Том 1 (1113042), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ким [9] . Последовательность разделов,а также определения и обозначения соответствуют учебнику [9] .В конце задачника помещены ответы к задачам , к некоторым изних даются рекомендации.6Инициатива написания книги принадлежит деканату факультета ВМиК 1\1ГУ. Мы рады случаю выразить глубокую признательность декану факультета академику РАН Е. И . Моисееву.Авторы считают своим приятным долгом отметить, что на ихдеятельность оказала решающее влияние система преподаванияматематики на факультете В11иК , сложившаяся под руководством и при непосредственном участии академика РАН А.
Н . Тихонова, профессора И . С. Березина, академика РАН В . В .Воеводина и академика РАН В .А.Ильина, стоявших у истоков организации факультета.Г.Д. Ким , Л . В . КрицковПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮВ настоящеrv'I издании исправлены опечатки и неточности,обнаруженные в тексте первого издания [12, том 1). В значительной степени это нам удалось благодаря нашим коллегам А.Б . Будаку, И .В.Дмитриевой, Н .
Б . Есиковой, Х.Д. Икрамову,М . В . Комарову, В .А. Морозовой, А.А . Полосину, Р. В . Разумейко,А . И . Фалину, А. С.Фурсову, а также многим студентам и аспирантам факультета ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова. Мы выражаемим свою глубокую и искреннюю признательность .Во второе издание добавлено более 1 50 новых задач. Приэтом мы старались сохранить прежнюю нумерацию задач, снабжая новые задачи "тройными" номерами или располагая их вконце параграфов . Тем не менее, ряд разделов был подвергнутсущественной переработке - это прежде всего относится ꧧ 39 ,40 и отчасти ꧧ 19, 2 1 и 30 , где порядок задач был изменен .
Кроме того, в конце задачника появились предмет ный указатель иуказатель обозначений.Второе издание книги было подготовлено в рамках образовательной программы "Формирование системы инновационногообразования в МГУ''.Г.Д. Ким , Л. В . КрицковДекабрь 2006 годаСписок лит е рату р ы1 . Б а х в а л о в С . В. , М о д е н о в П . С., П а р х о м е н к о А . С .Сборник задач по аналитической геометрии.- М. : Наука, 1964.2. Б е к л е м и ш е в а Л . А. , П е т р о в и ч А.Ю., Ч у б а р о вИ . А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейнойалгебре.- М.
: Физматлит, 2003.3 . В о е в о д и н В . В . Линейная алгебра.- М . : Наука, 1974.4. В о е в о д и н В. В . , К у зне ц о в Ю. И . Матрицы и вычисления .- М. : Наука, 1984.5. Г а н т м а х е р Ф . Р. Теория матриц. - М. : Физматлит, 2004.6 . Г л а з м а н И . М. , Лю б и ч Ю. И . Конечномерный линейный анализ.- М .
: Наука, 1 969 .7. Е ф и м о в Н . В . , Ро з е н д о р н Э. Р. Линейная алгебра имногомерная геометрия.- М . : Физматлит, 2004.8. И к р а м о в Х. Д. Задачник по линейной алгебре.- М . : Н аука, 1 975 .9. И л ь и н В. А. , К и м Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.- М. : Проспект, 2007.10. И л ь и н В . А . , П о з н я к Э .
Г. Аналитическая геометрия.М . : Физматлит, 2006 .11. И л ь и н В . А . , П о з н я к Э . Г. Линейная алгебра. - М . :Физматлит, 2005.1 2 . К и м Г. Д. , К р и ц к о в Л . В . Алгебра и аналитическаягеометрия . Теоремы и задачи.
Том I, том II (l) , том II(2).- М. :Зерцало , 2003.1 3 . К о с т р и к и н А. И . Введение в алгебру. Кн. 1: Основыалгебры. Кн. 2: Линейная алгебра. Кн. 3: Основные алгебраические структуры.- М . : Физматлит, 2004.14. К о с т р и к и н А . И . , М а н ии Ю. И . Линейная алгебра игеометрия .- М .: Лань, 2005.15. К у р о ш А. Г.
