А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

. , yn (t)) , y (t) =  ..  = (y10 (t), y20 (t), . . . , yn0 (t))> , .  . yn (t)yn0 (t)f1 (t, y1 , y2 , ..., yn ) f2 (t, y1 , y2 , ..., yn ) f (t, y) =  = (f1 (t, y), f2 (t, y), . . . , fn (t, y))> ....fn (t, y1 , y2 , ..., yn )Используя эти обозначения нормальную систему можно переписать такy 0 (t) = f (t, y(t)),t ∈ [a, b],(2.14)24Глава 2.

Основные понятияВектор-функция y(t) называется непрерывно дифференцируемой на некотором отрезке, если все ее компоненты непрерывно дифференцируемы на этом отрезке.Пусть вектор функция y(t) является решением системы (2.14). Множество точек (t, y1 (t), y2 (t), . . . ,t ∈ [a, b] представляет собой кривую в пространстве Rn+1 .

Эта кривая называется интегральной кривой системы (2.14).Рассмотрим начальное условиеy(t0 ) = y 0 ,(2.15)где t0 - некоторая фиксированная точка отрезкаy01 y02y 0 =  .. .[a, b], а,y0n– заданный числовой вектор из Rn .Задачей Коши или задачей с начальным условием для нормальной системы дифференциальных уравнений называется задача отыскания вектор функции y(t), удовлетворяющей системе (2.14) и начальному условию (2.15).Пусть вектор функция f (t, y) определена и непрерывна при t ∈ [a, b], y ∈ Rn .Определение 2.2.1. Вектор функция y(t) называется решением задачи Коши (2.14)(2.15) на отрезке [a, b], если:1. y(t) непрерывно дифференцируема на [a, b],2.

y 0 (t) = f (t, y(t)), t ∈ [a, b],3. y(t0 ) = y 0 .Определение 2.2.2. Вектор функция f (t, y) удовлетворяет условию Липшица по y,если найдется такая положительная константа L > 0, что для k = 1, 2, . . . , n выполнены неравенства|fk (t, ȳ1 , ȳ2 , . . . , ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ỹ2 , . . . , ỹn )| 6 L |ȳ1 − ỹ1 | + |ȳ2 − ỹ2 | + · · · + |ȳn − ỹn | , (2.16)∀t ∈ [a, b],2.2.2∀y = (ȳ1 , ȳ2 , . . .

, ȳn )> , ye = (ỹ1 , ỹ2 , . . . , ỹn )> ∈ Rn .Теорема единственности решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Докажем единственность решения задачи Коши (2.14),(2.15) для нормальной системыобыкновенных дифференциальных уравнений.Теорема 2.2.1. Пусть вектор функция f (t, y) определена и непрерывна при t ∈ [a, b],y ∈ Rn и удовлетворяет условию Липшица (2.16). Тогда если вектор функции y(t) и ye(t)являются решениями задачи Коши (2.14)-(2.15) на отрезке [a, b], то y(t) = ye(t) для всехt ∈ [a, b].Доказательство. Так как вектор функция y(t) = (ȳ1 (t), ȳ2 (t), .

. . , ȳn (t))> – решение задачиКоши (2.14)-(2.15), тоȳi0 (t) = fn (t, ȳ1 (t), ȳ2 (t), . . . , ȳn (t)) t ∈ [a, b],ȳi (t0 ) = y0i .2.2. Основные модели, приводящие к ОДУ25Интегрируя дифференциальное уравнение от t0 до t и используя начальное условие (2.15),получим для i = 1, 2, . . . , nZtfi (τ, ȳ1 (τ ), ȳ2 (τ ), . . .

