Том 1 (Г.Д. Ким, Л.В. Крицков - Алгебра и аналитическая геометрия (теоремы и задачи) (PDF)), страница 8

Пусть в перестановке из первых п натуральных чиселимеется k инверсий. Доказать , что ее можно привести к нату­ральной , используя не более, чем k транспозиций.4. 13. Определить четность перестановки букв в слове анкор,если за исходное принять их расположение в словах:1) крона; 2 ) норка; 3) коран.1,5,5,5,5,- 1 , 6, 9 , .

. .6,,. . . , 5,, 1,6, 9,- 1,, 6,41§5. Простейшие свойства определителя§5 .Про стей ш ие свойства определителяОпределителем ( детерминантом) квадратной матрицы А = ( aij ) п -гопорядка называется сумма всевозможных произведений a i a: 1 а2а: 2а n а:п..•элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столб­ца, причем если сомножители в этом произведении упорядочены в порядкевозрастания номеров строк, то оно берется со знаком ( - l ) o-( a: i ,0:2 , , a: n ) .Для обозначения определителя приняты символы I A I , det А .

Итак,. . .ана2 1ai2а22a inа2пап 1ап2a nnLа: = ( а: 1 , а: 2 , . " ,а: " )( - l ) u ( a: ) a i a: 1 а2а:2. . . а n а:п '(5. 1 )где суммирование ведется по всевозможным перестановкам (а i , а 2 , . . . , й п )из чисел 1 , 2, . . . , п.Каждое произведение в сумме ( 5 . 1 ) называется 'Членом определ ителя, ачисло ( - l ) и( а: ) его знаком.Из свойств перестановки следует, что число всевозможных членов опре­делителя п-го порядка равно п! и что при п > 2 число положительныхчленов равно числу отрицательных и равно п! /2.П р и м е р 5. 1 .

Показать, что определитель треугольной матрицы равенпроизведению диагональных элементов.Р е ш е н и е. Рассмотрим случай верхней треугольной матрицы-анА=ооооа�за 2за ззai na2 nаз пооannai 2а22•Переберем все возможные нетривиальные члены det А. Из 1-го столбцав такой член может войти только a i 1 , так как остальные элементы 1-гостолбца равны нулю. Вместе с а 1 1 в одно произведение с ним не можетвойти ни один другой элемент 1-й строки, поэтому из 2-го столбца вместе са 1 1 !\Южет быть взят только элемент а22 .

Теперь уже вместе с а н а 2 2 не можетвойти в одно произведение ни один другой элемент первых двух строк, такчто из 3-го столб ца вместе с а н а 22 может быть взят только аз з , и т.д. Такимобразом,I A I = ( - l ) u ( l , 2 , · · • i n ) aн a 22 . . . a nn , т.е. I A I = а н а 22 . . . ann • •П р и м е р 5.2.

Найти i и k такие, что произведение аз 2 аiз а4 1 а 1 4 а в5 а kбвходит в определитель 6-го порядка со знаком плюс.Р е ш е н и е. Возможны два случая: i = 2 , k = 5 и i = 5, k = 2. В первомслучае данное произведение после упорядочения сомножителей в порядкавозрастания номеров строк совпадает с произведением а �4 а2 з а з 2 а4 1 а 5в а в5 ,при этом а ( 4, 3, 2, 1 , 6, 5) = 3 + 2 + 1 + 1 = 7.

Во втором случае переста­новка номеров столбцов будет четной, так как отличается от рассмотреннойперестановки одной транспозицией. Следовательно, i = 5, k = 2. •Свойства определителя. С в о й с т в о 1 . Определителъ кваdрат­ной матри'Ц'Ы не изменяется при ее тrюнспонировании: I A I = I A т l , т. е. в42Глава II. Определителиопределении ( 5 . 1 ) определителя можно nоменятъ ролями строки и столб­'ЦЪt :I A I ==f3 = UЗ1 , . . . ,f3н )С в о й с т в о 2. Ее.ли одна из строк (столбцов) матрицъt 'Целикомсостоит из нулей, то ее оnределителъ равен нулю.С в о й с т в о 3.

При умножении строки (столбца) матри'ЦЪL на'Число ее определителъ умножается на это 'Ч'l.tс.ло.С в о й с т в о 4 . Ее.ли каждъtй элемент некоторой строки мат­рицъt представлен в виде суммъt двух слагаемъ�х:aik == Ьk + Ck , k == 1 , п,то определителъ матри'Ц'ЬL можно представитъ в внде суммы двух опре­делителей:Ь ' + с'Ь'+с'а�где Ь' == ( Ь1 , Ь2 , . . . , Ьп ), с' == (с 1 , с2 , . . . , сп ) ·С в о й с т в о 5 . При перестановке местами двух строк {столбчов)матри'Ц'Ьl ее определителъ меняет знак.С в о й с т в о 6. Определителъ матри'Ц'Ьl, имеющей две одинаковъtестроки (столб'Ца), равен нулю.С в о й с т в о 7.

