Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 11

О пределители58=Таким образом,an Dn + (-l ) n + 2 (- l ) n + l a i a2 . . . an-1·(7.2)Для=Вернемся к примеру. Согласно (7.2) имеем= -1,найдем последовательно определителивычисления===Отсюда=+ ..!..+ ..L)+ _!_( ..L,==а2а4а1�зесли i f:. О, i 1 , 4.3аНетрудно показать, что эта форма записи годится и вслучае , когда среди ai есть равные нулю. В этом случае соответствующаявеличина в ответе отсутствует.Чтобы получить общее выражение для определителя произвольного по­рядка п , поступают следующим образом:а) вычислив несколько определителей низших порядков, устанавливаютзакономерность и находят предполагаемое искомое выражение;б) затем доказывают гипотетический ответ методом математической ин­дукции.В обоих пунктах "а" и "б'' существенно используется рекуррентное соот­ношение.такого же вида, что и вП р и м е р 7.3.

Вычислить определительпримере 7.2, но произвольного ( п + 1 )-го порядка.= -1,Р е ш е н и е. Как было найдено в примере 7.2,_!_..!..==++.Покажем,что+ а2 а з )а1а2а1. ++."+а т•а1а2Тогда в силу (7.2 )Пусть=+".+( ...L+ _!_а2laiаа�D5a4D42 аз.2DD,D,D4:D5з2Dз a 2 D2 - а 1 -а1 - а2 , D4 аз Dз - a i a 2 -а 1 а з - а2 аз - а1а 2 .D5 -а1аза4 - а 2аз а4 - aia2a4 - а1а 2 аз -а 1 а2 аза4a м е 'Чан.

и е.ai==•Dп + 1а2 -a1a2 (.l.. 1 1 )1 , D4 а1 1 а2 аз (.l..-а1а2 . . . ап ().Dп -а 1 а2 . . . ап - 1aiDз -а1 Dп + 1 -D2=-1-).a 1t -- -а1а2 . . . ап ( - + - + " . + -1 ) .1а11а2а71По поводу случая, когда среди есть равные нулю, см . замечание врешении примера 7.2. •Особенно удобен метод рекуррентных соотношений для вычисления оп­ределителейт.е. матриц видао оооооооооооотрехдиагона.лън'ЫХ матри'Ц,a l аЬ1 ЬС1 С2 а2з Ьз2. . . .

.о о о оan -22 аЬп-21 Ьпо-1о о о оCnо- Спп - 1 апо о о оДля определителей Dn трехдиагональной матрицы имеет место простоерекуррентное соотношение(7 . 3 )которое может быть получено разложением определителя по послед­нему столбцу (строке) с последующим разложением алгебраического дополнения к bn1 ) по последней строке (столбцу) ._1 ( Сп -59§ 7. Вы числение определителяП р и м е р 7.4. Вычислить определитель2 1 о12оооо о о21оDп =21Р е ш е н и е.

Согласно (7.3) имеем Dn = 2Dn - 1 - Dn- , п > 2. Найдемнесколько определителей низших порядков: D 1 == 2, D == 3, D3 = 2 D2 - D1 =6 - 2 4. Естественно предположить, что Dп = п + 1 . Это 'предположениелегко доказать методом математической индукции(если Dk = k + 1 , Vk < п,+ТО D n = 2Dn - 1 - Dn - 2 = 2п - ( п - 1 ) = n1). •Не всегда удается по значениям D1 , D2 , Dз и т.д. установить закономер­ность и выяснить вид общего выражения для определителя произвольногопорядка п.

Однако , если рекуррентное соотношение имеет вид+qDn - , n > 3,(7.4)Dn = p Dn - 12 2==2где р и q - постоянные коэффициенты (не зависящие от п ) , то вычислениеопределителя Dn можно свести к вычислению общего члена одной или двухгеометрических прогрессий.Перепишем (7.4) в видеDn - G.Dn- 1 = {З ( Dn - 1 - D - 2 ) ,D n - {ЗDп - 1 = a ( Dn - 1 - {ЗDп - 2 ) ,йп(7.5)где а + {3 = р, а{З == - q , т.е. а и {3 - корни уравнения х 2 - рх - q = О .Очевидно, формулы (7.5) описывают геометрическую прогрессию.Пусть а i= {3 . Тогда по формуле п-го члена геометрической прогрессиииз равенств (7.5) находим{Dп - о:Dп - 1 =Dп - {ЗDн - 1 =откуда ( решая эту систему) получимп - 2 ( D2 - o: D 1 ) ,Qn - 2 ( D2 - {3 D1 ) ,{3(7.6)гдеС2 = - D2{3 ( -_o: {3D1) .й(7.7)Выражение (7.6) легко запоминается. Оно выводилось для п > 2, нонепосредственно проверяется для п == 1 и п = 2.Формулы (7.7) же не удобны для запоминания , значения и прощенаходить из системы уравнений, определенной начальными условиями:с1 с2Если а = {3 , то два равенства (7.5) сливаются в одноDп - о: D - 1 = а ( Dп - 1 - о:Dп- 2 ) ,пГлава II.60Определителиоткуда по формуле п-го члена геометрической прогрессии получаем(7.8)где константы с 1 и с2 находятся из начальных условийП р и м е р 7.5.

