Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 11

PDF-файл Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 11 Линейная алгебра и аналитическая геометрия (36662): Книга - 2 семестрТом 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)) - PDF, страница 11 (36662) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "Том 1" внутри архива находится в папке "Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)". PDF-файл из архива "Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 11 страницы из PDF

О пределители58=Таким образом,an Dn + (-l ) n + 2 (- l ) n + l a i a2 . . . an-1·(7.2)Для=Вернемся к примеру. Согласно (7.2) имеем= -1,найдем последовательно определителивычисления===Отсюда=+ ..!..+ ..L)+ _!_( ..L,==а2а4а1�зесли i f:. О, i 1 , 4.3аНетрудно показать, что эта форма записи годится и вслучае , когда среди ai есть равные нулю. В этом случае соответствующаявеличина в ответе отсутствует.Чтобы получить общее выражение для определителя произвольного по­рядка п , поступают следующим образом:а) вычислив несколько определителей низших порядков, устанавливаютзакономерность и находят предполагаемое искомое выражение;б) затем доказывают гипотетический ответ методом математической ин­дукции.В обоих пунктах "а" и "б'' существенно используется рекуррентное соот­ношение.такого же вида, что и вП р и м е р 7.3.

Вычислить определительпримере 7.2, но произвольного ( п + 1 )-го порядка.= -1,Р е ш е н и е. Как было найдено в примере 7.2,_!_..!..==++.Покажем,что+ а2 а з )а1а2а1. ++."+а т•а1а2Тогда в силу (7.2 )Пусть=+".+( ...L+ _!_а2laiаа�D5a4D42 аз.2DD,D,D4:D5з2Dз a 2 D2 - а 1 -а1 - а2 , D4 аз Dз - a i a 2 -а 1 а з - а2 аз - а1а 2 .D5 -а1аза4 - а 2аз а4 - aia2a4 - а1а 2 аз -а 1 а2 аза4a м е 'Чан.

и е.ai==•Dп + 1а2 -a1a2 (.l.. 1 1 )1 , D4 а1 1 а2 аз (.l..-а1а2 . . . ап ().Dп -а 1 а2 . . . ап - 1aiDз -а1 Dп + 1 -D2=-1-).a 1t -- -а1а2 . . . ап ( - + - + " . + -1 ) .1а11а2а71По поводу случая, когда среди есть равные нулю, см . замечание врешении примера 7.2. •Особенно удобен метод рекуррентных соотношений для вычисления оп­ределителейт.е. матриц видао оооооооооооотрехдиагона.лън'ЫХ матри'Ц,a l аЬ1 ЬС1 С2 а2з Ьз2. . . .

.о о о оan -22 аЬп-21 Ьпо-1о о о оCnо- Спп - 1 апо о о оДля определителей Dn трехдиагональной матрицы имеет место простоерекуррентное соотношение(7 . 3 )которое может быть получено разложением определителя по послед­нему столбцу (строке) с последующим разложением алгебраического дополнения к bn1 ) по последней строке (столбцу) ._1 ( Сп -59§ 7. Вы числение определителяП р и м е р 7.4. Вычислить определитель2 1 о12оооо о о21оDп =21Р е ш е н и е.

Согласно (7.3) имеем Dn = 2Dn - 1 - Dn- , п > 2. Найдемнесколько определителей низших порядков: D 1 == 2, D == 3, D3 = 2 D2 - D1 =6 - 2 4. Естественно предположить, что Dп = п + 1 . Это 'предположениелегко доказать методом математической индукции(если Dk = k + 1 , Vk < п,+ТО D n = 2Dn - 1 - Dn - 2 = 2п - ( п - 1 ) = n1). •Не всегда удается по значениям D1 , D2 , Dз и т.д. установить закономер­ность и выяснить вид общего выражения для определителя произвольногопорядка п.

Однако , если рекуррентное соотношение имеет вид+qDn - , n > 3,(7.4)Dn = p Dn - 12 2==2где р и q - постоянные коэффициенты (не зависящие от п ) , то вычислениеопределителя Dn можно свести к вычислению общего члена одной или двухгеометрических прогрессий.Перепишем (7.4) в видеDn - G.Dn- 1 = {З ( Dn - 1 - D - 2 ) ,D n - {ЗDп - 1 = a ( Dn - 1 - {ЗDп - 2 ) ,йп(7.5)где а + {3 = р, а{З == - q , т.е. а и {3 - корни уравнения х 2 - рх - q = О .Очевидно, формулы (7.5) описывают геометрическую прогрессию.Пусть а i= {3 . Тогда по формуле п-го члена геометрической прогрессиииз равенств (7.5) находим{Dп - о:Dп - 1 =Dп - {ЗDн - 1 =откуда ( решая эту систему) получимп - 2 ( D2 - o: D 1 ) ,Qn - 2 ( D2 - {3 D1 ) ,{3(7.6)гдеС2 = - D2{3 ( -_o: {3D1) .й(7.7)Выражение (7.6) легко запоминается. Оно выводилось для п > 2, нонепосредственно проверяется для п == 1 и п = 2.Формулы (7.7) же не удобны для запоминания , значения и прощенаходить из системы уравнений, определенной начальными условиями:с1 с2Если а = {3 , то два равенства (7.5) сливаются в одноDп - о: D - 1 = а ( Dп - 1 - о:Dп- 2 ) ,пГлава II.60Определителиоткуда по формуле п-го члена геометрической прогрессии получаем(7.8)где константы с 1 и с2 находятся из начальных условийП р и м е р 7.5.