, ȳn (τ ))dτ,ȳi (t) = y0i +t ∈ [a, b].(2.17)t0Компоненты ỹi (t), i = 1, 2, . . . , n другого решения ye(t) = (ỹ1 (t), ỹ2 (t), . . . , ỹn (t))> удовлетворяют таким же уравнениямZtfi (τ, ỹ1 (τ ), ỹ2 (τ ), . . . , ỹn (τ ))dτ,ỹi (t) = y0i +t ∈ [a, b].(2.18)t0Вычитая уравнения (2.18) из уравнений (2.17) и используя условие Липшица (2.16), получим для i = 1, 2, . . . , n и t ∈ [a, b] tZ|ȳi (t) − ỹi (t)| = (fi (τ, ȳ1 (τ ), ȳ2 (τ ), . .

. , ȳn (τ )) − fi (τ, ỹ1 (τ ), ỹ2 (τ ), . . . , ỹn (τ ))) dτ 6t0 tZ ≤ L |ȳ1 (τ ) − ỹ1 (τ )| + |ȳ2 (τ ) − ỹ2 (τ )| + · · · + |ȳn (τ ) − ỹn (τ )| dτ . (2.19)t0Введем функциюz(t) = |ȳ1 (t) − ỹ1 (t)| + |ȳ2 (t) − ỹ2 (t)| + · · · + |ȳn (t) − ỹn (t)|.Тогда неравенства (2.19) можно переписать так tZ|ȳi (t) − ỹi (t)| ≤ L z(τ )dτ , i = 1, 2, . . . , n,t ∈ [a, b].t0Складывая все эти неравенства, имеем tZz(t) 6 nL z(τ )dτ ,t ∈ [a, b].t0Из леммы Гронуолла-Беллмана 2.1.2 следует, что z(t) = 0, t ∈ [a, b].

Это означает, чтоȳi (t) = ỹi (t) i = 1, 2, . . . , n,t ∈ [a, b].Следовательно ȳ(t) = ỹ(t), t ∈ [a, b] и теорема 2.2.1 доказана.2.2.3Теорема существования решения задачи Коши для нормальной системыОДУ на всем отрезкеПерейдем к доказательству теоремы существования решения задачи Коши (2.14)-(2.15).26Глава 2. Основные понятияТеорема 2.2.2. Пусть вектор функция f (t, y) определена и непрерывна при t ∈ [a, b],y ∈ Rn и удовлетворяет условию Липшица (2.16).

Тогда существует вектор функцияy(t), являющаяся решением задачи Коши (2.14)-(2.15) на всем отрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a, b] систему интегральных уравнений относительно неизвестных функций yi (t)Ztfi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn (τ ))dτ,yi (t) = y0i +i = 1, 2, . . . , n.(2.20)t0Покажем, что если функции ȳi (t) непрерывны на отрезке [a, b] и удовлетворяют системеинтегральных уравнений (2.20), то вектор функция y(t) = (ȳ1 (t), . . . , ȳn (t))> с компонентами ȳi (t) является решением задачи Коши (2.14)-(2.15) на отрезке [a, b].Действительно, положив в (2.20) t = t0 , получим, что y(t) удовлетворяет условиям(2.15). Дифференцируя (2.20) по t убеждаемся в том, что выполнены уравнения (2.14).Таким образом, для доказательства теоремы достаточно доказать, что существуютфункции ȳi (t) непрерывные на отрезке [a, b], удовлетворяющие системе интегральныхуравнений (2.20).Докажем существование таких функций ȳi (t), используя метод последовательных при(k)(k)(k)ближений.

Рассмотрим последовательность вектор функций y (k) (t) = (y1 (t), y2 (t), ..., yn (t))> ,k = 0, 1, 2, . . . , таких, что(k+1)(t)yiZt= y0i +(k)(k)fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), . . . , yn(k) (τ ))dτ,i = 1, 2, . . . , n,t ∈ [a, b],(2.21)t0(0)yi (t) = y0i ,i = 1, 2, . . . , n,t ∈ [a, b].(k)Докажем, что все yi (t) определены и непрерывны на отрезке [a, b].(0)(m)Для yi (t) это верно.