Курс высшей алгебры.- М. : Лань, 2005.16. М а р к у с М . , М и н к Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. - М. : УРСС, 2004.17. М о д е н о в П . С. , П а р х о м е н к о А. С. Сборник задачпо аналитической геометрии.- М . : Наука, 1 976.1 8 . П о л и а Г. , С е гё Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-хчастях) .- М. : Наука, 1978.1 9 . П р а с о л о в В . В . Задачи и теоремы линейной алгебры .М . : Н аука, 1 996.820 .
П р а с о л о в В. В. Задачи по планиметрии (в 2-х частях) .М. : Н аука, 199 1 .21 . П р о с к у р я к о в И . В . Сборник задач по линейной алгебре.- М. : Бином, 2005 .22 . Сборник задач по алгебре / Под ред. К о с т р и к и н а А. И .- М. : Физматлит, 2001 .23 . Ф а д д е е в Д. К . , С о м и н с к и й И . С . Сборник задач повысшей алгебре.- М . : Лань, 200 1 .24. Х а л м о ш П .
Конечномерные векторные пространства.Ижевск: НИЦ "Регуляная и хаотическая динамика 2002.25. Хо р н Р. , Д ж о н с о н Ч . Матричный анализ.- М. : Мир,1 989.26 . Ц у б е р б и л л е р О. Н . Задачи и упражнения по аналитической геометрии.- М . : Лань , 2005 .2 7 . Ши л о в Г. Е. Математический анализ (конечномерныелинейные пространства) .- М . : Наука, 1969 .Глава 1. МатрицыПусть m , n Е N.
Матри'Цей размера m п называется совокупность mnчисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из m строк и п столбцов. При этом сами числа называются элементами :матрицы. Если элементматрицы стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца, то говорят, что онрасположен в пози'ЦШ.t ( i, j).В главах I-VIII рассматриваются лишь вещественные :матрицы, т.е.
матрицы с вещественными элементами.щие 0 0 аченринят;�г!�:;;: ::и А= (a;j ) - матрица А с элем�н;г�ми aij в позиции ( i,J ) ,аm пa m 1 am 2{A} ij - элемент матрицы А в позиции ( i,j);Amx n - матрица А размера m х п ;Rmx n - множество всех вещественных матриц размера m х п;а� и aj - i-я строка и j-й столбец матрицы А, тем самым :матрица Аможет быть записана более компактно в видех[� ]илиА=='аm(0. 1 )Эле:менты Uij , где i j , называются диагоналънъtми, а элементы Uij,где i i= j, - внедиагон,алън'ыми. Совокупность всех диагональных элементован , а22 , .
. . , akk , где k == min(m, п) , называется главной диагоналъю матрицы ,а совокупность элементов а1 п , а 2,п - 1 , .. . - ее побо'Чной диагоналъю.!\1атрица , все элементы которой равны нулю , называется нулевой и обозначается символом О .Матрица размера п х п называется квадратной матри'Цей п-го порядка. О б о з н а ч е ние: A n - квадратная матрица А порядка п. Квадратнаяматрица называется диагоналъной, если все ее внедиагональные элементыравны нулю. О б о з н а ч е н и е: diag( а1 1, . . . , Unn) .
Диагональная матрица, укоторой все диагональные элементы равны между собой , называется скалярной. Скалярная матрица , у которой все диагональные элементы равны1 , называется едини'Чной (тождественной) и обозначается символом/. Элементы единичной матрицы обозначаются символом дij ( символ Кронекера) ,так что 8;1 = { 6: � i= �: и I = (8;1 ) . Столбец ej и строка е� единичнойматрицы называются j-м едtmu'Чнъtм столб'ЦОМ и i-й единu'Чной строкой.Число tr А = а1 1 + . .
