Том 1 (1113042), страница 9
Текст из файла (страница 9)
53.оооа 21 а 22 О5 . 54. аз1 аз2 азза 22а з2а4 2а 52а2 15 . 55. а з1а 41а 51Оa lnОа 2 ,п - 1 а 2пОаз,п-2 аз,п - 1 азпооо4 3 2 14 3 2 14 3 2 1а11 О О5 . 56.оd5 · 52·ооооооа 1 1 1о о 8 4оо638642а 2з а 2 4О ОО ОО О.а 25ОООап п-2 ап п-1ап1оО ап - 1 ОО а2 О . . . Ооап - 2 О ОО О аз . . . О5 . 58.5 . 57.О О О . . . апal . .
. Оо ... оai О О . . . О5 . 59 . Пользуясь только определением , вычислить определи···''тели:11cos1 Xk- 1 kа)1'; 6)Xk+ l , k 1Xn k.Slll1i<р<р•••.••- 8111 <рCOSJ<р..J1( в этих определителях все неуказанные внедиагональные элемен-47§5. Простейшие свойства определителяты равны нулю, а диагональные - единице) .5.60. Показать, что если в квадратной матрице порядка пболее чем n 2 - п элементов равны нулю, то ее определитель равеннулю.5.61. Доказать, что если в квадратной матрице порядка пна пересечении некоторых k строк и l столбцов стоят элементы,равные нулю, причем k + l > п , то ее определитель равен нулю.Исходя только из определения, найти4и х в определителях.хх12х 112 -1х5 .62 .
3 х 2х5.63.112-21х-хкоэффициенты при х 313 2х 1 21 х 12х 2 1 х5 . 64. Найти элемент квадратной матрицы порядкап,которыйа) симметричен элементу ai k относительно побочной диагонали;6) симметричен элементу ai k относительно "центра" матрицы.5.65. Назовем место элемента ai k четным (нечетным) , еслисумма i + k четна (соответственно нечетна) . Найти число элементов квадратной матрицы порядка п , стоящих на четных и нанечетных местах.5 .66.
Доказать , что в каждый член определителя порядка пвходит четное число элементов его матрицы, занимающих нечетное место, а элементов , занимающих четное место, входит четноечисло, если п четно, и нечетное число, если п нечетно.5.66. 1 . Показать, что определитель кососимметрической матрицы нечетного порядка равен нулю.5.67. Как изменится определитель порядка п , если первыйстолбец его матрицы переставить на последнее место , а остальные столбцы передвинуть влево, сохраняя их расположение?5 .
68. Как изменится определитель порядка п, если строкиего матрицы записать в обратном порядке?5 . 69 . Как изменится определитель порядка п , если каждыйэлемент его матрицы заменить элементом, симметричным данному относительно побочной диагонали?5 . 70. Как изменится определитель порядка п , если каждыйэлемент его матрицы заменить элементом , симметричным дан-48Глава II.Определителиному относительно "центра" матрицы?5.
71 . Как изменится определитель квадратной матрицы А =( aij ) порядка п , если каждый ее элемент aij умножить на ci -j ,где с =!= О?5. 72 . Доказать, что определитель порядка п не изменится,если изменить знак всех элементов его матрицы на нечетныхместах; если же изменить знак всех элементов матрицы на четных местах, то ее определитель не изменится, если п четно, иизменит знак, если п нечетно.5. 73.
Доказать, что определитель м атрицы не изменится , еели:а) к каждой ее строке, кроме последней, прибавить последУющую строку;б) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавитьпреды,цущий столбец;в) из каждой ее строки , кроме последней, вычесть все после,цующие строки;г) к каждому ее столбцу, начиная со второго, прибавить всепредыдущие столбцы.5.
74. Как изменится определитель матрицы, если из каждойее строки, кроме последней, вычесть последуюшую строку, а изпоследней строки вычесть исходную первую строку?5 . 75. Как изменится определитель матрицы, если к каждомуее столбцу, начиная со второго, прибавить преды,цущий столбец ив то же время к первому прибавить исходный последний столбец?5. 76.