Вычислить определительDп=9 5 о о4 9 5 оо 4 9 5оооо9оооР е ш е н и е. Согласно (7.3) рекуррентное соотношение для этого опреде­лителя таковоDп = 9Dn - 1 - 20Dп -2 , n > 3.По значениям D 1 = 9, D2 6 1 , Dз = 9D 2 - 20D 1 = 369 трудно уловитьзакономерность. Так как рекуррентное соотношение для D n имеет вид (7 . 4) ,применим описанный выше алгоритм. Найдем корни а , {3 уравнения х 2 9х + 20 = О: а = 4, {3 == 5 . По формуле ( 7.6) имеем Dn = с 1 4 n + с2 5 n , где4с 1 + 5с2 = 9,l6c 1 + 25с2 = 6 1 , т.е.

с 1 = -4, с2 = 5 .Таким образом, Dп = 5 n+ l - 4 n + l . •П р и м е р 7.6. Вычислить определитель==·{Dn =2 -12-1оо.-1-...оо12оо-1оо....·ооо2Р е ш е н и е. Согласно (7.3) рекуррентное соотношение для этого опреде­лителя имеет видDn = 2Dп - 1 - Dn - 2 , n > 3.Решая уравнение х 2 - 2х + 1 == О, находим а = {3 = 1 . Следовательно ,+ С2 = 2,Dп = nc 1 + с2 ( в силу ( 7 . 8) ) , где 2сС11 +с2 3, т.е. с 1 = с 2 = 1 .Таким образом, Dn = п + 1 . •Определитель Вандермонда.называ­ется определитель1 Х1 х уХ n1 - 1Х n2 - 1V (x1 , Х 2 , .

. . , Х п ) = 1 Х 2 х �1 X n хn2Х nп - 1{==Определителем Вандермонда..61§ 7. Вы числение определителяПокажем, что он равен произведению всевозможных разностей вида, i > j:(xi - Xj )V (x1, x 2, . . . , хн ) = П (xi - Xj ) .n2:i>j2:1(7.9)Действительно, при п = 2 утверждение очевидно. Пусть оно верно дляопределителей (п - 1 ) -го порядка.

Тогда, вычитая из каждого столбца, на­чиная с последнего, предыдущий столбец, умноженный наполучаемооо1V(x 1 , X2 , . . . , Xn ) =111Х2 - Х1Х3. -. Х1.Xn - х1Х 222 - Х 1 Х2Х3 - Х1 Х3 .. . . .X n2 - X1Xnх1,ХпХ 1Хn2� -222X� - 1l -- Х1Х. . . .X� l - Х1Х� -2После разложения этого определителя по 1-й строке и вынесения из всехстрок получившегося определителя общих множителейполучим рекуррентное соотношениех 2 - х1, хз - х1, . . . ,Хп - х1 ,V(x1, x2 , .

. . , xn) = (х 2 - х1)(хз - х1) . . . (хн - x1)V(x2 , X3, . . . , xn),откуда с учетом индуктивного предположения следует (7.9) .Полезно произведение (7 . 9) "увидеть " в развернутом виде:- х1)(х4 - х1)V( x1, x 2 , . . . , Xn ) = (х2 - х1)(хз· (хз - х 2 )(х4 - х 2 )( Хп-1 - x1)(x n - х1) ·(хп- 1 - х2 )(хп - х2 )·· ( Хп - Хп- 1).Число множителей в этом произведении равно п ( п - 1 ) / 2, поэтомуV( Х1 , Х 2 , .

. . , Хп ) - ( - l ) п. ( п - 1)/2_Метод выделения линейных множителей. :Метод применяется длявычисления определителя, элементы которого зависят от параметра. Он ос­нован на выполнении элементарных преобразований, формирующих в какой­либо строке (столбце ) матрицы общий множитель вида Л - а (где Л - параметр ) , который выносится за знак определителя.