. + апп называется следом матрицы А = (a ij) Е Rnxn.Матрица размера 1 х п называется стро'Чной матри'Цей, или матр1щейстрокой, или вектор-строкой. Матрица размера m х 1 называется столб'ЦОвой матри'Цей, или матри'Цей-столб'Цом, или вектор-столб'Цом.==10§ 1.Глава I. МатрицыОперации над матрицамиДве матрицыa ij ) и ==одинакового размера х п называются равнъ�ми, еслиj 1 , п.
О б о з н а ч е н и е:Суммой матрицJRmx n иRmxn называетсяпматрицаJRm � , элементы которой определены равенств ом1,j 1 , n.Обозначение :JRm n называется противоположной к матМатрица( aij ) JRmx n .рицеТео р ем а 1 . 1 . Операция сложения матриц обладает следующимиА=(В ( bij)mai1 == bi1, i ==1, m, =А == В.А == (aij) ЕВ == (bi1) ЕС ( Cij) ЕCij Uij + bij, i = m, =С== А + В.-А == ( -aij) ЕА == Есвойства.м,и: \iA , В, СЕ JRmx n и О Е JRmxn1) А + В == В + А (сложение матриц коммутативно);2) (А + В) + С == А + (В + С) (сложение матриц ассоциативно);3)А + 0 = 0 + А = А;4)А + (-А) -А + А == О .Разностъю матриц А == (aij) Е JRmx n и В == (bij) Е Rmx11.
называетсяматрица Х = ( X ij) Е JRmx n такая, что А = В + Х. О б о з н а ч е н и е : ХА- В.Произведением матрttЦ'Ьl А ( a i ) Е JRmx n на 'Число а Е JR называетсяхматрица С ( Cij) Е JRm п , элементы которой определ ен ы равенствоыCij == йUij, i = 1 , m, j 1 ,О б о з н а ч е н и е : С = аА .Матрица L Ak называется л�тейной комбинацией матриц А1 , . .Ап1. с коэффициентами а1, ...====х========j==1пk =lйkn.., йи1..,Т е о р е м а 1 .
2 . Опершция умноженttя матрицъt на 'Число обладаетследующими свойствами: \iA,B Е Rmx n , \ia,{3 Е JR1)1 ·А== А;2) ( а{З)А = а({ЗА);3)а(А+ В) = аА +аВ (умноженне матр1щъ� на 'Ч'uсло дистрttбутивноотносителъно сложения матриц);4) (а + {З)А аА + {ЗА (умножение матрицъ� на 'Число дистрибутивноотносиrпелъно сложения 'Чисел);5) -А == (-1)А .ххПроизведением матриц А == ( aij) Е JRm n и В == ( bij) Е JR nназывается матрица С { Сiз) Е JRm х элементы которой определены равенством==k==k,пCi == 2::= ai Ь , i1s=ls sJ==1, m, j==1, k.{ 1 .1 )С == АВ.Обозначение :Произведение матриц зависит от порядка сомножителей; произведениеопределено лишь в том случае, когда размеры матриц и согласованыспециальным образом: число столбцов левой матрицы должно совпадать счислом строк правой.АВА В§1 .11Операции над матрицамиСоотношение ( 1 .
1 ) означает, что элемент матрицы АБ, расположенныйв i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца :мат рицы В. Например,2 -261 . 2 + (-6) . о 1 . 4 + ( -6 ) . 5-611 .3= ( - 1 ) · 2 + 3·0 ( - 1 ) ·4 + 3 · 5 = - 2...-39126 2 + (-3) о 6 . 4 + (-3) 5] [[ 1 ] l_Ul [-----�--""Зх 22х2]Зх2Согласование размеров матриц-сомножителей и их произведения можно"увидеть" на примере умножения матрицы на вектор-столбец и на векторстроку:Заметим, что умножение :матрицы слева на столбец и справа на строкуне определено в общем случае.Непосредственно из определения следует, чтоРавенства ( 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