Как изменится определитель порядка п, если его матрицу повернуть на 90° вокруг "центра"?5 . 77. Чему равен определитель матрицы, у которой суммастрок с четными номерами равна сумме строк с нечетными номерами?5. 78. Найти сумму определителей всех матриц перестановокп- го порядка.5. 79 . Найти сумму определителей порядка п > 2ai a2а 2а 2а � апa 2anana1 ana 2ап апa i a1а 2а 1где сумма берется по всевозможным перестановкам а 1 , а 2 , . . . , anиз первых п натуральных чисел .49§6. Миноры и алгебраические дополнения5 .80. Доказать, что если А и Встохастические матрицы,то определитель их коммутатора [А , В] равен нулю.5 . 8 1 .
Числа 20677, 5329 1 , 25783 , 2845 1 и 1 679 делятся на 23 .Доказать, что определитель2 о 6 7 75 3 2 9 12 5 7 8 32 8 4 5 1о 1 6 7 9также делится на 23 .5 .82 . Вычислить, пользуясь лишь свойствами определителя:1zхуz1хуzx+zхх+у-уy+z112225 .83. Доказать, что любой определитель равен полусуммедвух определителей, один из которых получен из данного прибавлением ко всем элементам i-й строки его матрицы числа Ь, адругой - аналогичным образом прибавлением числа -Ь.5.84.
Пусть А = A (t) Е vп х п . Доказать, что производнаяопределителя det А может вычислена по формулеa� 1 (t) a� 2 (t)а� п (t)dа 1 ( t) а ( t)а 2п ( t)det А = . 2 . . . . . 22+. . . . . . . . . . .dtап1 (t) an 2 (t)апп (t)a i n (t)а1 1 ( t) a i 2 ( t)а н ( t) ai 2 ( t )а� ( t) a� (t) . . . а � ( t)а 21 (t) a 2 2 ( t)+ . .1 . . . .
2. . . . . . . . .п . . + . . . + . . . . . . . . .ап1 ( t) an 2 (t) . . . ann (t)а� 1 (t) a� 2 ( t ) . . .§6 .ain (t)a2n (t). . . . .а�п ( t)М иноры и алгебраические дополненияПусть А = ( aij ) Е IRm x n и k Е N, 1 < k < min(m, n) . Выберем в матрице А произвольные k строк и k столбцов с ноl\,Iерами i 1 < i 2 < . .
. < i kи j1 < j2 < . . . < ] k соответственно. Элементы матрицы А , стоящие напересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матриц.уk-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А , расположенным в строках с номерами i1 , i 2 , . . . , i k и столб-Глава II.50О пределителицах с номерами j 1 , j2 , . . . , jk .
Для обозначения миноров приняты символыM i· 1 i2· . . . 1ik , M ( i. 1 i.2 . . . i .11- ) , Мk , М . И так ,] 1 ]2 · · · k] 1 ]2 · · · 1 k·А,/ � 1 �2 . . . 1i. k ] 1 ]2 · · · ka1 1 j 1ai2 J 1ai 11- j 1ai 1 j 2ai 2i2ai 1 j kai2 i kaik j 2aik j k. . .Пусть теперь А = ( a ij ) - квадратная 1\Штрица п-го порядка и л1J:J�:::;:- ее минор. Если вычеркнуть в матрице А строки и столбцы, в которыхрасположен заданный минор, то оставшиеся элементы матрицы А образуют квадратную матрицу (п - k)-го порядка.
Определитель этой матрицыназывается дополнителы-t'ЫМ минором к минору мJ:J�::: ; � . Дополнительныи" минор обозначается символами м ji 11 i2j2 .... ..ikj k , м , м8 . 0чевидно, что исходный минор является дополнительным к своему дополнительному минору. Дополнительный минор к минору мJ:J�:::;� , взятый со знаком ( - l ) s ( M ) ,s ( M ) = I:;= 1 (ip + jp ) , называется алгебраи'Ческим дополнением к минору.N/11 1 i 2 · · 1i. k и обозначается символом A 1i.1 11. 2 · · · 11!r .
