А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 3

После разделения переменных и интегрирования получаем равенствоp3y 2 (t) − t = C. Тогда первым интегралом дифференциального уравнения является уравнениеpΦ(t, y) ≡ 3 y 2 − t = Cв произвольной области, целиком лежащей в R+ или R− .Вообще говоря, уравнение Φ(t, y) = C может обращаться в тождество и на другихфункциях, не являющихся решениями дифференциального уравнения.

Наиболее экономное понятие, дающее решение дифференциального уравнения в неявном виде, связано собщим интегралом, являющимся аналогом общего решения.Определение 1.3.3. Уравнение Φ(t, y) = C называется общим интегралом дифференциального уравнения (1.8) в области D ⊆ R2 , если оно является первым интеграломэтого дифференциального уравнения, и любая непрерывно дифференцируемая функцияy = y(t, C), удовлетворяющая (1.10) (т.е. Φ(t, y(t, C)) ≡ C ) и график которой лежит вD, является также и решением дифференциального уравнения (1.8).√Пример 1.3.3. Для дифференциального уравнения dy/dt = 3 3 y/2 общий интеграл вpпроизвольной области, целиком лежащей в R+ или R− , имеет вид 3 y 2 (t) − t = C.1.4Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалахРассмотрение дифференциальных уравнений первого порядка в разрешенном относительно производной виде dy/dt = f (t, y) вносит определенную несимметричность в переменные t, y, подразумевая, что y есть функция t, y = y(t).

С точки зрения интегральных кривых, представляющих собой графики решений дифференциального уравнения,нет особой разницы в выборе способа параметризации: y = y(t), t = t(y), или, в общемслучае, t = ϕ(τ ), y = ψ(τ ), τ – параметр. Последний способ параметризации кривой позволяет охватить, например, кривые вида t = const, которые не допускаются для решенийy = y(t), но иногда естественным образом могут служить их дополнением при расширенном толковании решения.Пример 1.4.1. Уравнение dy/dt = y/t имеет при t 6= 0 общее решение y = C1 t.Особенность t = 0 исчезает в перевернутом уравнении dt/dy = t/y с общим решениемt = C2 y, однако появляется условие y 6= 0. Если же записать уравнение в симметричномвиде (в дифференциалах)tdy − ydt = 0,тогда обе функции y = 0 и t = 0 являются решениями этого уравнения, которое обобщает предыдущие два уравнения, разрешенные относительно производных.12Глава 1. Основные понятия1.4.1Уравнения в симметричном виде.Дифференциальным уравнением в симметричном виде (или в дифференциалах) называется уравнениеM (t, y)dt + N (t, y)dy = 0.(1.11)Далее считается, что функции M (t, y) и N (t, y) определены и непрерывны в некоторойобласти D ⊆ R2 и подчиняются условию|M (t, y)| + |N (t, y)| > 0,∀(t, y) ∈ D.(1.12)Поскольку в (1.11) переменные входят симметрично, то определение решения естественно дать в параметрическом виде.Определение 1.4.1.

Пара функций t = ϕ(τ ), y = ψ(τ ) называется параметрическимрешением уравнения в симметричном виде (1.11) на отрезке [τ1 , τ2 ], если1. Функции ϕ(τ ), ψ(τ ) непрерывно дифференцируемы на [τ1 , τ2 ] и |ϕ0 (τ )| + |ψ 0 (τ )| >0 ∀τ ∈ [τ1 , τ2 ].2. (ϕ(τ ), ψ(τ )) ∈ D∀τ ∈ [τ1 , τ2 ].3.M (ϕ(τ ), ψ(τ ))ϕ0 (τ ) + N (ϕ(τ ), ψ(τ ))ψ 0 (τ ) = 0,∀τ ∈ [τ1 , τ2 ].(1.13)Определения общего решения и общего интеграла для уравнений в симметричном виде дается аналогично определениям 1.3.1, 1.3.3.

Дадим необходимое для последующегоизложения определение общего интеграла.Определение 1.4.2. Уравнение Φ(t, y) = C называется первым интегралом уравнения (1.11) в области D ⊆ R2 , если для любого параметрического решения t = ϕ(τ ),y = ψ(τ ), интегральная кривая которого лежит в D, найдется константа C0 , чтоΦ(ϕ(τ ), ψ(τ )) = C0 , ∀τ ∈ [τ1 , τ2 ].Первый интеграл называется общим в данной области, если любая непрерывно дифференцируемая пара функций t = ϕ(τ ), y = ψ(τ ), удовлетворяющая Φ(ϕ(τ ), ψ(τ )) ≡ C играфик которой лежит в D, является также и решением дифференциального уравнения(1.11).Из условия 1 в определении параметрического решения вытекает, что либо ϕ0 (τ ) 6= 0,либо ψ 0 (τ ) 6= 0 в окрестности каждой точки τ0 ∈ (τ1 , τ2 ).

Это в свою очередь означает существование одной из обратных функций τ = ϕ−1 (t) либо τ = ψ −1 (y), и, соответственно,возможность представить решение уравнения (1.11) либо в виде y = ψ(ϕ−1 (t)) в окрестности точки t0 = ϕ(τ0 ), либо в виде t = ϕ(ψ −1 (y)) в окрестности точки y0 = ψ(τ0 ).Пример 1.4.2. Уравнение в симметричном виде tdt + ydy = 0 имеет общий интегралt +y 2 = C, C > 0. Интегральные кривые параметрических решений представляют собойдуги окружностей. Если параметрическое решение t = cos τ , y = sin τ рассматриваетсяотрезке τ ∈ [π/4, 3π/4], тогда не существует однозначной функции y = y(t) либо t = t(y),описывающей соответствующую дугу целиком. В тоже время, в окрестности каждойточки рассматриваемой дуги такие представления нетрудно выписать.21.4.