Если одна строка (столбе'Ц) матри'Ц'Ьt .являете.ялинейной комбина'Цией других ее строк (столб'Цов), то определителъ мат­ри'Ц'ЬL равен нулю.С в о й с т в о 8. Ее.ли к какой-либо строке (столбцу) матри'Ц'Ьt при­бавитъ линейную комбина'Цию других ее строк (столб'Цов), то ее определи­телъ не измените.я.П р и м е р 5.3. Пусть А Е IR·n x n , тогда 1 - А\ ( - l )11 I A \ , так как матрица-А может быть получена умножением каждой строки матрицы А на - 1 .sin 2 а sin 2 {3 sin 2 'УП р и м е р 5 .4. cos 2 а cos 2 {3 cos 2 'У == О , так как 3-я строка явля­соs 2а cos 2{3 cos 21ется линейной комбинацией первых двух строк.П р и м е р 5.5. Показать, что определитель кососимметрической матри­цы нечетного порядка равен нулю.Р е ш е н и е.

Так как Ат == А то I A т l == 1 - A I . Отсюда ( Cl\I . свойство 1 ипример 5.3) следует, что I A I == ( - 1 ) 11. I A I . Так как п - нечетно, то \ A I == - \ А / ,т.е. I A I == О . •П р и м е р 5.6. Исследовать, как изменится определитель матрицы , еслик его 1-й строке прибавить все строки.Р е ш е н и е. Прибавление к 1-й строке всех строк, начиная по 2-й, неизменит определителя ( свойство 8) , а прибавление к ней 1-й строки рав­носильно умножению 1-й строки на 2. Согласно свойству 3 определительудвоится .

•=-,43§5 . Простейшие свойства определителяЗАД АЧ ИВычислить определители второго порядка.3 22001 20021935 19655 · 3 · 2035.5· 1 · 8 55 · 2 · 2000 200 12065.5.4.5.7.5.9.:�.loga Ь 1�gп� п 11 logь апа 2 + аЬ + Ь2 а2 - аЬ + Ь25.8. а + Ь а - ЬЬ ·а-Ь а+а-Ьа+Ьcos а cos (3cos a - s1n а5.10.sin а sin (Зs1n a cos а.15.5.5.6.·.5 . 1 1 . Доказать тождество2а Ьх -а+ьуу хВычислить3 25. 1 2 . 2 51 35.15..2оа 2 + ь22ох + у2определители третьего порядка.3с а ОО а+1 1-а45 . 13. а О Ь 5 . 14. 1 - а О а + 12О Ь са+1 1-а Оа Ь сЬ с ас а Ьа Ь сс а ЬЬ с а5 .

16.О а О5. 17. р r qО Ь О5 . 18. Доказать, что если все элементы квадратной м атри­±1,цы 3-го порядка равныто ее определитель является четнымчислом .5. 19. Н айти наибольшее значение, которое может приниматьопределитель 3-го порядка, если все элементы его матрицы рав­ны ± 1 .5 . 20. Н айти наибольшее значение определителя 3-го порядка,если элементы его матрицы равны 1 и О .Пользуясь свойствами определителя , доказать, что следую­щие определители равны нулю.sin2 а 1 cos2 аsin2 а cos 2а cos 2 а5 .

2 1 . sin 2 (3 1 cos 2 (35 . 22 . siп 2 (3 cos 2(3 cos 2 (3 .sin2 т 1 cos2 тsiп 2 1 cos 2 1 cos 2 т.Глава II.44Определители(а + ь) з аз + ьз а + ЬаЬpq . 5 . 24. (а - Ь) з а з - ьз Ь - а .( l + а ь) з 1 + аз ьз l + a bху(ах + а - х ) 2 (ах _ а - х ) 2 15.26. (ЬУ + ь - У ) 2 ( ЬУ - ь- У ) 2 1 .( cz + c- z ) 2 ( cz _ c- z ) 2 1sin a cos a cos(a + д)sin a cos a sin(a + д)5 .

