходной матрицы, так что если опуститьвсе комментарии, то цепочка преобразований матрицы А , приводящая ее кверхней ступенчатой форме, примет вид:�j �-25��_g iо-6А213оо 1 2 3ооо - 12 - 1 0 -29 -6 3 2 4о3 -2 5 4оо 1 2оо о 7оо - 1 2 - 10 -2оо о оОтметим , что в описанном процессе использовались элементарные преобразования толъко строк матрицы.Процесс приведения матрицы к ступенчатой форме будем называть--+-----+-] [ --+][�[g J J J=�-----+--]основНЪtМ nрО'ЦеССОМ.1 .
Квадратная матрица с помощью основного процесса приводится ктреугольной форме.2. Если в основном процессе поменять ролями строки и столбцы, томатрица А приведется к нижней ступенчатой форме.3. В ручных вычислениях во избежание больших чисел целесообразнов основном процессе использовать элементарные преобразования строк второго типа: сокращать все элементы на общий множитель.4. Во избежание дробных чисел в ручных вычислениях удобно также вкачестве ведущего элемента выбирать элемент, равный единице. Если такогоэлемента нет, то, как правило, его можно получить, используя элементарныепреобразования строк и перестановки столбцов.Т е о р е м а 3 . 2 . Про�tзволъна.я ненулевая.
матр1ща коне'ЧН'ЫМ 'Числом эле.ментарнЪtх преобразований толъко строк (толъко столб'Цов) и пе-33§3. Элементарные преобразования матрицрестановка.м.и столб'Цов (строк) приводитсяевидной форме.кверхней (нижней) траnе'ЦиДля приведения матрицы к верхней трапециевидной форме нужно сначала привести ее к верхнему ступенчатому виду, а затем переставить столбцы так, чтобы ведущие элементы оказались на главной диагонали.П р и м е р 3.2.
Приведем матрипуоо 1 26 -4А = 3 -2 4 439 -6 3 2к верхней трапециевидной форме. Для этого приведем ее к верхней ступенчатой форме (см. пример 3 . 1 ) :3 -24[А�5оооооо27ои в получившейся матрице переставим местами столбцы так, чтобы 3-й столбец оказался на месте 2-го, а 4-й - на 1\Iесте 3-го:А�Квадратные :матрицы15[ � � -� � ]D i , Pi j , L i j1·следующего видаГлава I. Матрицы34в которых все диагональные элементы, кроме указанных, равны единице, авсе внедиагональные элементы, кроме указанных, равны нулю, называютсяматрицами элементарн'ЫХ преобразований.Т е о р е м а 3 .
3. Умножение матрtЩ'Ы А на матрицъt элементарнuх преобразований Pii , D i , L ij справа равносилъно элементарнuм преобразованиям столбцов матрицu А первого, второго и третъего типов соответственно, а умножение сле в а на матрицъt pi j ' Di ' L t аналоги'ЧН'ЬLМэлементарнъ�м преобразованиям строк.В свете этой теоремы можно по-иному сфорl\,1улировать теорему 3 . 1 : дл.ялюбой ненулевой матрицы А существуют матрицu элементарн'l)tХ преобТ1 А им,еет верхнююразований Т1 , . . , Tk такие, 'Что произведение Tkступен'Чатую форму.-....ЗАДАЧИ3.
1 . Привести матрицу к верхней ступенчатой форме, исполь-зуя элементарные преобразования ее строк :2 13103 -32 3 4 -22 -233ба))2 443 -14 -61 -13 2 1 - 1 - 141 -21о о 1 -13 2 2 223о 2 32 3 2 221 2г)в) 1д)2 2 3 2-11 о 1132 2 2 31412 1 13 . 2 . Указать матрицу элементарного преобразования Т такую, что матрица ТА получается из матрицы А :а ) перестановкой двух первых строк А ;б) прибавлением 1-ой строки А к ее 3-ей строке;в ) вычитанием из 2-ой строки А ее удвоенной 1-ой строки.3.3. Указать матрицу элементарного преобразования Т такую, что матрица АТ получается из матрицы А :а) перестановкой первого и последнего столбцов А;б ) прибавлением к 1-ому столбцу А утроенного 3-его столбца;в ) удвоением 2-ого столбца А .3.4. Пусть А и В таковы, что определено произведение АВ .Доказать , что:а ) при перестановке двух строк матрицы А соответствующиестроки в АВ также переставляются;б ) если k-ю строку матрицы А умножить на число а , то k-ястрока АВ также умножится на а ;оо о -9-6о 8о575о о8-6о-9-5о§3.
Элементарные преобразования матриц35в ) если к k-й строке матрицы А прибавить ее j-ю строку,умноженную на /3, то с матрицей АВ произойдет то же элементарное преобразование.Сформулировать и доказать аналогичные утверждения длястолбцов.3.5. Матрица А1 получена из А одним из следующих преобразований:а) переставлены 1-ая и 2-ая строки;б ) утроена 2-ая строка;в ) от 1-ой строки отнята удвоенная 3- ья строка.В каждом случае указать, как связаны меж,цу собой матрицы Ви В1 , если имеет место равенство ВА 1 = В 1 А .3.6. В матрице А выполнено одно из сле,цующих преобразований:а ) переставлены 1-ый и 2-ой столбцы;б ) удвоен 1-ый столбец;в ) ко 2-ому столбцу прибавлен удвоенный 1-ый столбец.В каждом случае указать, какое преобразование следует сделатьс матрицей В так, чтобы произведение АВ не изменилось.3 .
7. Указать матрицу S такую, что матрица SA получаетсяиз А:а) расположением строк А в обратном порядке;б ) прибавлением к первой строке А ее остальных строк;в ) последовательным вычитанием из каждой строки А, начиная со второй, преды,цущей строки;г ) последовательным прибавлением к каждой строке А , начиная с предпоследней, всех последующих строк.3 .8. Указать матрицу S такую, что матрица AS получаетсяиз А:а ) прибавлением к каждому столбцу А, начиная со второго,первого столбца;б ) вычитанием из второго столбца А каждого столбца матрицы А, умноженного на его номер;в ) последовательным прибавлением к каждому столбцу А,начиная с предпоследнего, последующего столбца;г ) последовательным вычитанием из каждого столбца А , начиная со второго, удвоенного преды,цущего.3.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
