Том 1 (1113042), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Доказать, что равенство [А , В] = I не в ыполнено нидля каких вещественных матриц А и В .3 6А=.=§1 .19Операции над матрицами1.39. Для матрицы А = (aij)ЕпnIR.mx величина Ti = I: aijmj=lназывается ее i-й стро'Чной сум.мой, а величина Cj = I: aij - ееi=lj-il столбцовоil сум.мой.а) Показать, что1r11r2А[ 1 1 . . . 1 ] А = [ с 1 с 2 .
. . Сп ] .1Tmб) Пусть все строчные суммы в матрице А и в матрице В одинаковы и равны соответственно а и /3. Считая , что произведениеАВ определено, доказать, что все строчные суммы в АВ такжеодинаковы и равны аfЗ.в) Сформулировать и доказать столбцовый вариант утверждения пункта "б".1.40. Доказать , что если квадратные матрицы А и В порядка1 выполненоп таковы , что для любого вектор-столбца � Е IR.
n xсоотношение А � = В � , то А = В.1.41. Доказать , что если квадратные матрицы А и В порядкап таковы, что для любых вектор-столбцов�' "1 Е IR.n xl выполненосоотношение � тAry = � тBry, то А = В .1.42. Найти коммутатор матричных единиц Eij и Ekl и показать, что он нулевой тогда и только тогда, когда либо i = j =k = l, либо (j - k) (i - l)-/= О .1.43. Доказать , что диагональная матрица с нулевым следом является линейной комбинацией коммутаторов м атричныхединиц.1.44. Показать, что коммутатор обладает следующими свойствами:а) [ А, В ] = - [ В , А ] ;б) [а А , В ] = а [ А , В ] , Va Е IR ;в) [ А + В , С] = [А , С] + [ В , С] ;г ) [ А , I] = О ;д) [ А , ВС] == [ А , В ]С + В [ А , С] ; е) ([А, В])т ==-[Ат , в т] ;ж) [[ А , В] , С] + [ [ В , С] , А] + [[С, А] , В ]== О (тождество Якоби) ,выполненными для любых квадратных матриц А, В, С и единичной матрицы I одного порядка.Глава I.
Матрицы201.45. Доказать, что равенство[ [А , В] , С] = [А , [В , С]]выполнено тогда и только тогда, когда матрицы [ А , С] и В перестановочны.1.46. Доказать, что для любых матриц А , В , С второго порядка выполнено соотношение[ ( [А , В ] ) 2 , С) = О .1.47. Доказать, что любая матрица с нулевым следом является суммой коммутаторов матриц с нулевым следом .1.48. Доказ ать , что для любой матрицы А с нулевой главной диагональю найдутся матрица Х и диагональная матрицаD такая , что [Х , D] = А.1.49.
Произведением Иордана А * В квадратных матриц А иВ одного порядка называется матрица ! ( АВ + БА ) . Показать,что произведение Й ордана обладает следующими свойствами:L;а) А * В = В * А ;в) ( А + В ) * С = А * С + В * С;д) А * I = А ;ж)( А 2 * В) * А = А 2 * ( В * А ) ,б) (а А ) * В = а А * В ;г) А * А = А 2 ;е) ( А * В ) т = А т * в т ;выполненными для любых квадратных матриц А , В , С и единичной матрицы I одного порядка.1.50. Доказать, что ( А * В ) * С = А * ( В * С ) тогда и толькотогда, когда матрицы [ А , С] и В перестановочны.1.51. Доказать , что каждое из следующих равенств выполнено в том и только в том случае, когда матрицы [ А , В ] и А - Вперестановочны:а) ( А + В ) 3 = А 3 + З А 2 * В + З А * В 2 + В 3 ;6) А 3 + В3 = ( А + В) * ( А 2 - А * В + В 2 ) .§2 .М атрицы специал ь ного видаnxКвадратная матрица А == ( aij ) Е R n называется верхней (правой)треугольной, если ai j == О при i > j, и нижней (левой) треугольной, еслиaij = О при i < j.Например, матрицы21§2.
