А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.ЛОМОНОСОВАФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИА.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИНОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯУчебное пособие для подготовки к коллоквиуму(Draft version)МОСКВА – 2007 г.Пособие написано для студентов 2 курса факультета вычислительной математики икибернетики как дополнение к лекционному курсу "Обыкновенные дифференциальныеуравнения". В пособии охвачен материал, входящий в программу коллоквиума по обыкновенным дифференциальным уравнениям, который студенты сдают в конце 3 семестра.c Факультет Вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007 г.c А.М.Денисов, А.В.Разгулин, 2007 г.Оглавление3Оглавление1 Основные понятия1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Основные модели, приводящие к ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Простейшая модель динамики популяции. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Модель "хищник-жертва". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Модель движения космического корабля. . . . .

. . . . . . . . . . . .1.3 Общее решение и общий интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Общее решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Первый интеграл и общий интеграл. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Уравнения в симметричном виде. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .1.4.2 Уравнения в полных дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Интегрирующий множитель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Задача Коши2.1 Задача Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Редукция к интегральному уравнению. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Условие Липшица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши. . . . . . . . . . . . . .2.1.5 Теорема существования решения задачи Коши.

. . . . . . . . . . . . .2.2 Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнения n-го порядка на произвольном отрезке . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Постановка задачи Коши для системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. . . .

. . . . . .2.2.3 Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ на всем отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.4 Задача Коши для ОДУ n-го порядка на произвольном отрезке. . . . .2.2.5 Задача Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .2.2.6 Задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Задача Коши для ОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Примеры постановки задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши . . .556678910101112131416161617191920232324252829303030324Оглавление2.3.32.3.4Методы интегрирования . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Особые решения ОДУ 1-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Общая теория линейных уравнений и систем ОДУ3.1 Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения nго порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений3.2 Линейные системы ОДУ и матричные ОДУ . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.2.1 Линейные однородные системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Однородные матричные ОДУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского . . . . . .3.3.1 Линейная зависимость произвольных вектор-функций . . . . . . .

. .3.3.2 Линейная зависимость решений линейной однородной системы ОДУ .3.4 Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы ОДУ3.4.1 Фундаментальная система решений линейной однородной системыОДУ . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Общее решение линейной однородной системы ОДУ . . . . . . . . . .3.4.3 Общее решение линейной неоднородной системы ОДУ. Метод вариации постоянных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .3.5 Построение ФСР для линейной однородной системы ОДУ с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1 Построение ФСР, когда существует базис из собственных векторов. .3.5.2 Построение ФСР, когда не существует базиса из собственных векторов.3.5.3 Построение ФСР в вещественном виде. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .3.6 Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Общие свойства. . . .3.7 Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского . . .3.7.1 Линейная зависимость произвольных скалярных функций . . . . . .3.7.2 Линейная зависимость решений линейного однородного ОДУ .

. . . .3.8 Фундаментальная система решений и общее решение линейного ОДУ . . . .3.8.1 Фундаментальная система решений линейного однородного ОДУ . . .3.8.2 Общее решение линейного однородного ОДУ . . . . . . . . . . . . . .3.8.3 Общее решение линейного неоднородного ОДУ. . . . . . . . . . . . . .3.8.4 Метод вариации постоянных. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.5 Построение ФСР для линейного однородного ОДУ с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.9 Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по егорешениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.9.1 Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям3.9.2 Формула Остроградского-Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37373940404242434444454647484850515353555757585960626565671.1. Понятия о дифференциальных уравнениях5Глава 1Основные понятия1.1Понятия о дифференциальных уравненияхДифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.Пример 1.1.1. Найти функцию y(t) такую, чтоy 000 (t) + (y 0 (t))2 − et y(t) = 1 + t,a ≤ t ≤ b.Пример 1.1.2.

Найти функцию u(t, x) такую, чтоutt (t, x) + ut (t, x) = (t2 + x)u(t, x),a ≤ t ≤ b,c ≤ x ≤ d.Пример 1.1.3. Найти функцию u(t, x) такую, чтоut (t, x) − uxx (t, x) + u(t, x) = 0,a ≤ t ≤ b,c ≤ x ≤ d.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции только по одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2 являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера 1.1.3 – дифференциальное уравнениев частных производных.Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящихв него производных.Данный курс посвящен, в основном, обыкновенным дифференциальным уравнениям.Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p) - заданная функция трех переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t), .

. . , y (n) (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p1 , . . . , pn ) - заданная функция n + 2 переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнениеy (n) = F (t, y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t)),t ∈ [a, b],(1.1)где F (t, y, p1 , . . . , pn−1 ) – заданная функция n + 1 переменной.Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями можно рассматривать системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть заданы функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ),6Глава 1. Основные понятияi = 1, 2, .