algebra (лекции Щетинина), страница 4

Òàêèìîáðàçîì, ãðóïïû Gi ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîäãðóïïû â G.ÇÀÄÀ×À 6.1. Gi åñòü íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G.ÏÐÈÌÅÐ 6.1. Ïóñòü G1 = Zp è G2 = Zq öèêëè÷åñêèå ãðóïïû ïîðÿäêîâ p è q , ïðè÷åì p è q ïðîñòûå ÷èñëà. Òîãäà ãðóïïà17G1 × G2 öèêëè÷åñêàÿ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç a è b îáðàçóþùèå äàííûõ ãðóïï. Òîãäà (ab)pq = e. Åñëè (ab)p = e, òî bp = e.

Èç bq = eñëåäóåò òîãäà, ÷òî b = e, ÷òî íåâåðíî.  ñàìîì äåëå, ââèäó âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñåë p è q ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûå u è v , ÷òîpu + qv = 1 (ñì. òåîð. 2.5. ãë. II). Çíà÷èò, b = bpu+qv = e. Àíàëîãè÷íî, íåâîçìîæíî è ðàâåíñòâî (ab)q = e. Ïîðÿäîê ýëåìåíòàab äåëèò ïîðÿäîê ãðóïïû G = G1 × G2 , ðàâíûé pq è ðàâåí, ñëåäîâàòåëüíî, pq . Çíà÷èò, ãðóïïà G öèêëè÷åñêàÿ.

¤ÇÀÄÀ×À 6.2. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ïðèìåðà 6.1 â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî p è q âçàèìíî ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.ÇÀÄÀ×À 6.3. Ðàññìîòðèì ÷åòâåðíóþ ãðóïïó ÊëåéíàV4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊂ S4 .Äîêàçàòü, ÷òî V4 ∼= Z2 × Z2 .ÇÀÄÀ×À 6.4. Ïóñòü G = G1 × G2 . Äîêàçàòü, ÷òîG/G1 ∼= G2 .(6.1)Åñëè èìååò ìåñòî (6.1), ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî G ∼= G1 × G2 .ÏÐÈÌÅÐ 6.2.

 ñèëó ïðèìåðà 6.1. èìååì Z6 ∼= Z3 × Z2 . Ðàññìîòðèì ãðóïïó G = S3 . Îíà ñîäåðæèò íîðìàëüíóþ ïîäãðóïïóG1 = A3 ∼= Z3 . ßñíî, ÷òî G/G1 ∼= Z2 , â òî âðåìÿ êàê ãðóïïû S3è Z6 íåèçîìîðôíû. ¤ÒÅÎÐÅÌÀ 6.1. Ïóñòü G ãðóïïà, A è B åå íîðìàëüíûåïîäãðóïïû, ïðè÷åì G = AB è A ∩ B = {e}. Òîãäà G ∼= A × B.ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Èç ðàâåíñòâà G = AB ñëåäóåò, ÷òîëþáîé ýëåìåíò g ∈ G çàïèñûâàåòñÿ â âèäå g = ab, ãäå a ∈ A, b ∈−1B . Åñëè ab = a1 b1 , a1 ∈ A, b1 ∈ B , òî a−1∈ A ∩ B.1 a = b1 bÇíà÷èò, a1 = a, b1 = b è çàïèñü g = ab îäíîçíà÷íà. Äàëåå, òàêêàê ïîäãðóïïà B íîðìàëüíà, èìååì[a, b] = ((a−1 b−1 a)b = b0 b ∈ Bè àíàëîãè÷íî [a, b] ∈ A. Òàê êàê A ∩ B = {e}, ýòî çíà÷èò, ÷òîab = ba.Îïðåäåëèì òåïåðü îòîáðàæåíèå f : G → A×B , ïîëàãàÿ f (g) =(a, b) äëÿ ëþáîãî g = ab.

