Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 12

. . 1 -п. . . -п 1...11112 Всюду, где по виду определителя нельзя узнать его порядок, предпола­гается, что порядок равен п .65§ 7. Вычисление определителяп п пп п п1 aiа21 ai + Ь 1 а 27.32. 1 ai а 2 + Ь2 . . .1ai17.34.aiа2Ь 1 Ь2 Ьз . . . an- 1 ап - 1Ь 1 Ь2 Ьз . . . Ьп ап1 1о 1 1п-1 пп па21апапап.1 0 х. 7 . 3 3.. . . а п + Ьп1....

х хl x O ... x xl x x ... O xl xx ... x O1а о a i а 2 . . . апЬa i a i - 1 ai-х х о . . . о. . . а 2 - Ь2 а 2 а 2 . 7. 35. о - х х . . о ..о3-427 1.о о ...хГлава II. Определители667. 36...........х Х.х17. 37.п-1пn-2 п- 1п-3 n-2n-4 п-31 2 3 41 1 2 31 х 1 21 х х 1........ооа-а7.39 .о.....-а 17.40 .7.41 .рядка п,7.42 .рядка п,7.43 .рядка п,оо..Ь2аооaiоо.....1......оооооо........а-а........оаоооооо..1 - Ьп - 1 Ьп1 - Ьп-1a + (n - 2) h a + (n - l ) hооооа2-а з.ппппо...ооо-а-а 2..ппо...- Ь2 Ьз. .

. . . . . . . . . .ооооооa + h a + 2hоаоо..n-2 п-1 пn-1 п ппп п1 Ь1- 1 1 - Ь1о -1 1..хп-1 п пп п п7.38... . .2 33 44 5123..... . .ооо-ап ап11111Вычислить определитель квадратной матрицы А по­элементы которой заданы условиями a ij = n1in(i , j ) .Вычислить определитель квадратной матрицы А по­элементы которой заданы условиями a ij = n1ax(i , j ) .Вычислить определитель квадратной м атрицы А по­элементы которой заданы условиями aij = pi + qj + s ,67§ 7. Вычисление определителягде р, q , sвещественные постоянные.7.44. Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п, элементы которой заданы условиями aij = i 2 + j 2 .7 .45.

Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п, элементы которой заданы условиями a ij = sgn( i - j ) .7 .46. Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п, элементы которой заданы условиями aij = l i - j 17.47. Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п, элементы которой заданы условиями aij = al i - j / , гдеа > О, а =!= 1 .Вычислить следующие определители трехдиагональных матриц.3 2 о о о о3 2 о о о о1 3 2 о о о1 3 1 о о о2о 17.49 . оо о2 31 23 о1 оо7.48.

о о 31 3 о2 ооо о о 1 3 2о о о 2 3 2о о о о 1 3о о о о 1 3о 1 оо оо 1 оо о-1 о 11 о 1 ... о оо оо -1 оо 1 о ... о оо о-··7.50..оо...о...о5 2 о2 5 2о 2 5. . . . . .7.52.о. . .ь.13 8 о-4 - 3 -4о 5 1зо о 57 . 5 4.оо....оо.... . .оо о о.ооо . . . -1..оо. ...о оо оо о.. 7. 5 1 ..1о.3 Порядок определ ителя п > 3.. ..о о оо о о7 6 о2 7 6о 2 7. . . . .

.о о оо о о7.53.. . . . .. . .5 22 5. . .о оо12оо о4-4о о1о о . 7.55. о. .. . . . . . . . .оо . . . 1 -4оо ... 5 1.... .о 1.1 оо оо оо о. . . . . . .7 6. . .2 79 о12 94 12..оо..о......о оо оо о..12 9о . . . 4 12Глава II. Определители687. 56.2 -1 о-1 2 -1о -1 2оо..5 3 о2 5 3о 2 57. 58. 4.....7.60. оо о1 а1о о оо о о.оо...... . ..52оо...352о..о о.. 7.59 ...... . . . .оооо..4 Порядок определ ителя п > 3.5Порядок определителя п > 4.....оо.6 91 6. .о оо о.............+ х2х...х1 + х2.о оо оо о4 о2 41 2оооо..оооо.оооо.7 5 о2 7 5о 2 7о о 4ооо. .

. . . . . . . .1.о о6 91 6ооооооо..2 4 о о1 2 4 оо 1 2 4о о 1 2о о о 1о о о о3 о6 51 2хоо21+ххо2х1+х ххо.7 4 о о-2 3 5 оо о оо 2 7 5о о оо о 2 71 о о5. . .а 1 о . 7. 6 1 .о о о о1 а 1о о о оо 1 ао о о оо о о оо11 + х2о 1о о. . .о оо о. 7.57. 4о о о оо о о оо о о оо о оа 11 а..о о оо о оо о о7.62 .оо. . .

