Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 14

Тогда требуется найти матрицу В такую,что АВ == I (из теоремы 9.3 следует, что В == А l ) . Переведем эту задачуна язык элементарных преобразований. Имеем I == I ( АВ) = ( 1А ) В. Мат­рица 1 А получена из единичной матрицы 1 элементарным преобразованиемстолбцов, следовательно, матрица В должна "восстановить" матрицу J . Т.е. ,==-Глава II.88Определителиесли А = Pij , то матрица В должна еще раз ''переставить" i-й и j-й столбцыи, тем самым,(9.4)Pij 1 Pij ;если А = Lij , то матрица В должна из i-го столбца / А "вычесть" j-й столбец,умноженный на f3 и, тем самым,1=L-:-!J.

1=1о1-{31i(9 . 5)ij11jесли А = Di , то матрица В должна )'разделить') i-й столбец I А на а и11D� 1 ='1.1 /а1•(9 6 ).•1Некоторые свойства обратной матрицы.1 . 1 - 1 = /.2. 1 л - 1 1 = 1/IA I .3. (А - 1 ) - 1 == А .4. (А т ) - 1 = (А - 1 ) т .5 . (А в ) - 1 = в- 1 л - 1 .Т е о р е м а 9.4.элементар­ПроизвольнаяневЪtрожденнаяматрицанuмипреобразованиямитолъкоице .строк (только столбцов) может бытъприведенак едини-ч,ной матрП р и м е р 9.3.

Пользуясь элементарными преобразованиями строк, при­вести к единичной матрице сле,пуюшую матрицуА=[ 2� i 1 ] .} -+ [ ] -+ {}�[3 6Р е ш е н и е. Приведем сначала матрицу А к треугольному виду, а затеманнулируем все элементы над главной диагональю:А{--+вычтем из 2-й строки 1-юстроку, а из 3-й строкиудвоенную 1-ю строку2 ] �{-1О131О -1 3О -1 412 1вычтем из 1-й строки 3-юстроку, а из 2-и строкиутроенную 3-ю строку... } --+вычтем из 3-истроки 2-юОО12-1О§9 . Обратная матрица-+{1-прибавим кй строкеудвоеную 2-ю строку иумножим 2-ю строку на - 189}-+1.•Для nолу-ч,ения обратной матри'Ц'Ьl достато'ЧНО строкам едини'Чнойматри'Ц'Ьt1 применитъ те преобразования, которЪtе приводят матричу Ак[Aед1mи'Чнойматриче.

Для этого удобно составить расширенную матрипуI I] и над строками этой матрицы выполнить те преобразования, которыекматрипу А приводят к единичной ; тогда на :месте матрицыратная матрица л - 1 . Итак,Апреобразованиястрок�Iл-1IАналогично в столбцовом варианте1 � 1·п реобразова ниястолбцов�1окажется об-1·( 9.7 )(9. 8 )А 1Этот метод вычисления обратной матрицы называетсяилиЕсли в расширенных матрицах (9.7) и (9.8) на место единичной матрицы- 1 получим в первом случае1 поставить матрипу В , то вместо матрицы л1матрицу л - в , а во втором вл - 1 :данаметодом Гаусса-Жордана.методом Жор­-Ап реобразованиястрок�вrn1преобразованиястолбцов1�л- 1 в�в -11·1,П р и м е р 9 .4. Применяя метод Гаусса-Жордана, найти обратную мат­рипу к матрице, заданной в примере 9.3.Р е ш е н и е. Применим все преобразования, выполненные в решении при­мера 9.3, к расширенной матрице [А\ /] :[ i i � б � g]1 [ б J � -i � gl ] [ 010 -i � - i � gl ][ g -! � J J =� ] [ g � � =� =1 -�] .[ -� � ] .2 3 6 о о-+о - 1 4 -2 о�-+о 1 -1 -1�Таким образом,л- 1==-19 -7-4-1.-+90Глава II.

Определители]П р и м е р 9 . 5. Найти матрицу Х, удовлетворяющую равенству АХ = В,если11 -2о1 -1В=А=41-1 -2[6[�'Р е ш е н и е. Так как матрицы А и В квадратные, то Х = Аразуем расширенную матрицу:1 1 -2 о1 1 -2 о 1 13крибавим�;---+---+О 1 -1 11 -1 1 О 1Ои строке l- ю-1 -2 4 1 1 ОО -12 1[{}прибавим кстроке ---+3-й2-ю1 1 о 4 5---+О 1 О 3 2О О 1 2 2Таким образом,[[]{.1 1 -2 О 1 1О 1 -1 1 О 11 2 2 2О О]532---+{] {}[-1В.

