Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 10

1 . Сочетанием из п эле.ментов по m называется неупоря­доченная выборка m эле�1ентов из совокупности п заданных эле­ментов. Число всех сочетаний из п элементов по m обозначаетсясимволами С� или (::i) . Считая, что С� = 1 и О ! = 1 , доказатьn '.п(п - 1 ) . . ( п - m + 1 ) .тта ) сп =' б ) Сп = m.' ( п m ) .' ;m.'в ) спт = спп - т .'г ) сnт+l = спт + спт - 1 '.д) с� + с� + . . . + с;: = 2 n ;е ) С� - С� + С� - .

. . + ( - 1 ) п с;: = О;ж ) ( С� ) 2 + ( С1� ) 2 + . . . + ( CJ: ) 2 = С!Ъ� ;k l kkз ) Ст+ п - L ст еп l .l=O6. 2. В квадратной матрице порядка п найти:а ) число миноров порядка k , расположенных в фиксирован­соотношения:._ных k строках ;б ) число всех миноров , расположенных в фиксированных kстроках;в ) число всех миноров порядка k.6.3. Пусть М - произвольный минор некоторойквадратнойMfJsматрицы , M дополнительный к М минор, ( - 1 ) ( ) M fJ - алгебраическое дополнение минора М ( здесь s (M) сумма номеровстрок и столбцов матрицы, в которых расположен минор М ) .Показать, что алгебраическое дополнение к минору M fJ равно--( - 1 ) s ( Л1 ) М .6.4. Минор, стоящий на пересечении k строк и k столбцовквадратной матрицы, имеющих одинаковые номера, называет­ся главным .минором порядка k . Найти число главных миноровпорядка k в матрице порядка п.6 .

5 . Пусть А Е IR.n x n . Доказать, чтоdet (A - ЛI ) = ( - Л ) пгде S k-+пL Sk ( - Л)n-k ,k=lсумма всех главных миноров порядка k матрицы А .53§6. Миноры и алгебраические дополнения6.6. Показать , что построенное в теореме Лапласа разложе­ние определителя порядка п по любым k строкам (столбцам)совпадает с его разложением по остальным п - k строкам ( соот­ветственно столбцам) .6.7. Доказать , что если в некоторой матрице А Е IR m x n всеминоры порядка k ( k < miп( m, п) ) равны нулю, то равны нулюи все миноры порядка выше k .Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определители.9 8 3 4 о1 2 3 4 513 37 23 46 5 2 9 72 1 2 3 411 9 оо6 · 8 · 1 1 1 73 3 .

6 · 9 · 4 5 о 3 о . 6. 10. 0 2 1 2 3 .41 О ·О О Оо о 2 1 2о 9 11 о2 3 о 1 оо о о 2 11 оо 26. 1 1 . 2 оо 33 о6 . 14.2 о 3о 3 о3 о 4 . 6. 12.о 4 о4 о 3713652 3 9 7 4 оо о 2 1 о 13 3 8 о 4 3о о 1 2 о 12 1 3 4о 2 о 3о 4 о 7 . 6. 13.3 2 4 52 2 311372526.15.4 4 4 4 4 4о о 1 1 о 26 . 16.6. 18.16933525823 4 5 37 8 4 26 7 о о4 5 о о4 о о о о6 о о о о1 52 9 1о 7 16о о 3о о 2о 5 112 1 7 5747 1 6 239 4 о5 о о3 о о24 3 о28 1 1 1294 54 13 52 43 22 о о о о4 о о о о6 5 4 о о3 4 5 о о1 2 6 7 37 5 3 4 13 оо 1 -14 о о 3 75 1 -1 246. 17. 43 8 31 -1 о37 о6. 19.1 2 3о 6 о2 4 11 3 5о 5 о7 6о оо о9оо13 24 3 4 5771 7 о о 82 о о о о5 о о о о27 8 о о 783 6 1 4 5 5 12317373143Глава II.546 . 20.11ооо11312412111о оо о1 13 49 165о5о5о6. 2 1 .ооХ1 Х2 cos a Slll QУ2 cos /3 si11 /3YIо5о5о21.6 . 22 .6.23.Z 1 z2 COS ! Sln 11 хо а ь с1 о о16 . 24.

ai о 1 о . 6.25. 1 аоЬ11 оС1 о о 16. 27. Пусть А , В , С , D миноры-мые из матрицыО пределители2о5о5оо а ь1 х о1 о у1 о оо5о8о55о8о5оо5о5о5сооzх ха ь с dь о о со о..6.26ь ос о о ьо сd с Ь атретьего порядка, получае-[ :� �� �� �� ]аз Ьз сз dзвычеркиванием соответственно первого, второго , третьего и чет­вертого столбцов. Доказать, чтоai Ь 1 с 1 d i О Оа 2 Ь2 с2 d2 О Оаз Ьз сз dз О ОО О a i Ь1 с1 diО О а 2 Ь2 с2 d2О О а з Ьз сз dз=AD_В С.Применяя теорему Лапласа, вычислить определители, предварительно преобразовав их.78 7 82 6 -3 -9999 - 126 . 28. - 78 - 8 78 86 .

29 . 61 8 3 -2 -6-8 -9 8 93 4 -6 - 85 1 1 1 12 3 4 64 1 1 1 14 5 8 106 . 30. 1 1 3 36. 31 . 9 3 2 2 27 5 6 5 51 2 3 63 7 7 9 755§6. Миноры и алгебраи ческие дополнения6.32.6 . 34.6 . 36.6 . 38.5 -5 -3 4 23-4 43 63 -15 -9 -5 . 6.33.7 6 8 4-75 - 3 2 - 1 -22 -3 5 -2 132 5 -4 -3-2 3 -4 2 - 3 . 6. 35.6 4 7 -8 - 12 -1 7 1 51 1 1 1о 1 1 21 о 1 3о о 2 о1 о о 3о о 1 о оl+xхl+xхо111охххх1 + 2хх136оо46. 37.хх1 2 3 23 -27 5 -13 - 1 -5 -3 -25 -6 4 2 - 42 - 3 3 1 -21 48 10 37 9 41 61 -2 2 1 32 5 -4 - 2 -6-1 2 6 3 92 1 1 1 1 31 2 1 1 3 11 1 2 3 1 11 1 3 4 1 11 3 1 1 4 13 1 1 1 1 41+ххх...