Матрицы специального вида- верхние треугольные, а матрицы[�]' [�]' [�]- нижние треугольные.ТVIатрица А = {щj ) Е R m называется верхней {правой) ступен'Чаmой,если она обладает следующими свойствами:1 ) если i-я строка нулевая, то (i + 1 )-я строка также нулевая ;2) если первые ненулевые элементы i-й и (i + 1 )-й строк расположены встолбцах с номерами ki и kн1 , то ki < ki+1·Если в определении верхней ступенчатой матрицы поменять ролямистроки и столбцы, то получим определение нижней (левой) ступен'Чаmойматрицы.Например, матрицыxn�[ � � � 1!1] [ � � ] [ g g g ]]��]�[[1�1�1� [g g g]1- верхние ступенчатые, а :матрицы- нижние ступенчатые.Очевидно, не всякая треугольная матрица имеет ступенчатую форму.Например, треугольная :матрица1 1о оо оо оне является ступенчатой.Ступенчатая матрица, у которой ki i, называется т]ХJ,пе'Циевидной.Например, матрицы32о о о о- верхние трапециевидные, а матрицыооо- нижние трапециевидные.}Латрица А называется- снмметрн-ч,еской, если Ат = А;- кососимметри'Ческой, если Ат == - А;- ортогоналъной, если Ат А ААт = 1;- нормалъной, если Ат А == ААт;- периоди'Ческой, если при некотором k Е N выполнено Аk = 1 (число kназывается периодом матрицы А) ;==[ 4l i � 1] []][]==22Глава I.
Матрицы- нилъпотентной, если при некотором k Е N выполнено А k = О ( наименьшее из таких чисел k называется индексом нильпотентности) .Будем говорить, что некоторый класс NJ матриц замкнут относителъно какой-либо операции, если результат приl\·1енения этой операции к произвольным матрицам из М снова принадлежит классу М.Разобьем :матрипу А == ( aij ) Е Rm х n систеl\ЮЙ горизонтальных и вертикальных линий на кл�тки (блоки) . Клеmо'Чной (бло'Чной) матрицей называется матрица, элементами которой служат эти клетки. Общий вид клеточнойматрицы:А 1 1 А1 2 .
. . A lkА 2 1 А 22 . .. A2 kА=. . . . . . . . . .. .A s1 A s2 ... A skгде Aij - клетка, расположенная в i-й клеточной строке и в j-м клеточномстолбце. Квадратная клеточная матрица А = ( A i1 ) с квадратными клетками на главной диагонали называется квазидиагоналъной, если A ij == О приi -:/= j , и квазитреуголъной, если Aij = О при i > j (или i < j) .Например, :матрицы1 2 о о о1 2 о о о3 4 о о о3 4 о о о, В ==А=1 2 3 4 5О О 3 4 5о о 4 5 12 3 4 5 13 4 5 1 2о о 5 1 2- соответственно квазитреугольная и квазидиагональная матрицы второгопорядка.ЗАД АЧИ2.1. Показать, что множество всех верхних (нижних) треугольных матриц порядка п замкнуто относительно операцийсложения матриц, умножения матрицы на число и умноженияматриц.2.2. Найти количество операций умножения , необходимыхдля вычисления произведения двух треугольных матриц порядка п одного вида.2.3.
Пусть А = (aij) - треугольная матрица п-го порядка иk Е N. Найти tr A k .2.4. Доказать, что для любой треугольной матрицы А с положительными диагональными элементами найдется треугольнаяматрица В того же вида с положительными диагональными элементами такая , что В 2 == А.2.5. Доказать, что вещественная треугольная матрица, перестановочная со своей транспонированной, является диагональ-§2. Матрицы специального вида23ной.2.6. Квадратная матрица А порядка n.называется ленточной, если для некоторого числа m ( меньшего п - 1 ) все элементыaij с индексами, удовлетворяющими условию l i - j l > m, равнынулю.