Преоб­1 1о- 12 1]прибавим ко 2-й строке---+3-ю, а к 1-й строке удвоенную 3-ю строкувы чтем из 1-й ---+ О1 о1 оО 31 32 32 .строки 2-юО О 1 2 2 2[}]}---+---+П р и м е р 9.6. Найти матрицу Х, удовлетворяющую равенству ХА = Вдля матриц А и В, заданных в примере 9 . 5 .Р е ш е н и е. Так как матрицы А и В квадратные, то Х = вл - 1 . Преоб­разуем расширенную матрицу:1 о о1 1 -2о 1 -1о 1 -1из 2-го столбца- 1 -2 4 ---+ вычтем1 - 1 2 ---+---+1-йак3-муприбавим,о 1 1о 1 1удвоенный 1-й столбец1 о 11 -1 31 1 о1 о 2}{{прибавим к3- � у столбцу2-и}о1-1 -11о1 -11 о1о---+Таким образом,х=оо1222[�---+{прибавим к1-му и 2-мустолбцам 3-й3 21 22 2].}---+1 о оо 1 оо о 12 3 23 1 23 2 2•ЗАД АЧИ9 . 1 . Привести пример необратимых матриц А и В ,рых АВ = ! .длякото­§9 .91Обратная матрицаПользуясь присоединенной матрицей, найти обратные длясле,цующих матриц.-Ь2 + Ь2 =/= О .5 . 9.

З . c ?s а - sin а78- 69 . 4. аg. 2 .аs1n a cos аЬ а-[] []9 . 5 . [ J � i ] . 9 . 6. [ i - i1 2 11-19 . 7..-i[ 6 � � ] . [ � =� � ]59 .8.о 41о-1о9.9.-1 -11 -11 1-1 29. 11.2 5о о1[].]'1 -5 -41 -1119 . 10.1оо-1о1 о1 оо9.12.о2 о1о 21ооооо1о1 -2о-1о21 -1оо о -1о 11 оо 22 о9 . 1 3 . Доказать, что А А = АА = I A I I.9 . 14 . Доказать, что для любых квадратных м атриц А и Впорядка п и любого а Е IR справедливы соотношения:а) аА = a n - l А ; б) АТ = Ат;в ) АВ = Б А;г) .Ai = \ А \ п -2 А , если А1 = А.9 . 1 5 . Привести пример квадратной матрицы порядка п, при­соединенная к которой имеет лишь один ненулевой элемент, рас­положенный в заданной позиции (i , j ) .9 .

16. Найти все м атрицы А с неотрицательными элементами,для каждой из которых все элементы обратной матрицы л - 1также неотрицательны.9 . 17. Пусть А и В - невырожденные матрицы одного поряд­ка. Доказать , что матрицы А и В перестановочны тогда и толь­ко тогда, когда перестановочны матрицы в любой из следующихпар:а) А и в - 1 ; б) л - 1 и В ; в) л - 1 и в - 1 ; г) А и в .9 . 18. Как изменится обратная матрица л - 1 , если в исходнойматрице А:·-.......-.......Глава II.92Определителиа) переставить i-ю и j-ю строки;б) i-ю строку умножить на число а , не равное нулю;в) к i-й строке прибавить j-ю, умноженную на число /3,или сделать аналогичные элементарные преобразования столб­цов?9 .

19. Доказать, "{.�то обратная матрица для верхней (нижней)треугольной невырожденной матрицы будет треугольноif матри­цей такого же вида.9 . 20. Доказ ать, что если В = ( bij ) - обратная матрица дляверхней (нижней) треугольной невырожденной матрицы А =( aij ) порядка п , то элементы главной диагонали матрицы В определяются равенствами bii = 1 / a ii , i = 1 , п , а остальные элементынаходятся из следующих рекуррентных соотношений:а) для элементов i-й строки верхней треугольной матрицыbijj- 1=-aj/ L bikakj ,k=ij=i + 1 , п;б) для элементов j-го столбца нижней треугольной м атрицыi- 11bij = - aii L ai k bkj , i = j + 1 , п .k =j9 .

2 1 . Угловъ�.м .минором лk порядка k квадратной матри­цы А Е !Rnx n называется ее главный минор, расположенный встроках и столбцах с номерами 1 , 2 , . . . , k.1 ) Доказать , что если в квадратной матрице А угловые ми­норы Л 1 , Л 2 , . . . , Л n - 1 отличны от нуля , то А может быть раз­ложена в произведение двух треугольных матриц - левой тре­угольной L и правой треугольной R: А = LR. Это представле­ние матрицы А называется ее треуголънъ�.м разложением илиLR-разложением.2) Выяснить, единственно ли треугольное разложение.3) Привести пример квадратной матрицы, не имеющей тре­угольного разложения.4) Доказать , что условие отличия от нуля всех угловых мино­ров Л 1 , Л 2 , . .