Вычислить определительDп=9 5 о о4 9 5 оо 4 9 5оооо9оооР е ш е н и е. Согласно (7.3) рекуррентное соотношение для этого опреде­лителя таковоDп = 9Dn - 1 - 20Dп -2 , n > 3.По значениям D 1 = 9, D2 6 1 , Dз = 9D 2 - 20D 1 = 369 трудно уловитьзакономерность. Так как рекуррентное соотношение для D n имеет вид (7 . 4) ,применим описанный выше алгоритм. Найдем корни а , {3 уравнения х 2 9х + 20 = О: а = 4, {3 == 5 . По формуле ( 7.6) имеем Dn = с 1 4 n + с2 5 n , где4с 1 + 5с2 = 9,l6c 1 + 25с2 = 6 1 , т.е.

с 1 = -4, с2 = 5 .Таким образом, Dп = 5 n+ l - 4 n + l . •П р и м е р 7.6. Вычислить определитель==·{Dn =2 -12-1оо.-1-...оо12оо-1оо....·ооо2Р е ш е н и е. Согласно (7.3) рекуррентное соотношение для этого опреде­лителя имеет видDn = 2Dп - 1 - Dn - 2 , n > 3.Решая уравнение х 2 - 2х + 1 == О, находим а = {3 = 1 . Следовательно ,+ С2 = 2,Dп = nc 1 + с2 ( в силу ( 7 . 8) ) , где 2сС11 +с2 3, т.е. с 1 = с 2 = 1 .Таким образом, Dn = п + 1 . •Определитель Вандермонда.называ­ется определитель1 Х1 х уХ n1 - 1Х n2 - 1V (x1 , Х 2 , .

. . , Х п ) = 1 Х 2 х �1 X n хn2Х nп - 1{==Определителем Вандермонда..61§ 7. Вы числение определителяПокажем, что он равен произведению всевозможных разностей вида, i > j:(xi - Xj )V (x1, x 2, . . . , хн ) = П (xi - Xj ) .n2:i>j2:1(7.9)Действительно, при п = 2 утверждение очевидно. Пусть оно верно дляопределителей (п - 1 ) -го порядка.

Тогда, вычитая из каждого столбца, на­чиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный наполучаемооо1V(x 1 , X2 , . . . , Xn ) =111Х2 - Х1Х3. -. Х1.Xn - х1Х 222 - Х 1 Х2Х3 - Х1 Х3 .. . . .X n2 - X1Xnх1,ХпХ 1Хn2� -222X� - 1l -- Х1Х. . . .X� l - Х1Х� -2После разложения этого определителя по 1-й строке и вынесения из всехстрок получившегося определителя общих множителейполучим рекуррентное соотношениех 2 - х1, хз - х1, . . . ,Хп - х1 ,V(x1, x2 , .

. . , xn) = (х 2 - х1)(хз - х1) . . . (хн - x1)V(x2 , X3, . . . , xn),откуда с учетом индуктивного предположения следует (7.9) .Полезно произведение (7 . 9) "увидеть " в развернутом виде:- х1)(х4 - х1)V( x1, x 2 , . . . , Xn ) = (х2 - х1)(хз· (хз - х 2 )(х4 - х 2 )( Хп-1 - x1)(x n - х1) ·(хп- 1 - х2 )(хп - х2 )·· ( Хп - Хп- 1).Число множителей в этом произведении равно п ( п - 1 ) / 2, поэтомуV( Х1 , Х 2 , .

. . , Хп ) - ( - l ) п. ( п - 1)/2_Метод выделения линейных множителей. :Метод применяется длявычисления определителя, элементы которого зависят от параметра. Он ос­нован на выполнении элементарных преобразований, формирующих в какой­либо строке (столбце ) матрицы общий множитель вида Л - а (где Л - параметр ) , который выносится за знак определителя.