Èìååìf (gg 0 ) = f (aba0 b0 ) = f (aa0 bb0 ) = (aa0 , bb0 ) = (a, b)(a0 , b0 ) = f (g)f (g 0 ),ò. å. f ãîìîìîðôèçì ãðóïï. Åãî ñþðúåêòèâíîñòü î÷åâèäíà, àèíúåêòèâíîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè f (g) = f (ab) = f (e), òîa = e, b = e g = e. ¤18Ãðóïïó G, óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì òåîðåìû 6.1, íàçûâàþò (âíóòðåííèì) ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ñâîèõ ïîäãðóïï A èB , ïðè ýòîì ïèøóò G = A × B .

Âíåøíåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèåG = A × B ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííèì ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ïîäãðóïï A × {e} è {e} × B è ìîæíî íå ðàçëè÷àòü âíóòðåííåå èâíåøíåå ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå.Òåîðåìà 6.1 ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîìíîæèòåëåé.ÒÅÎÐÅÌÀ 6.2. Ïóñòü G ãðóïïà ñ íîðìàëüíûìè ïîäãðóïïàìè G1 , ..., Gn .

G ∼= G1 × ... × Gn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàG ïîðîæäàåòñÿ ïîäãðóïïàìè G1 , ..., Gn , è ïåðåñå÷åíèå êàæäîéïîäãðóïïû Gi ñ ïîäãðóïïîé, ïîðîæäåííîé ïîäãðóïïàìè Gj (j 6= i)ñîñòîèò èç îäíîé åäèíèöû.ÒÅÎÐÅÌÀ 6.3. Ãðóïïà G ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ñâîèõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï G1 , ..., Gn , åñëè êàæäûé ýëåìåíò g ∈ Gäîïóñêàåò, è ïðèòîì îäíîçíà÷íóþ, çàïèñü â âèäå g = g1 ...gn ,ãäå gi ∈ Gi . ¤7. Òåîðåìà î ãîìîìîðôèçìàõÂûøå ìû âèäåëè, ÷òî ÿäðî ãîìîìîðôèçìà åñòü íîðìàëüíàÿïîäãðóïïà. Ñåé÷àñ ìû óñòàíîâèì îáðàùåíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.ÒÅÎÐÅÌÀ 7.1 (î ãîìîìîðôèçìàõ).

Ïóñòü f : G → H ãîìîìîðôèçì ãðóïï ñ ÿäðîì K = Kerf . Òîãäà K íîðìàëüíàÿïîäãðóïïà â G è G/K ∼= f (G). Îáðàòíî, åñëè K íîðìàëüíà âG, òî ñóùåñòâóåò ãðóïïà H (à èìåííî G/H) è ýïèìîðôèçìp : G → H, ÿäðî êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ K .ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ãîìîìîðôèçì f¯ ñî ñâîéñòâîì f¯ ◦ p = f è ýòîò ãîìîìîðôèçì ÿâëÿåòñÿèçîìîðôèçìîì.G =G↓f↓pf¯H ←− G/KÎïðåäåëèì îòîáðàæåíèå f¯ : G/K → H , ïîëàãàÿf¯(gK) = f (g).Ýòî îòîáðàæåíèå êîððåêòíî, òàê êàê åñëè g1 K = g2 K , òî g2−1 g1 ∈K = Kerf è f (g1 ) = f (g2 ).

Ïîñêîëüêóf¯(g1 Kg2 K) = f¯(g1 g2 K) = f (g1 g2 ) = f (g1 )f (g2 ) = f¯(g1 K)f¯(g2 K),19òî f¯ ãîìîìîðôèçì. Íà ñàìîì äåëå f¯ ìîíîìîðôèçì, òàê êàêèç f¯(gK) = e ñëåäóåò f (g) = e è gK = K . Íàêîíåö, ÿñíî, ÷òîf¯(G/K) = f (G).Îáðàòíî, ïóñòü K íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà â G. Îïðåäåëèìîòîáðàæåíèå p : G → G/K , ïîëàãàÿ p(g) = gK .

ßñíî, ÷òî âñåòðåáóåìûå ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ. ¤Ýïèìîðôèçì p íàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ãîìîìîðôèçìîì.ÏÐÈÌÅÐ 7.1. Ïóñòü G = G1 × G2 , Hi ⊆ Gi , i = 1, 2 íîðìàëüíûå ïîäãðóïïû è H = H1 × H2 . Òîãäà H íîðìàëüíà â GèG/H ∼(7.1)= G1 /H1 × G2 /H2 . ñàìîì äåëå, ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèåf : G1 × G2 → G1 /H1 × G2 /H2 ,çàäàííîå ôîðìóëîég(g1 , g2 ) = (g1 H1 , g2 H2 ).Ýòî, î÷åâèäíî, ýïèìîðôèçì è åãî ÿäðî åñòü â òî÷íîñòè H . Çíà÷èò, H íîðìàëüíà è èìååò ìåñòî (7.1). ¤8. Îáðàçóþùèå è îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿÏóñòü Fd ãðóïïà, ïîðîæäåííàÿ d îáðàçóþùèìè f1 , ..., fd .Òîãäà êàæäûé åå ýëåìåíò çàïèñûâàåòñÿ (âîçìîæíî, ìíîãèìè ñïîñîáàìè) â âèäåf = fis11 fis22 ...fiskk ,(8.1)ij ∈ {1, 2, ..., d}, sj ∈ Z, ãäå ij 6= ij+1 .

Ýòî âñåãäà äîñòèãàåòñÿýëåìåíòàðíûìè çàìåíàìè fis fit = fis+t , fi0 = e, fi e = ef+ i = fi .Ãðóïïà Fd íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíîé ãðóïïîé, ïîðîæäåííîé d ñâîáîäíûìè îáðàçóþùèìè, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèåf = e ⇐⇒ s1 = ... = sk = 0.Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòû ñâîáîäíîé ãðóïïû ãðóïïû Fd ýòîñëîâà â àëôàâèòå {f1 , f1−1 , ..., fd , fd−1 }. Íåñîêðàòèìàÿ çàïèñü (8.1)è åãî äëèíà l(f ) = |s1 | + ... + |sk | îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî: âïðîòèâíîì ñëó÷àå ñëîâî e = f f −1 èìåëî áû äëèíó > 0.Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñâîáîäíûå ãðóïïû ñ d îáðàçóþùèìè èçîìîðôíû.20Ïóñòü Fd ñâîáîäíàÿ ãðóïïà ñ d ñâîáîäíûìè îáðàçóþùèìèf1 , ..., fd , S = {wi , i ∈ I} íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî ýëåìåíòîâwi (f1 , ..., fd ) ∈ Fd è K íàèìåíüøàÿ íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà âFd , ñîäåðæàùàÿ S (ïåðåñå÷åíèå âñåõ íîðìàëüíûõ ïîäãðóïï, ñîäåðæàùèõ S ).

Ãîâîðÿò, ÷òî ãðóïïà G çàäàíà d îáðàçóþùèìèa1 , ..., ad è ñîîòíîøåíèÿìèwi (a1 , ..., ad ) = e,i ∈ I,(8.2)åñëè ñóùåñòâóåò ýïèìîðôèçì p : Fd → G ñ ÿäðîì K , òàêîé, ÷òîp(fi ) = ai , 1 ≤ i ≤ d. Ïðè ýòîì ïèøóòG = < a1 , ..., ad | wi (a1 , ..., ad ), i ∈ I > .Íàì ïîíàäîáèòñÿ åùå òàêîå âàæíîå çàìå÷àíèå. Ïóñòü ãðóïïàG çàäàíà òåìè æå îáðàçóþùèìè, ÷òî è ãðóïïà G è â íåé âûïîëíåíû âñå ñîîòíîøåíèÿ (8.2). Òîãäà ñóùåñòâóåò ýïèìîðôèçìãðóïïû G íà ãðóïïó G0 (è ïîòîìó |G0 | ≤ |G|).  ñàìîì äåëå,G0 ∼= Fd /K 0 , ãäå K ⊆ K 0 . Èñêîìûé ýïèìîðôèçì ϕ : Fd → Fd /K 0çàäàåòñÿ ôîðìóëîé0ϕ(f K) = f K 0 ,f ∈ Fd .ÏÐÈÌÅÐ 8.1. Öèêëè÷åñêàÿ ãðóïïà n-ãî ïîðÿäêà:Cn = < a | an = e > . ¤ÏÐÈÌÅÐ 8.2.