. , Л n - 1 · необходимо для существования треуголь­ного разложения невырожденной матрицы А.9 . 22 . Построить треугольное разложение слеД)'ющих матриц:§9 .а)Обратная матрица[1 1]22;[6)232 343 4 61] [;в)1 -4 31 -5 22-3 1]93;1111г)1 1 11 2 21 1 21 2 39 . 23 . Доказать, что квадратную матрицу с помощью элемен­тарных преобразований только строк (только столбцов) можнопривести к единичной матрице тогда и только тогда, когда онаневырождена.9 . 24. Доказать, что всякую невырожденную матрицу можноразложить в произведение матриц элементарных преобразова­ний.9 . 25 .

Разложить указанные матрицы в произведение матрицэлементарных преобразований:а)[� �];6)[� � � ] [ : : � ].;в)Применяя метод Гаусса-Жордана , найти обратные для сле­дующих матриц.9 . 26.9 . 29.9.31.9 . 33 .[:ооо11111о1о125 -6]2[ �]79 . 27. 3 9-43 о1 5оо -1о -1о9 . 30 .1ооооо1111 -1 -19 . 32.1 -1-1-1 -111 о 1оо 1 о-19.34.1 о о-1о о о-1.9 .

28...[� �]2-2121 -3о21 -3ооо1 -3оо о1о оо 1о о -1 2о 1 -2 3- 1 2 -3 411 11 1о-1о 1-1 -1 оГлава II.94ОпределителиНайти обратные для следующих матриц 1 1 .а1 О . . . ОО а2 . . . О й9 . 35 .i f= О , i = 1 , п .,йпо о ...9 . 36.О . . .

О . а1О . . . а2 О. о оо о1 1 оо 1 1 ... о оо о 1 . о ойп9 . 37.' йi f= о , i.=1 , п....о о о . . 1 1о о о ... о 1л 1 оо оо л 1 .. о оо о л ... о о9 . 38..1 -1 оо 1 -1о о 1. . . . . . .о о оо о о000о о о.... .9.41 .1 2 3о 1 2. . . . . .о о оо о о9 . 42 .1 1 1о 1 1 ...о о 1 .... . . .

. . .о о оо о о ...' л f= о. 9 .40.о о олп... п-1п-2 п-1. . .. . . . . . . . . . . .12о1...1 11 11 1. . .1 1о 1. . . . . . .. . . 1 -11... о000Л l. о9 .43 .1 1 11 о 11 1 о..ооо1 о оо оа 1 О ... О ОО а 1 ... О О.9 . 39 .ооо... .1 о... а 1111..1 1 1 ... оВсюду, где по виду матрицы нельзя узнать ее порядок, предполагается,что порядок равен п .11§9.95Обратная м атрицао9 . 44.n-1 n-2п-1ооn-2оо.

. . .321.о1о.1оо. . . .. .3 2 1о 1 о1 о о. . . . . .о о о. . .о о о... о о о9 .45 . Найти обратную к матрице определителя из задачи5. 59а.9 .46. Доказать , что для невырожденной матрицыА=ооо... оо. . . а2 'п - 1ап - 1 ' п - 1 a n - l ' n. . . ап ' n- 1обратная матрицав = л-1Ь1 1Ь2 1В=имеет вид. . Ь 1 ,п - 1 Ь 1п. . .Ь2 ' п - 1 о. . . ..Ь 12Ь 22.оЬп - 1 ,1 Ьп - 1 ' 2о... оЬп1. ..оо9 .4 7 .

Вычислить произведения А - 1 В и В л - 1 , еслиА=[о 1 32 3 53 5 7],[� ; J] [� � �].[ -� -� j ] [ � -� -� ] .Решить матричные уравнения.9 .48.9 .49 .о -2х5х=о 1о96Глава II.9.50.9.51.9 . 52.9 . 53.9 . 54.[2 2 ]х 2 2 22 = [ _21 ] ·[ -1; -i2 -�2 ] х = [ � � ] ·�[� �Jx[j j ] =[-1-1-1Определители555 8о_g14 ] .-8 -4-121 1 1о 1 1о о 11 11 11 1оо1оо1о111...........о оо о1 11 1о 1Х=11111...........о о о ... 1 1о о о ... о 1Х=1 а ао 1 ао о 1-6а аа аа а...........1о о оо о о1 о о1 1 о1 1 1о 1о оо оо о111 о1 1.....1 11 1а9 . 55.

Доказать, что любую невырожденную матрицу можносделать вырожденной, изменив в ней ровно один элемент.9 .56. Доказать, что матрица, обратная к симметрической не­вырожденной матрице, также является симметрической.9 . 57. Доказать , что матрица, обратная к кососимметриче­ской невырожденной матрице, также является кососимметриче­ской.9 .

58. Доказать , что матрица, обратная к ортогональной мат­рице, также является ортогональной.9 . 59 . Доказать, что матрица, обратная к матрице перестано­вок, сама является некоторой матрицей перестановок.9 .60. Доказать , что матрица, обратная к периодической мат­рице А , также является периодической матрицей, причем ее пе­риод совпадает с периодом А.9.61 . 1 2 Найти все периодические матрицы второго порядка,1 2 См.