При этом определитель"освобождается" от параметра и дальнейшее его вычисление упрощается.l\1етод особенно удобен для решения уравнений D(Л) = О, где D(Л) определитель матрицы, зависящий от параметра ..\ . Линейный :множительЛ - а сразу дает корень этого уравнения: Л а .П р и м е р 7 . 7. Решить уравнение1-1-15-Л15 - Л -1-113 - Л - 1 = о.11-1 3 - Л1=Р е ш е н и е. Вычитая из всех строк последнюю, получим4-ЛоЛ-4оо4-ЛоЛ-4оо4 - Л Л - 4 = о.113-Л-1Глава II.62ОпределителиВынесем из первых трех строк общий множитель (Л - 4) , тогда уравнениеперепишется в виде11о -1- о.1о -1о1 -1 3 - Л1-1( Л - 4) 3оооПосле прибавле ния к 47й строке 1-й и 2-й строк и разложения по первымдвум столбцаl\1 получим уравнениеТакиы образом, уравнение имеет единственный корень Л = 4 кратности 4 .

•Представление определителя в виде суммы или произведенияопределителей. 1'1Iетод применяется в тех случаях , когда исходный опреде­литель можно разложить в сумму или произведение определителей, каждыйиз которых легко вычисляется.П р и м е р 7.8. Вычислить определитель1+Хп У 11+Хп У2( свойство 4) и представим определительлей:1 + X n YnР е ш е н и е . Воспользуемся линейностью определителя по 1-му столбпув виде суммы двух определите­Dп1 1+1 1+==11 У2ХХ2У21 + ХпУ2· · · 1 + Х 1 Уп.··...+Х2Уп1 + ХпУn1+DnХ1У1Х2У11+1+Х1У2Х2У21в первом определителе из всех столб­цов, начиная со 2-го, вычтем 1-йстолбец, а во втором определителевоспользуемся линейностью по 2-мустолбцу и т.д.11+ХпУ11ХnУп1УпХХ2УпХпУnХпУ211+ ...

+1+++11Х2Уп+О, так как каждый определитель имеетпропорциональные столбцы ( если > 2 )ХпУпХпУ1и поэтому равен нулю.Итак, D 1 1 + х 1 у 1; D2 = (х1 - х 2 )(у1 - У2 ); Dn О при > 3.=X Yn=п=п•63§ 7. Вы числение определителяDnиз примера 7. 8 может быть представ­П р и ы е р 7.9. Определительлен и как произведение двух определителей11Х1Х20 ... 00 ...

01 Xn 0... 01У1оо1Упо1У2ооочто сразу дает ответ, полученный в предыдущем примере .З АД АЧ ИПрименяя метод Гаусса 1 , вычислить1 1 111113 1 2111 -27. 1 . 1 1 3 1 . 7.2. 1 3 1114 1 31 -47.4 .2 -5 1 2-3 7 - 1 45 -9 2 7-4 6 - 1 -2определители.1о 11 о13.7.3 115 31.3 -9 - 3 -6-5 8 2 77 · 5 · -4 5 3 2-7 8 4 52 -5 4 33 -4 7 5.-4 9 - 8 - 5-3 2 - 5 33 - 3 - 2 -52 5 4 67.6.

5 5 8 74 4 5 67· 7·1 3 5 72 4 6 87.8. 3 5 7 965 74 83 9227 44 4020 64 2 17 · 9 · 13 -20 - 1346 45 - 557. 10.1В386776151212145 6 412 14 1013 9 711 11 81 1 13 93 51 3о 11 о7. 1 1 .55402484о 2 3 о 21 1 2 3 о1 о 1 2 31 о о 1 21 о о о 1ряде случаев целесообразно предварительно уменьшить абсолютнуювеличину элементов матриц элементарными преобразованиями.Глава II. Определители647.

1 2.1111624757. 14. 61868011 1 13 1 21 о 14 1 51 1 1112411312420007 · 16 · 11999999200213.4514204517575030577. 13.196556 . 7 · 15·71701543о о о 2113171165431 1 1 1 12 1 3 1 51 5 1 7 15 1 7 1 111 11 1 13 11 1 1 13 1 1 720031 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3 1 1 142 1 1 1 2 1 12 2 1 1 3 3 1 141998717.· · 3 1 1 1 3 1 12 31 1 3 41 1 41 99841 1 1 4 1 1 2 41 13 6 1 142009Вычислить определители2 , приводя их матрицы к треуголь­ному ВИД)'.1 2 3 4 51 2 3 4 52 1 2 2 25 1 2 3 47. 18.

3 3 1 3 37. 19. 4 5 1 2 34 4 4 1 43 4 5 1 25 5 5 5 12 3 4 5 17.20.200 1200 11999200411171 1 12 3 4о 2 3о о 25 4 44 44 5 4 ... 4 44 4 5 ... 4 44 4 44 4 47.22.2002200020022003п 1 11 п 11 1 п1111117.2 1.5 44 51111 1о 1 11 о 1 ... 1 11 1 о ... 1 111111п 1... 1 п. 7 .23 .111111111-п-п 1о 1... 1 о.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее