А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 16

Начнем с исследования второговопроса. Справедлива следующая теоремаТеорема 3.9.1. Пусть коэффициенты am (t) непрерывны на отрезке [a, b], m = 1, 2, . . . , n.Тогда дифференциальное уравнение (3.68) однозначно определяется фундаментальной системой решений.Доказательство. Пусть yk (t), k = 1, 2, . . . , n фундаментальная система решений уравнения (3.68).

Предположим, что существует другое дифференциальное уравнение n-гопорядка с непрерывными на [a, b] коэффициентами bm (t), m = 1, 2, . . . , n, для которого система yk (t) также является фундаментальной. Покажем, что в этом случае am (t) = bm (t),t ∈ [a, b], m = 1, 2, . . . , n.66Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУДействительно, функции yk (t) являются решениями и того и другого уравнения, тоесть(n)(n−1)yk (t) + a1 (t)yk(t) + · · · + an−1 (t)yk0 (t) + an (t)yk (t) = 0, t ∈ [a, b],и(n)(n−1)yk (t) + b1 (t)yk(t) + · · · + bn−1 (t)yk0 (t) + bn (t)yk (t) = 0,t ∈ [a, b],для k = 1, 2, . . . , n.

Вычитая для каждого k одно равенство из другого получим, что(n−1)(a1 (t) − b1 (t))yk(t) + · · · + (an−1 (t) − bn−1 (t))yk0 (t) + (an (t) − bn (t))yk (t) = 0,для t ∈ [a, b] и k = 1, 2, . . . , n. Предположим, что существует точка t0 ∈ (a, b) такая, чтоa1 (t0 ) 6= b1 (t0 ). Тогда в силу непрерывности функций a1 (t), b1 (t) существует такое ε > 0,что a1 (t) 6= b1 (t) для t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] ⊂ [a, b]. Поделив на a1 (t) − b1 (t) и обозначивpm (t) = (am (t) − bm (t))(a1 (t) − b1 (t))−1 , имеем(n−1)yk(t) + · · · + pn−1 (t)yk0 (t) + pn (t)yk (t) = 0,t ∈ [t0 − ε, t0 + ε],для k = 1, 2, .

. . , n. Таким образом, мы получили, что n линейно независимых функцийyk (t) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения (n − 1)го порядка с непрерывными коэффициентами pm (t). Но из теоремы об общем решениилинейного однородного дифференциального уравнения следует, что уравнение (n − 1)го порядка имеет только n − 1 линейно независимое решение. Полученное противоречиедоказывает что a1 (t) = b1 (t), t ∈ [a, b] .

Доказательство равенства остальных функцийпроводится аналогично. Теорема 3.9.1 доказана.Рассмотрим теперь вопрос о существовании линейного дифференциального уравнения,решением которого являлась бы заданная система функций.Теорема 3.9.2. Пусть n раз непрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b] функции yk (t), k = 1, 2, . .

. , n таковы, что составленный из них определитель Вронского∆(t) = W [y1 , y2 , . . . , yn ](t) не равен нулю ни в одной точке отрезка [a, b], ∆(t) 6= 0. Тогда существует линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка такое ,что функции yk (t), k = 1, 2, . .

. , n являются его фундаментальной системой решений.Доказательство. Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-гопорядка для неизвестной функции y(t) y1 (t)y(t)...y(t)y(t)2n000 y10 (t)y2 (t)...yn (t)y (t) y100 (t)y200 (t)...yn00 (t)y 00 (t) ........(3.69) = 0, t ∈ [a, b]........ (n−1)(n−1)(n−1)(n−1) y1(t)y(t)...y(t)y(t)n2 (n)(n)(n)(n) y (t)y2 (t) .

. . yn (t)y (t) 1Для того чтобы убедиться в том, что уравнение (3.69) действительно представляет собойлинейное дифференциальное уравнение n-го порядка, достаточно разложить определитель по последнему столбцу. Коэффициент при старшей производной y (n) (t) представляетсобой определитель Вронского, составленный из заданных функций yk (t), k = 1, 2, . . .

, n, ипо условию теоремы отличен от нуля на [a, b]. Поделив на этот определитель, мы получимдифференциальное уравнение вида (3.68) с коэффициентами непрерывными на отрезке[a, b]. Все функции yk (t),k = 1, 2, . . . , n являются решениями полученного уравнения, таккак при подстановке функции y(t) = yk (t) в уравнение (3.69) мы имеем слева определительс двумя одинаковыми столбцами. Теорема 3.9.2 доказана.3.9.

Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям67Пример 3.9.1. Составить линейное однородное ОДУ наименьшего порядка, у которого решениями являются функции y1 (t) = t, y2 (t) = exp{t2 }, y3 (t) = t2 и y4 (t) = 3t − 2t2 .Для решения этой задачи прежде всего заметим, что y4 (t) = 3y1 (t) − 2y3 (t), а функцииy1 (t), y2 (t) и y3 (t) имеют отличный от нуля определитель Вронскогоtexp{t2 }t22t exp{t2 }2t  = −2 exp{t2 }(2t4 − t2 + 1) 6= 0, ∀t ∈ R.∆(t) = det  10 2 exp{t2 } + 4t2 exp{t2 } 2Согласно теореме 3.9.2, искомое уравнение третьего порядка имеет видtexp{t2 }t2 y 12t exp{t2 }2t y 0  −1det  0 (2 + 4t2 ) exp{t2 } 2 y 00  ∆ (t) = 0.0 (12t + 8t3 ) exp{t2 } 0 y 000Пример 3.9.2.

Составить на отрезке [1, 2] линейное однородное ОДУ наименьшегопорядка, у которого решениями являются функции y1 (t) = 1, y2 (t) = cos(t), y3 (t) =sin2 (t/2). Для решения этой задачи прежде всего заметим, что y3 (t) = (y1 (t) − y2 (t))/2,а функции y1 (t) и y2 (t) имеют отличный от нуля определитель Вронского1 cos t∆(t) = det= − sin t 6= 0, ∀t ∈ [1, 2].0 − sin tСогласно теореме 3.9.2, искомое уравнение второго порядка имеет вид1cos t ydet  0 − sin t y 0  ∆−1 (t) = 0 ⇔ y 00 − ctg(t) y 0 = 0.0 − cos t y 003.9.2Формула Остроградского-Лиувилля.Используя представление линейного дифференциального уравнения в виде (3.69) можно получить формулу для определителя Вронского.

При выводе этой формулы мы используем следующее правило дифференцирования функциональных определителей.Пусть D(t) – определитель n-го порядка, элементами которого являются функциинепрерывно дифференцируемые на отрезке [a, b]. Производная D0 (t) определителя D(t)равна сумме n определителей, каждый из которых получен из D(t) путем замены однойиз его строк на строку из производных.Из этого правила следует простая формула для производной определителя Вронского∆(t), составленного из системы n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b]функций yk (t), k = 1, 2, ..., n, y1 (t)y(t)...y(t)y(t)2n−1n000 y1 (t)y0(t)...y(t)y(t)2n−1n...............∆0 (t) = . (n−2)(n−2)(n−2)(n−2) y1(t)y(t)...y(t)y(t)n2n−1 (n)(n)(n)(n) y (t)y (t) ...

y (t)yn (t) 12n−1Действительно. Применим правило вычисления производной функционального определителя к определителю Вронского ∆(t). Все определители, в которых на производные68Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУзаменяется любая строка, кроме последней будут равны нулю, как определители, имеющие одинаковые строки. Следовательно, только последний определитель, в котором напроизводные заменена последняя строка и представляет собой производную ∆0 (t).Пусть yk (t), k = 1, 2, . . .

, n, фундаментальная система решений уравнения (3.68). Изтеоремы 3.9.1 следует, что это уравнение однозначно определяется своей фундаментальнойсистемой. Значит, поделив уравнение (3.69) на определитель Вронского ∆(t), мы получимуравнение (3.68). Тогда из записи уравнения (3.69) следует, что коэффициентa1 (t) = −∆0 (t).∆(t)Интегрируя от t0 до t, получим формулу Остроградского-Лиувилля Zt∆(t) = ∆(t0 ) exp − a1 (τ )dτ , t ∈ [a, b].t0Следствие 3.9.1. Если коэффициент a1 (t) = 0, t ∈ [a, b], то определитель Вронского∆(t) постоянен на отрезке [a, b]..