Итак,1 J 2 · · /..·1 2··· k··i�АJi_1l i.J22 .". .·Ji.1rJ..· = ( - 1 ) i1 + i 2 + . . . + ik + i 1 +j 2 + . . . +j k М Ji.11 iJ.22 .· .· .·Jk:.П р и м е р 6. 1 . В ыатрице[8!]2 33 44 оминором 1-го порядка может быть любой элемент. Минором 2-го порядкаявляется, например, минор Mi :1= - 1 2, 111инором 3-го порядка 1 3 4м'2'314 1 =8онапример, минор 1 ' 3 ' 4 =о о 2А==1� �1·П р и м е р 6 . 2 . В 1\tатрицеA=для 111 инор а Mi ;i =при этом1� i1=мбл;,�'==[i23683441�]- 13 дополнительным минором будет минор=1� i1( - 1 ) 1 + 2+2+=4-23,м8=2 з.Т е о р е м а 6.
1 (теорема Лапласа) . Пусrпъ А = ( a iJ ) Е R n x n иk Е N , 1 < k < п - 1 . Пусrпъ в матрице А въtбран'Ы произволънъ�е k строк{или столбцов) . Тогда определите.лъ матрuцЪt А равен сумме всевозможНЪtХ произведений миноров k-го пор.ядка, расположеннъtх в въtбраннъ�х строках {сооrпветствен,н,о столбцах) , на их алгебраи'Ческие дополнения.51§6. Миноры и алгебраические дополненияТаким образом, в строчном варианте теоремы Лапласаdet A=U1 , j 2 , . . . , j k )i i i_ .
. . i _1rм]� 11 ]� 22 ·. ·. ·. 1_ 11·k A1. 11 122 · · · 1 k '(6. 1 )где суммирование ведется по всевозможным значениям j i , j2 , . . . , j k , удовлетворяющим неравенствам 1 < j i < j2 < . . . < j k < п, или в столбцовомварианте(6.2)det А ==где суммирование ведется по всевозможным значениям ii , i 2 , . . . , ik , удовлетворяющим неравенствам 1 < ii < i 2 < .
< i k < п .П р и м е р 6 .3. Вычислить определитель матрицы.А=.[� � � �]2 о о 3,пользуясь теоремой Лапласа.Р е ш е н и е. Заметим, что во 2-й и 4-й строках матрицы А находитсялишь один ненулевой минор второго порядка мПоэтому раз�;;:ложение определителя по этим двум строкам ( т.е. в теореме Лапласа k = 2,i i = 2 , i 2 == 4 ) содержит только одно слагаемое, так чтоIAI( - 1 ) 2 +4+ ! +4MU A � :: = �( -2) 10 •Из теоремы Лапласа следует, что=1�11=det А==1 � � 1 = 5 - (-1) .·п�1La ij Ai jj =lили det A ==L aij Aij ,·=.пi= l(6.3)где Az j алгебраическое дополнение к элементу a ij .Представление определителя (6.3) называется 'JЮЗложением определителя по i-й строке ( соответственно по j -му столб'Цу) .П р и м е р 6.4.
Вычислить определитель матрицы-А ==[ � g -� ] '4 - 2 -5пользуясь разложением по 1-й строке.Р е ш е н и е. Согласно (6.3) имеемIAI( - 1 )1+ 1+ ( - 1 ) . ( - 1 ) 1 +з=1·IJ j11 � J 1 = - 4 + (-1 ) (-18) = 14. •Т е о р е м а 6 . 2 . Определителъ квазитреуголъной матри'Ц'Ьt равенпроизведению определителей диагоналънъtх клеток.Т е о р е м а 6 . 3 . Определиrпелъ произведения квадrютнъtх матри'Ц'JЮвен произведению определителей маrпри'Ц-сомножителей.Глава II.52ОпределителиЗАД АЧИ6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