27. siп ,В cos ,В sin(,В + д) . 5.28. sin ,В cos ,В соs(,В + д) .sin 1 cos 1 sin( 1 + д)si11 1 cos т cos( 1 + д)(а + Ь) 2 а 2 + Ь25.23. (р + q ) 2 р2 + q 2( х + у) 2 х 2 + у 2а+Ь с 15 . 25. Ь + с а 1 .с+а Ь 1Пользуясь лишь свойствами определителя, обосновать тож­дества.a i Ь 1 a ix + Ь 1 у + с1a i Ь1 с15 .

29. а 2 Ь2 а 2 х + Ь2 у + с2а 2 Ь 2 с2аз Ьз аз х + Ьз у + сза з Ь з сзa i + Ь 1 х ai - Ь 1 х с1ai Ь 1 с15 . 30. а 2 + Ь2 х а 2 - Ь2 х с2 = -2х а 2 Ь2 с2аз + Ьз х аз - Ьз х сза з Ь з сз1 а Ьс5 . 3 1 . 1 Ь са = (Ь - а) (с - а ) ( с - Ь) .1 с аЬ1 а а25 . 32 . 1 ь ь2 = (Ь - а) (с - а) (с - Ь) .1 с с21 а а21 а Ьс1 ь ь25 . 33 .

1 ь са1 с аЬ1 с с21 1 15 . 34. а ь с == (а + Ь + с) (Ь - а) (с - а) ( с - Ь) .аз ьз сз1 1 15 . 35. а 2 ь 2 с2 = (аЬ + ас + Ьс) (Ь - а) (с - а) (с - Ь) .а з ьз сз1 а а45 .36. 1 ь ь4 = ( а 2 + Ь2 + с 2 +аЬ+ а с + Ьс) ( Ь - а) (с- а) ( с - Ь) .1 с с4---§5.45Простейшие свойства определителя5 . 37.5 . 38.1 а аз1 ь1 с1 а21 ь21 с2ьзсзазьзсз=( а + Ь + с)=1 а а21 ь ь21 с1( аЬ + Ьс + са ) 11с2а а2ь ь2с с25 .

39 . Выяснить , какие из следующих произведений входят вопределители соответствующих порядков, и если да, то с какимизнаками:б ) а � 3 а 41 а 24 а 55 а 2з ;а ) а 3 5 а4 3 а 12 а 54 а 2 1 ;г) а 2з а 51 а 3 5 а4 5 а 12 а 54 ;в ) а з2 а4 3 а 51 а 14 а 25 а 55 ;д ) а з5 а 2 7 а 74 а 51 а 2 5 а 43 а 52 ; е) а з4 а 2 1 а 45 а 73 а 17 а 54 а 52 ;ж ) а 15 а 33 а 7 2 а 2 7 а 51 а 55 а44 ; з ) а 12 а 2 з . .

. ап - 1 ,п ап1 ;к ) a i2 a 21 a 34a4 3 . . . a 2n - 1 , 2n a 2 n , 2n - 1 ·и) а 2 1 а з2 . . . а п,п - 1 а 1п ;5 .40. С каким знаком входит в определитель n-го порядкапроизведение:а) элементов главной диагонали;б) элементов побочной диагонали?5 .41 . Выписать все слагаемые, входящие в определитель 4-гопорядка со знаком плюс и содержащие множителем а з1 .5 .42 . Подобрать i и j такие, что произведениеа зз аi4а 1 2 а41 aj 5входит в определитель 5-го порядка со знаком минус.5 .43.

Подобрать i , j и k такие, что произведениеaзj a 5k a 52 ai4 a41 а 1звходит в определитель 6-го порядка со знаком плюс.5.44. Подобрать i и j такие, что произведениеа41 а 2iа 54 а75 а5j а зз а1 2входит в определитель 7-го порядка со знаком плюс.5 .45 . Подобрать i , j, k и l такие, что произведениеа k6 а4 з a 1z а 12 aij а 21 а5 4входит в определител ь 7-го порядка со знаком минус.5 .46. Дополнить произведение элементов а �з а 2 5 а 34 а4 7 а 55 оп­ределителя 7-го порядка так, чтобы получить член этого опреде­лителя , входящий в него: а) со знаком плюс; б) со знаком минус.5 .47.

Вычислить знак члена определителяаа.1!31 аа.2!32 . . . ао:пfЗп 'зная число инверсий в перестановках а 1 , а 2 , . . . йп и /31 , /32 , . . . fЗп .Глава II.46ОпределителиПользуясь только определением , вычислить о п р еделители.d1 О О аа 3 О 5ь о 12 4 ь2ь5 · 48 · 1 2 3 5 · 49 · 3 с о 5 5 . 50.с 1с5.51.ооооооооdоо4оо3оо2ооо84ооооо 6 3о 4 25 .