.. .. . .2 -1о о оо о о . . . -1 2.о оо оо о-3 8 о о3 1 9 ооооо2369§7. Вы числение определителя3 2 о о1 3 2 оо 1 3 2. . . .. . .о о о о .о о о о ....7.63.....о о о оо о о оо о о оо о о оо о о оо о о оk строк. .. . . . . . . . . .1 3 2 о . о о о оо 2 5 3 . . о о о о.....2 5 3 оl строк0 0 0 ... 0 2 5 30 0 0 ... 0 0 2 5член ряда ФибоначчИ равен опреде­о о о1 1 о-1 1 1о -1 1о..о0 0 0 0 ... 00 0 0 0 ... 07.64. Доказать, что n-йлителю порядка п видао о о о.о оо оооо о ...

1 1о о . -1 1о..Найти обшую формулу для n-го члена.7.65. Доказать равенствоопределитель в левой части которого - порядка п .7.66. Доказать равенство, не вычисляя самих определителей:alС1о.оо оЬ1а2с2оЬ2 о . .аз Ьз .ооооо. . . .. . ..о о оan - 1 Ьп - 1о о о о . . . Сп - 1 а п......·..··..a l Ь 1 с1 о о1 а 2 Ь 2 с2 о .

.о 1 аз Ьз сз.. . . ..оооо.. . . .оо...о..ооо. . . . .... .оо.о . . . an - 1 Ьп - 1 Сп - 11о .ап..Глава II. Определители70Применяя метод рекуррентных соотношений, вычислить оп­ределит ели.оа1ао + а 1aia i + а2 а 2оа 2 а 2 + аз7.67.. .. . .. ......оо....оо.оооЬ2- 1 1 - Ь2 Ьзо- 1 1 - Ьз. . ........7.69......оооох1охn- 1оп-2..оо......оо....оо.оо1 О О...........................п-11хоо оai о о1 а2 оо 1 аз1111.....о......оо...оа2.1ооо. .ап - 1 о1 апоооо.оа16 Порядок определителя равен 2п..ооо..х..Ьп - 1 Ьп1 - Ьп-11 о.

7. 73 ...1 о о о...-.. 7. 7 1 ...ооооооапО Ьа ОЬ О ... О а.ооо. .ап - 1ап - 2 + а п - 1ап - 1an- 1 + апооа О . О ЬО а ... Ь О..1оо.оо3х..12о 1 11 ai о7.70. 1 о а 27. 72 . 6..ооо1 - Ь17.68.ооо.о Ь2п - 1Ь2п о.....Ь2.Ь1.а 2п - 1оо...оа 2п71§ 7. Вычисление определителя7.74.17.

75 . 1 .0О07. 77.оООСпхооооооОх-10 ...12 3-1 х оо -1 хоо7 . 78....о-1хап - 1апа0О0-17.76.7.75 .Ьпсо Ь 1 Ь 2a l С1 0а 2 О с2ап.. . . апОО0хn-1 пооооо оо о ...х-1охп п- 1 п-22хо-1оох-1о. .. . .... .ооохооо. . -1.........1оо..ох.7 . 79 .a i - а2 оо а2 - азооаз. . . . . . .ооо111.....ь ьа С1 0а О с2�пао 1 21 ai О1 О а2..ооо. .

...ооо.ООьоо.. .СпГлава II. Определители7.80.an - 1 апао a i а 2оо- у1 Х1 оооо - у2 Х2. . . . . . . . . . . . . . . .оооХп - 1 ооо- уп X nооооh-1ооhhx-1hоhxhx 2-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hhxn- 1 hx n - 2 hx n - 3 hxn - 4hxn h x n - l hx n - 2 hxn - 3 . . . hx..7.81 ...ооо. .-1hИспользуя значение определителя Вандермонда, вычислить.117.82. 112113(п + l )n1 п + 1 (n + 1 ) 2ап ( a - l ) n(а - п ) пап - 1 (а _ l ) n- 1 .

. . (а _ п ) п - 1..•7.83.а-па-111х + а1 1( х + a i ) n- 1(х + a l ) n(х + а 2 ) п - 1х + а2 1(х + а 2 ) п7.84.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( х + ап+1 ) п ( Х + an + l ) п - 1 . . . Х + a n + l 1111Х1 + 1Хп + 1Х2 + 1Х 21 + Х1Х 22 + Х 2Х п2 + X n7.85 .xf + хух � + х§х 3п + х 2п. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .2хп1 - 1 + хп1 - 2 хп2 - 1 + xnxnп - 1 + Х пn- 22а1...···73§ 7. Вы числение определителяcosn - l 'P lcosn - l (/) 27.86.. . . . . .cosn- l 'Рп1Slll (/J l7.87. sin 2 'P l7.88.cosn- 2 'P lcosn- 2 (/) 2. . . . . . . . . .cosn - 2 'Pn . . .1Slll (/) 2sin2 'Р 2cos 'P l 1cos 'Р 2 1. . . .COS 'Рп 11.Slll 'Pn.2Slll 'Рпsiпn - l 'P l sinn - l 'Р 2 . .