Основные модели, приводящие к ОДУ1.4.213Уравнения в полных дифференциалах.Наиболее просто интегрируются дифференциальные уравнения в симметричном виде,левая часть которых представляет собой полный дифференциал некоторой функции.Определение 1.4.3. Дифференциальное уравнение в симметричном виде (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах в области D, если существует непрерывно(t,y)(t,y)| + | ∂V∂y| > 0, удовлетворяющая равендифференцируемая в D функция V (t, y), | ∂V∂tствам∂V (t, y)∂V (t, y)M (t, y) =, N (t, y) =, ∀(t, y) ∈ D.(1.14)∂t∂yТеорема 1.4.1. Уравнение в полных дифференциалах вида (1.11) имеет в области Dобщий интегралV (t, y) = C.(1.15)Доказательство. Согласно определению общего интеграла 1.4.2 проверим сначала, чтоалгебраическое уравнение (1.15) является первым интегралом. В силу условия 1.14 справедливо равенствоdV (t, y) =∂V (t, y)∂V (t, y)dt +dy = M (t, y)dt + N (t, y)dy,∂t∂y∀(t, y) ∈ D.Рассмотрим параметрическое решение t = ϕ(τ ), y = ψ(τ ) на отрезке [τ1 , τ2 ].

Если воспользоваться инвариантностью формы записи первого дифференциала и вычислить его вточках интегральной кривой, тогда в силу (1.13) имеемd[V (ϕ(τ ), ψ(τ ))] = M (ϕ(τ ), ψ(τ ))ϕ0 (τ ) + N (ϕ(τ ), ψ(τ ))ψ 0 (τ ) = 0,∀τ ∈ [τ1 , τ2 ].Поэтому V (ϕ(τ ), ψ(τ ) ≡ C, т.е. уравнение (1.15) является первым интегралом.Рассмотрим уравнение (1.15) в окрестности произвольной точки (t0 , y0 ) ∈ D и положимC0 = V (t0 , y0 ). Из условия (1.12) и представления (1.14) имеем∂V (t0 , y0 )= M (t0 , y0 ) 6= 0 либо∂t∂V (t0 , y0 )= N (t0 , y0 ) 6= 0.∂yПусть для определенности справедливо второе из выписанных неравенств. Тогда по теореме о неявной функции в некоторой окрестности точки t0 существует единственная непрерывно дифференцируемая функция y = g(t), для которой V (t, g(t)) = C0 в рассматриваемой окрестности.

Если теперь взять дифференциалы левой и правой частей полученногоравенства, тоdC = 0 = dV (t, g(t)) =∂V (t, y)∂V (t, g(t))dt +dg(t) = M (t, g(t))dt + N (t, g(t))g 0 (t)dt,∂t∂yт.е. функция y = g(t) является решением уравнения (1.11).Замечание. Из доказательства теоремы 1.4.1 следует, что через любую точку (t0 , y0 ) ∈D проходит единственная интегральная кривая уравнения в полных дифференциалах(1.11), (1.14).Если ввести векторное поле a(t, y) = (M (t, y), N (t, y)), тогда условие (1.14) будет означать потенциальность этого поля: a(t, y) = gradV (t, y). Потенциальные поля изучаютсяв курсе математического анализа.

Критерий потенциальности векторного поля, или, чтотоже самое, критерий уравнения в полных дифференциалах, дается следующей теоремой,сформулированной в используемых нами обозначениях.14Глава 1. Основные понятияТеорема 1.4.2. Пусть функции M (t, y), N (t, y) и их частные производные непрерывны в односвязной области D. Тогда условие (1.14) выполнено тогда и только тогда, когда∂N (t, y)∂M (t, y)=,∂y∂t∀(t, y) ∈ D.(1.16)По известным M (t, y) и N (t, y), удовлетворяющим условию (1.16), функция V (t, y) вобщем случае находится в виде криволинейного интеграла второго родаZPM dt + N dy,V (t, y) =P = P (t, y),P0 = P0 (t0 , y0 ),P0где интеграл берется по любой гладкой кривой, соединяющей точки P0 , P ∈ D.

В случаепрямоугольника криволинейный интеграл достаточно просто реализуется в виде обычныхинтегралов. Действительно, из равенства M = ∂V /∂t имеемZtM (ξ, y)dξ + v(y).V (t, y) =t0Вычислим производную ∂V /∂t с помощью соотношений (1.16).∂V (t, y)N (t, y) ==∂yZt∂M (ξ, y)dξ + v 0 (y) =∂yt0Zt∂N (ξ, y)dξ + v 0 (y) =∂tt0= N (t, y) − N (t0 , y) + v 0 (y).Отсюда v 0 (y) = N (t0 , y), поэтому v(y) =Ryy0N (t0 , η)dη.

Окончательно получаемZyZtV (t, y) =M (ξ, y)dξ +t01.4.3N (t0 , η)dη.y0Интегрирующий множитель.Определение 1.4.4. Непрерывно дифференцируемая в области D функция µ = µ(t, y) 6=0 называется интегрирующим множителем, если уравнениеµ(t, y)M (t, y)dt + µ(t, y)N (t, y)dy = 0(1.17)является уравнением в полных дифференциалах.Теорема 1.4.3.