А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТим. М.В.ЛОМОНОСОВАФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИА.М. ДЕНИСОВ, А.В. РАЗГУЛИНОБЫКНОВЕННЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯУчебное пособие для подготовки к коллоквиуму(Draft version)МОСКВА – 2007 г.Пособие написано для студентов 2 курса факультета вычислительной математики икибернетики как дополнение к лекционному курсу "Обыкновенные дифференциальныеуравнения". В пособии охвачен материал, входящий в программу коллоквиума по обыкновенным дифференциальным уравнениям, который студенты сдают в конце 3 семестра.c Факультет Вычислительной математикии кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова, 2007 г.c А.М.Денисов, А.В.Разгулин, 2007 г.Оглавление3Оглавление1 Основные понятия1.1 Понятия о дифференциальных уравнениях .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Основные модели, приводящие к ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Простейшая модель динамики популяции. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Модель "хищник-жертва". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3 Модель движения космического корабля. . . . .
. . . . . . . . . . . .1.3 Общее решение и общий интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.1 Общее решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3.2 Первый интеграл и общий интеграл. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .1.4 Дифференциальные уравнения в симметричном виде и в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.1 Уравнения в симметричном виде. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .1.4.2 Уравнения в полных дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4.3 Интегрирующий множитель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Задача Коши2.1 Задача Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Редукция к интегральному уравнению. . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.2 Лемма Гронуолла-Беллмана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.3 Условие Липшица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.4 Теорема единственности решения задачи Коши. . . . . . . . . . . . . .2.1.5 Теорема существования решения задачи Коши.
. . . . . . . . . . . . .2.2 Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений иуравнения n-го порядка на произвольном отрезке . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Постановка задачи Коши для системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. . . .
. . . . . .2.2.3 Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ на всем отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.4 Задача Коши для ОДУ n-го порядка на произвольном отрезке. . . . .2.2.5 Задача Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .2.2.6 Задача Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Задача Коши для ОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Примеры постановки задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Теорема существования и единственности решения задачи Коши . . .556678910101112131416161617191920232324252829303030324Оглавление2.3.32.3.4Методы интегрирования . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Особые решения ОДУ 1-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 Общая теория линейных уравнений и систем ОДУ3.1 Комплекснозначные решения линейного дифференциального уравнения nго порядка и системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений3.2 Линейные системы ОДУ и матричные ОДУ . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .3.2.1 Линейные однородные системы ОДУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.2 Однородные матричные ОДУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского . . . . . .3.3.1 Линейная зависимость произвольных вектор-функций . . . . . . .
. .3.3.2 Линейная зависимость решений линейной однородной системы ОДУ .3.4 Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы ОДУ3.4.1 Фундаментальная система решений линейной однородной системыОДУ . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Общее решение линейной однородной системы ОДУ . . . . . . . . . .3.4.3 Общее решение линейной неоднородной системы ОДУ. Метод вариации постоянных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .3.5 Построение ФСР для линейной однородной системы ОДУ с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5.1 Построение ФСР, когда существует базис из собственных векторов. .3.5.2 Построение ФСР, когда не существует базиса из собственных векторов.3.5.3 Построение ФСР в вещественном виде. .
. . . . . . . . . . . . . . . . .3.6 Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка. Общие свойства. . . .3.7 Линейная зависимость скалярных функций и определитель Вронского . . .3.7.1 Линейная зависимость произвольных скалярных функций . . . . . .3.7.2 Линейная зависимость решений линейного однородного ОДУ .
. . . .3.8 Фундаментальная система решений и общее решение линейного ОДУ . . . .3.8.1 Фундаментальная система решений линейного однородного ОДУ . . .3.8.2 Общее решение линейного однородного ОДУ . . . . . . . . . . . . . .3.8.3 Общее решение линейного неоднородного ОДУ. . . . . . . . . . . . . .3.8.4 Метод вариации постоянных. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.8.5 Построение ФСР для линейного однородного ОДУ с постояннымикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.9 Построение линейного дифференциального уравнения n-го порядка по егорешениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.9.1 Построение линейного дифференциального уравнения по его решениям3.9.2 Формула Остроградского-Лиувилля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37373940404242434444454647484850515353555757585960626565671.1. Понятия о дифференциальных уравнениях5Глава 1Основные понятия1.1Понятия о дифференциальных уравненияхДифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Приведем некоторые примеры.Пример 1.1.1. Найти функцию y(t) такую, чтоy 000 (t) + (y 0 (t))2 − et y(t) = 1 + t,a ≤ t ≤ b.Пример 1.1.2.
Найти функцию u(t, x) такую, чтоutt (t, x) + ut (t, x) = (t2 + x)u(t, x),a ≤ t ≤ b,c ≤ x ≤ d.Пример 1.1.3. Найти функцию u(t, x) такую, чтоut (t, x) − uxx (t, x) + u(t, x) = 0,a ≤ t ≤ b,c ≤ x ≤ d.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции только по одной независимой переменной, называется обыкновенным дифференциальным уравнением.Уравнение, содержащее производные неизвестной функции по нескольким независимым переменным, называется дифференциальным уравнением в частных производных.Уравнения, приведенные в примерах 1.1.1 и 1.1.2 являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение из примера 1.1.3 – дифференциальное уравнениев частных производных.Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящихв него производных.Данный курс посвящен, в основном, обыкновенным дифференциальным уравнениям.Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p) - заданная функция трех переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнениеF (t, y(t), y 0 (t), .
. . , y (n) (t)) = 0,t ∈ [a, b],где F (t, y, p1 , . . . , pn ) - заданная функция n + 2 переменных.Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнениеy (n) = F (t, y(t), y 0 (t), . . . , y (n−1) (t)),t ∈ [a, b],(1.1)где F (t, y, p1 , . . . , pn−1 ) – заданная функция n + 1 переменной.Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями можно рассматривать системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть заданы функции fi (t, y1 , y2 , . . . , yn ),6Глава 1. Основные понятияi = 1, 2, .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