ÏóñòüG =< a, b | a2 = b2 = (ab)3 = e >(8.3)Òîãäà a−1 = a, b−1 = b è ãðóïïà G ñîäåðæèò ýëåìåíòû e, a, b,ab, ba, aba. Äðóãèõ ýëåìåíòîâ íåò, òàê êàê bab = aba, abab =ba, baba = ab. Çíà÷èò, ëþáîå ïîäñëîâî èç ÷åòûðåõ áóêâ ìîæíîçàìåíèòü ïîäñëîâîì èç äâóõ áóêâ. Òàêèì îáðàçîì, |G| ≤ 6. Ñäðóãîé ñòîðîíû, â ãðóïïå S3 ñîîòíîøåíèÿ (8.3) âûïîëíåíû (äëÿa = (12), b = (23)) è òåïåðü èç ïðåäûäóùåãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò,÷òî6 = |S3 | ≤ |G| ≤ 6,îòêóäà G ∼= S3 . ¤ÇÀÄÀ×À 8.1. Äîêàçàòü, ÷òî ãðóïïàG = < a, b | a3 = e, ba = ab3 , b7 = e >21èçîìîðôíà öèêëè÷åñêîé ãðóïïå òðåòüåãî ïîðÿäêà.ÏÐÈÌÅÐ 8.3.

Îïèøåì âñå íåàáåëåâû ãðóïïû ïîðÿäêà 8. Ïîðÿäêè íååäèíè÷íûõ ýëåìåíòîâ òàêîé ãðóïïû ìîãóò áûòü ðàâíû2, 4 èëè 8. Åñëè åñòü ýëåìåíò ïîðÿäêà 8, òî ãðóïïà öèêëè÷åñêàÿè ïîòîìó àáåëåâà. Åñëè ïîðÿäêè íååäèíè÷íûõ ýëåìåíòîâ ðàâíû2, òî ãðóïïà àáåëåâà (çàäà÷à 1.10). Èòàê, ïóñòü a ýëåìåíò ïîðÿäêà 2 è H =< a >. Òîãäà H íîðìàëüíàÿ ïîäãðóïïà, òàêêàê åå èíäåêñ ðàâåí äâóì. Ïóñòü b ∈/ H . Ýëåìåíò b−1 ab ∈ Hèìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è a. Ïîýòîìó âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:b−1 ab = a è b−1 ab = a3 .  ïåðâîì ñëó÷àå ãðóïïà G îêàçûâàåòñÿ àáåëåâîé.

Äàëåå, G/H ãðóïïà âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîýòîìób2 ∈< a >, ò. å. b2 = am äëÿ íåêîòîðîãî m, 0 ≤ m ≤ 3. Åñëèm = 1 èëè 3, òî b2 = a èëè b2 = a−1 , ò. å. ãðóïïà îêàçûâàåòñÿöèêëè÷åñêîé, ÷òî íåâåðíî.Èòàê, ãðóïïà G ïîðîæäåíà äâóìÿ ýëåìåíòàìè a è b è â íåéâûïîëíÿþòñÿ ëèáî ñîîòíîøåíèÿëèáîa4 = e,ab = ba3 ,a2 = b2 ,(8.3)a4 = e,ab = ba3 ,b2 = e.(8.4)Ðàññìîòðèì ãðóïïóG1 = < a, b | a4 = e, ab = ba3 , a2 = b2 > . ýòîé ãðóïïå ðàçëè÷íûìè ìîãóò áûòü ëèøü ýëåìåíòûe, a, b, ba, a2 , ba2 , a3 , ba3 . ñàìîì äåëå, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè ïðèïèñàòü ñïðàâàê èëè ñëåâà ê îäíîìó èç ýòèõ ýëåìåíòîâ áóêâó a èëè b, òî ìûñíîâà ïîëó÷èì îäèí èç ýòèõ ýëåìåíòîâ. Íàïðèìåð, ab = ba3 , b2 =a2 , bab = bba3 = a è ò. ä.