. sinn - l 'P nпп ( 2 n ) n( 2n - l) n ( 2 n - 2) n(2 n - l ) n - 1 ( 2n - 2) n- 1 . . . пп - 1 ( 2n) n- 1п2n - 22n2n - 111111 !1 ( х1 ) !2 ( х1 )fп - 1 ( х1 )1 !1 ( х 2 ) !2 ( х 2 )fn- 1 ( x 2 )7.89 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 f1 (xn ) f2 (xn ) . . . fп - 1 ( хп )k-l + a k 2 x k - 2 + . . . + akk ·где fk ( x) = x k + a k 1 XXnХ1Х2Х1 - 1 Х 2 - 1Хп - 1Х1ХпХ2227.90.х1Х2х п27.9 1 .1Х n11 21 2зХ п2 - 1333Xпn - 1ппз1 2 2 n - l 3 2 n - 1 . .

. п 2п - 1а п1 - l ь 1ап2 - l ь27.92 .ann + l aпn+- ll ьn+ l ann+- 2l ьn2 + l · · ·ьп1ь�ьnп + l74Глава II.Определители1 х 21Хп1 -2 хп11 х§х�Хn-22. 7.94. . . . .. . . . .1 х п2. . Х nп 2 xnn1 Х1Хn1 -2 (х 2 + Х3 + . . . + Xn ) n- ln -2 (х 1 + Х3 + . . . + X n ) n -l1 Х2Х27.95..... . . . .

. . . . . . . . . . . .1 ХпХnп -2 (х1 + Х 2 + . . . + X n - 1 ) n - l1 Х1Х n1 2 Х 2 Х3 Xnп - 2 Х1 Хз . . . Хп1 Х2Х27. 96.. .... .1 ХпХ nп 2 Х1 Х 2 . . . Хп - 1117.93 ..1Х1Х2. . .Хпх 21х§. . .хn2.... .·.xпn...х}хп2...·. ...·..7. 97. Вычислить определитель квадратной матрицы А по­рядка п, элементы которой заданы условиямиa ij = л� -j ( l + Лт) J - 1 .Применяя метод выделения линейных множителей, вычис­лить определители.1 2п31 х+1 3пп .

7.99.7.98. 1 2 x + l.............3 ... х+11 2112х127. 100. 2 32 31 111 2-х 11 1 3-х111. . .... п-х32l+x 1131 1-х 127.101..1511 l+z211 9-х11 1-х а ь ссь7. 102 . аь -х -хсас ь а -х·хal7. 103. a i. .alalа2х а2а2 х. . . .а2 аз ...111апапап. .х. .111-z75§ 7. Вычисление определителях + а1 а2азa i х + а 2 азaiа 2 х + аз7. 104.aiх a i а2a i х а2a а х7. 105.

l 2a i а 2 азa i а 2 аз..аза2............х + апап - 1 1ап - 1 1ап - 1 1.......хап1 х х2 хза н 1 х х27. 106. а 2 1 а 22 1 х....................апапап....11...ап1 an2 аnз ап4........xnхп - 1хn -21.Применяя метод выделения линейных множителей, решитьуравнение I A - ЛII = О для следующих матриц А .7. 107. А =7.

109 . А =[�-3 - �11217. 1 1 1 . А =-6].7. 108. А =оо -2 7.1 _ 1 . 1 10 . А =2 11 -21Оо -15111:[ � =�� � ]_1 -1 -15 -1 -1. 7. 1 12 . А =1 3 _11 -1 3_1 3 2 -227. 1 13. А = - 21 - 36 24 4-3 -9 - 6 6111 2 - 24 1 32 -3 о6 2 о 63 О 2 _3о -2 3 114141227. 1 14. А =221 1 -3 1-1 - 1 1 -34 -2..11-62 23 1 -11 3 -16 -6 - 4Глава II.761 11 17. 1 15. 7 А =.........1 1.....11...121 12 2. 7.1 16. А =1Определителип п..........пВычислить определители, раскл ады вая их в сумму опреде­лителей.а 2 азХ 2 аза2 ХзХ1а17.

1 17. а 1......-....a i а2 аз.Х1Х2Хз. . . .aiХ2Хз.а2Хз..........1о1оазоо...Хп - 1 Хп - 1 Хп - 1 X n - 1Хп Хп X n X n7. 120.........ооо...1о1о1о7. 1 19.апa i Ь 1 а 1 - Ь2an- а - Ь2ап . 7. 1 18. а 2 Ь 1 2an - Ь 1 a n - Ь 2Хп..ап - 1 оX n anа п2аn2а 22а2х 1 + a i b 1 а 1 Ь2а 2 Ь 1 х 2 + а 2 Ь27.