1+ххх2l+x 1+х ... . . 1 + 2х 1 + х . .х(порядок определителя равен 2 n ) .х..хххххl+x6 . 39 . Справедливы ли тождества (А, В Е IR.n x n ) :а) det ( A + В ) = det А + det В ; б ) det ( аА) = а det А ;в) det ( �A ) = a n det A;г) det(A k ) = ( det A ) k , k Е N ?6.40.

Доказать, что если матрица А ортогональна, то1 det A I = 1 .6.41 . Доказать, что определитель нильпотентной матрицыравен нулю.6.42 . Доказать, что для любой квадратной вещественной мат­рицы А имеет место неравенство det ( AAT ) > О.6.43 . Как изменится определитель , если в его матрице вы­делить k строк (или столбцов) и из каждой из них вычесть всеостальные выделенные строки?6.44 . Найти связь между определителем матрицы А порядкаГлава II.56п и определителями блочных матриц порядкавида:а)[ АА]-А ;А6)[ 3 � 4А2А ] 'в)Определители2nсле,цующего[ ЗА2А ЗА4А ] .6.45. Квадратная м атрица А порядка п разбита на блокитак, что получающаяся при этом блочная матрица состоит из рклеточных строк и р клеточных столбцов: А = (Aij ) , i , j = 1 , р .При этом отличными от нуля оказались лишь блоки н� побоч­ной клеточной диагонали: А l p, А 2 ,р - 1 , .

. . , Ар 1 , которые являютсяквадратными матрицами порядков k i , k2 , . . . , kp соответственно.Доказать, чтоdet А = ( - 1 ) 8 det А 1 р det A2 ,p- l . . . det Ар 1 ,� ki ( ki ]/2.·где§7.s[= п(п - 1 ) +··- 1)Вычисление определ ителяМ е тод Гаусса. :метод Гаусса решения матричных задач основан наследующих положениях:• выделяется тип матрицы, для которой задача решается достаточнопросто;• указывается тип преобразований, которые либо не изменяют решенийзадачи, либо изменяют их контролируемым образоl\-r;• произвольная матрица у к азанными преобразованиями приводится квыделенному типу, тем самым задача общего вида сводится к более простой.В применении к задаче вычисления определителя эта схема выглядитследующим образом:- определитель треугольной матрицы равен произведению диагональ­ных элементов (пример 5 . 1 ) ;- элементарные преобразования матрицы либо не изменяют опре­делителя (свойство 8) , либо изменяют (свойства 3 и 5) , но так, что эти из1\,1енения можно легко контролировать;- произвольная квадратная матрица элементарными преобразованиямиприводится к треугольной форме (теорема 3.

1 ) .Метод Гаусса вычисления определителя состоит в приведении матрицыэлементарными преобразованиями к треугольному виду, вычислении опре­делителя получившейся треугольной матрицы и восстановлении исходногоопределителя, если привлекались элементарные преобразования первого ивторого типов (§3) .В методе Гаусса вычисления определителя можно использовать элемен­тарные преобразования как строк, так и столбцов .П р и м е р 7.

1 . Вычислить определитель матрицыА=[ � -! � J ]-12 1157§ 7. Вы числение определителя{о}= о о 2 =методом Гаусса.Р е ш е н и е. Приведем матрипу А к треугольному виду:вычтем из 3-й стро11 -1переставимки 1-ю, умножен1I A I == местами 1-юную на 2, а к 4-й- 2 2 1 -2и 2-ю строкистроке прибавим 1 -1 2 1 1ю{оо 21-1 о122 1 -3о1 121{=={ переставимместами 2-ю }==о 2}оо о=3.о о ои 4-ю строки1=}{}оо1о-1121 12 1 -3о2 211 -11о1прибавим к 4-й==о о - 1 -7 == строке 3-ю1 4о1о1 -1211•- 1 -7о-3Метод рекуррентных соотношений. Метод применяется в тех слу­чаях, когда удается получить соотношение, связывающее данный опреде­лительпорядка п с определителяыи такого же вида, но более низкихпорядков(7.

1 )k < n.Такое равенство называется рекуррен.mн.Ъtм соотн.ошен.ием.Простейший вариант метода используется для вычисления определите­ляконкретного (и невысокого) порядка п и состоит в получении рекур­рентного соотношения и последовательном вычислении всех определителей,входящих в это соотношение, при этом определители низших порядков вы­числяются непосредственно, а определители более высокого порядка - черезрекуррентное соотношение.П р и м е р 7.2. Вычислить определитель1 1 1 1 11 ai1 О а2 О ОО1 о О1 о О О а4вычтем из 4-й строки 3-ю , а из 3-й удвоенную 2-юDn====Dn J(Dn-1, Dn -2 , . .

. , Dn- k),Dnо о о оD5 =азо о о {о =Dп + 1 == 1 о 21о оо п ооо{2n+l)=(D= ап поо оо апо- 1Р е ш е н и е. Найдем рекуррентное соотношение для общего случая определителя данного вида (п + 1 )-го порядка:1 11разложим по по1 aiследнему столба. . . .цуа+1111aiа2. . . .}=разложим второйопредели;ель попоследнем строке}=Глава II.