(ïðîâåðüòå).Ïóñòü òåïåðü |G| = 8 è â ýòîé ãðóïïå âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ(8.3). Ïî äîêàçàííîìó, 8 = |G| ≤ |G1 | ≤ 8. Çíà÷èò, |G1 | = 8 èG∼= G1 .Àíàëîãè÷íî, ãðóïïà G ïîðÿäêà 8 ñ ñîîòíîøåíèÿìè (8.4), åñëèòàêàÿ ñóùåñòâóåò, èçîìîðôíà ãðóïïåG2 = < a, b | a4 = e, ab = ba3 , b2 = e > .Íàì îñòàåòñÿ ïðåäúÿâèòü ãðóïïû ïîðÿäêà 8, â êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óêàçàííûå ñîîòíîøåíèÿ.22Ðàññìîòðèì â ãðóïïå GL (2, C) ïîäãðóïïó, ïîðîæäåííóþ ìàòðèöàì赶µ¶0 i0 1a=, b=.i 0−1 0Åå ïîðÿäîê ðàâåí 8 (ïðîâåðüòå, âûïèñàâ âñå åå ýëåìåíòû) è âíåé âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (8.3). Ýòà ãðóïïà Q8 íàçûâàåòñÿãðóïïîé êâàòåðíèîíîâ.Âòîðàÿ èç íàøèõ ãðóïï ðåàëèçóåòñÿ êàê ïîäãðóïïà â ãðóïïåS4 , ïîðîæäåííàÿ ïîäñòàíîâêàìè a = (1234) è b = (13) (ïðîâåðüòå).

Ýòà ãðóïïà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç D4 (ñì. ïðèìåð 8.4). Ýòèãðóïïû íåèçîìîðôíû (ïî÷åìó?) ¤ÇÀÄÀ×À 8.2. Íàéòè Z(Q8 ) è [Q8 , Q8 ].ÇÀÄÀ×À 8.3. Äîêàçàòü, ÷òî íåàáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 6 èçîìîðôíà ãðóïïå S3 .ÇÀÄÀ×À 8.4. Äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíà (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) íåàáåëåâà ãðóïïà ïîðÿäêà 10:G = < a, b | a5 = b2 = e,ab = ba4 > .ÇÀÄÀ×À 8.5. Íàéòè âñå íåàáåëåâû ãðóïïû ïîðÿäêà 2p, ãäå p ïðîñòîå, p > 5.ÏÐÈÌÅÐ 8.4. Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèêè åãî ãðóïïó ñèììåòðèé, ò. å.

îðòîãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé,ïåðåâîäÿùèõ ýòîò ìíîãîóãîëüíèê â ñåáÿ. Ýòà ãðóïïà ñîñòîèò èç2πïîâîðîòîâ âîêðóã öåíòðà íà óãîë, êðàòíûéè îòðàæåíèé îòníîñèòåëüíî îñåé ñèììåòðèè ìíîãîóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç2πè ÷åðåç b ëþáîå îòðàæåíèå, ìû âèäèì,a ïîâîðîò íà óãîën÷òî âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿan = e, b2 = e, ab = ban−1 .Äàííàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ ãðóïïîé äèýäðà è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçDn . Åå ïîðÿäîê ðàâåí 2n.