Число 2 m + 1 называется шириной лентъt.Найти ширину ленты произведения ленточных матриц, еслидля сомножителей эта ширина равна 2m1 + 1 , 2m2 + 1 соответственно и m1 + m2 < п - 2 .2.7. Показать , что операции сложения, умножения на числои умножения блочных матриц совершаются по тем же правилам ,что и умножение обычных числовых матриц:а ) если блочные матрицы А = (Aij) и В = (Bij) имеют одинаковый размер и одинаковым образом разбиты на клетки, тосумме матриц А и В отвечает блочная матрица С = (Cij) с элементами C ij = A ij + Bijб ) произведению а А отвечает блочная матрица С = (CiJ) сэлементами Cij = aAij;в ) если А = ( Aij) и В = (Bij) - две блочные матрицы, длякоторых определено произведение АВ , и;А=А1 1 А 12А 21 А 22A1sA 2sА р1 А р2A psВ=В1 1 В1 2В 21 В22B 1qB2 qBs 1 Bs2Bs qпричем число столбцов блока Ait равно числу строк блока Bt jпри любых i , t, j , то произведению АВ соответствует блочнаяматрица С = (Cij) с элементамиCij=s2:: Ai t Bt j .t==l2.8.
Применяя описанное в предыдущей задаче правило умножения блочных матриц, вычислитьа)в)] [о о о-2-1-23 12 3 ; б)1 31-2-1-23[� �] [ �о[ � �] [ � �];1ог)-1 -11 1 -2 - 1о 1 о о1 1 о1 о 12 2 о2 о 2[�]1 1 22 1 3оо о1 о оо 1 1о о-1 1-2 2�].Глава I. Матрицы242.9. Показать, что:а) для выполнимости клеточного умножения двух блочныхквадратных матриц достаточно, чтобы диагональные клетки были квадратными, причем порядки соответствующих диагональных клеток были равны между собой . Является ли это условиенеобходимым?б) для выполнимости клеточного умножения блочной матрицы на себя необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональныеклетки были квадратными.2.10.
Доказать, что множество верхних (нижних) квазитреугольных матриц одинакового порядка и одинаковой клеточнойструктуры замкнуто относительно умножения .2.11. Пусть А и В квазидиагональные матрицы одного порядка и одинаковой клеточной структуры. Доказать , что:а) произведение АВ есть квазидиагональная матрица, диагональные клетки которой равны произведениям A iiBii одноименных диагональных клеток сомножителей;б) матрицы А и В перестановочны тогда и только тогда, когдаперестановочны их одноименные диагональные клетки.2.12.
Пусть А Е IR.mxn и В Е IR.nxm произвольные м атрицы.Доказать тождество-[А: g ] [ 1В � ] = [ 15 � ] [� в°л ] ,-в котором Im и In единичные матрицы порядка m и п соответственно, а символом О обозначены нулевые матрицы подходящих размеров.2.13. Пусть Апроизвольная квадратная матрица. Доказать, что симметрическая матрица, перестановочная с матрицейА , перестановочна также с матрицей А Т .
Верно ли обратное: еслинекоторая матрица перестановочна и с А , и с А т , то она обязательно симметрическая?2.14. Доказать, что квадратная матрица А порядка п кососимметрическая тогда и только тогда, когда соотношениех т А х О выполнено для любого вектор-столбца х Е IR.nx 1.2. 15. Пусть матрицы А и В симметрические. Доказать, что:а) А + В и а А для любого а Е IR симметрическая матрица;б) А k симметрическая матрица при любом k Е N;в) матрица АВ является симметрической тогда и только тогда, когда матрицы А и В перестановочны.--=--25§2. Матрицы специального вида2.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