При этом определитель"освобождается" от параметра и дальнейшее его вычисление упрощается.l\1етод особенно удобен для решения уравнений D(Л) = О, где D(Л) определитель матрицы, зависящий от параметра ..\ . Линейный :множительЛ - а сразу дает корень этого уравнения: Л а .П р и м е р 7 . 7. Решить уравнение1-1-15-Л15 - Л -1-113 - Л - 1 = о.11-1 3 - Л1=Р е ш е н и е. Вычитая из всех строк последнюю, получим4-ЛоЛ-4оо4-ЛоЛ-4оо4 - Л Л - 4 = о.113-Л-1Глава II.62ОпределителиВынесем из первых трех строк общий множитель (Л - 4) , тогда уравнениеперепишется в виде11о -1- о.1о -1о1 -1 3 - Л1-1( Л - 4) 3оооПосле прибавле ния к 47й строке 1-й и 2-й строк и разложения по первымдвум столбцаl\1 получим уравнениеТакиы образом, уравнение имеет единственный корень Л = 4 кратности 4 .

•Представление определителя в виде суммы или произведенияопределителей. 1'1Iетод применяется в тех случаях , когда исходный опреде­литель можно разложить в сумму или произведение определителей, каждыйиз которых легко вычисляется.П р и м е р 7.8. Вычислить определитель1+Хп У 11+Хп У2( свойство 4) и представим определительлей:1 + X n YnР е ш е н и е . Воспользуемся линейностью определителя по 1-му столбпув виде суммы двух определите­Dп1 1+1 1+==11 У2ХХ2У21 + ХпУ2· · · 1 + Х 1 Уп.··...+Х2Уп1 + ХпУn1+DnХ1У1Х2У11+1+Х1У2Х2У21в первом определителе из всех столб­цов, начиная со 2-го, вычтем 1-йстолбец, а во втором определителевоспользуемся линейностью по 2-мустолбцу и т.д.11+ХпУ11ХnУп1УпХХ2УпХпУnХпУ211+ ...

+1+++11Х2Уп+О, так как каждый определитель имеетпропорциональные столбцы ( если > 2 )ХпУпХпУ1и поэтому равен нулю.Итак, D 1 1 + х 1 у 1; D2 = (х1 - х 2 )(у1 - У2 ); Dn О при > 3.=X Yn=п=п•63§ 7. Вы числение определителяDnиз примера 7. 8 может быть представ­П р и ы е р 7.9. Определительлен и как произведение двух определителей11Х1Х20 ... 00 ...

01 Xn 0... 01У1оо1Упо1У2ооочто сразу дает ответ, полученный в предыдущем примере .З АД АЧ ИПрименяя метод Гаусса 1 , вычислить1 1 111113 1 2111 -27. 1 . 1 1 3 1 . 7.2. 1 3 1114 1 31 -47.4 .2 -5 1 2-3 7 - 1 45 -9 2 7-4 6 - 1 -2определители.1о 11 о13.7.3 115 31.3 -9 - 3 -6-5 8 2 77 · 5 · -4 5 3 2-7 8 4 52 -5 4 33 -4 7 5.-4 9 - 8 - 5-3 2 - 5 33 - 3 - 2 -52 5 4 67.6.

5 5 8 74 4 5 67· 7·1 3 5 72 4 6 87.8. 3 5 7 965 74 83 9227 44 4020 64 2 17 · 9 · 13 -20 - 1346 45 - 557. 10.1В386776151212145 6 412 14 1013 9 711 11 81 1 13 93 51 3о 11 о7. 1 1 .55402484о 2 3 о 21 1 2 3 о1 о 1 2 31 о о 1 21 о о о 1ряде случаев целесообразно предварительно уменьшить абсолютнуювеличину элементов матриц элементарными преобразованиями.Глава II. Определители647.

1 2.1111624757. 14. 61868011 1 13 1 21 о 14 1 51 1 1112411312420007 · 16 · 11999999200213.4514204517575030577. 13.196556 . 7 · 15·71701543о о о 2113171165431 1 1 1 12 1 3 1 51 5 1 7 15 1 7 1 111 11 1 13 11 1 1 13 1 1 720031 1 1 1 1 1 12 1 1 1 3 1 1 142 1 1 1 2 1 12 2 1 1 3 3 1 141998717.· · 3 1 1 1 3 1 12 31 1 3 41 1 41 99841 1 1 4 1 1 2 41 13 6 1 142009Вычислить определители2 , приводя их матрицы к треуголь­ному ВИД)'.1 2 3 4 51 2 3 4 52 1 2 2 25 1 2 3 47. 18.

3 3 1 3 37. 19. 4 5 1 2 34 4 4 1 43 4 5 1 25 5 5 5 12 3 4 5 17.20.200 1200 11999200411171 1 12 3 4о 2 3о о 25 4 44 44 5 4 ... 4 44 4 5 ... 4 44 4 44 4 47.22.2002200020022003п 1 11 п 11 1 п1111117.2 1.5 44 51111 1о 1 11 о 1 ... 1 11 1 о ... 1 111111п 1... 1 п. 7 .23 .111111111-п-п 1о 1... 1 о.