Предположим, что это верно для yi (t) и покажем , что это(m+1)(t). Так как все функции fi (t, y) непрерывны при t ∈ [a, b], y ∈ Rn , то изверно для yi(m+1)(2.21) следует, что yi(t) определены и непрерывны на [a, b].Обозначим через B следующую постоянную tZB = max  max fi (τ, y01 , y02 , ..., y0n )dτ  .i=1,2,...,n t∈[a,b]t0Покажем, что для всех i = 1, 2, . . . , n и k = 0, 1, .

. . на отрезке [a, b] справедливы оценки(k+1)|yi(k)(t) − yi (t)| ≤ B(nL)k|t − t0 |k.k!При k = 0 это верно так как tZ(1)(0)|yi (t) − yi (t)| = |fi (τ, y01 , y02 , ..., y0n )|dτ ≤ B.t0(2.22)2.2. Основные модели, приводящие к ОДУ27Пусть неравенство (2.22) справедливо для k = m − 1. Покажем, что оно выполнено дляk = m. Из (2.21) имеем(m+1)|yi(m)(t) − yi(t)| 6 tZ(m−1)(m−1)(m)(m)(m−1)(m)(τ ))|dτ 6(τ ), y2(τ ), . . . , yn6 |fi (τ, y1 (τ ), y2 (τ ), .

. . , yn (τ )) − fi (τ, y1t0 tZ (m)(m−1)(m)(m−1)(m)(m−1)(τ )| + |y2 (τ ) − y2(τ )| + · · · + |yn (τ ) − yn(τ )| dτ .6 L |y1 (τ ) − y1t0Используя предположение индукции, получим tZm−1|τ−t||t − t0 |m0(m+1)(m)m|yi(t) − yi (t)| 6 B(nL)dτ 6 B(nL)m.(m − 1)!m!t0Следовательно неравенство (2.22) доказано по индукции.Рассмотрим на отрезке [a, b] функциональные ряды(0)yi (t)+∞X(m+1)(yi(m)(t) − yi(t)),i = 1, 2, .

. . , n.0Из (2.22)следует, что на отрезке [a, b] справедливы оценки(m+1)|yi(m)(t) − yi(t)| ≤ B(nL)m(b − a)m,m!m = 0, 1, . . .Учитывая эти оценки согласно признаку Вейерштрасса, получим, что функциональныеряды сходятся равномерно на отрезке [a, b]. Следовательно последовательности непрерывных на отрезке [a, b] функций(k)yi (t)=yi0 (t)+k−1X(m+1)(yi(m)(t) − yi(t)),i = 1, 2, . . . , n0сходятся равномерно на отрезке [a, b] к непрерывным функциям ȳi (t).Переходя к пределу при k → +∞ в формулах (2.21), получим, что функции ȳi (t)являются решением системы интегральных уравнений (2.20), а значит и задачи (2.14)(2.15).

Теорема 2.2.2 доказана.Замечание. Для выполнения условия Липшица (2.16) достаточно, чтобы все функцииfk (t, y1 , y2 , ..., yn ) имели равномерно ограниченные частные производные ∂n ∂yj fk (t, y1 , y2 , ..., yn ) ≤ D, ∀t ∈ [a, b], ∀(y1 , y2 , ..., yn ) ∈ R ,k, j = 1, 2, ..., n , D - постоянная. Действительно, в этом случае|fk (t, ȳ1 , ȳ2 , . . .

, ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ỹ2 , . . . , ỹn )| 66 |fk (t, ȳ1 , ȳ2 , . . . , ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ȳ2 , . . . , ȳn )|++|fk (t, ỹ1 , ȳ2 , . . . , ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ỹ2 , . . . , ȳn )| + . . .· · · + |fk (t, ỹ1 , ỹ2 , . . . , ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ỹ2 , . . . , ỹn )|.28Глава 2. Основные понятияПрименяя формулу Лагранжа по каждой переменной, получим|fk (t, ȳ1 , ȳ2 , . . . , ȳn ) − fk (t, ỹ1 , ỹ2 , .

. . , ỹn )| ≤ D |ȳ1 − ỹ1 | + |ȳ2 − ỹ2 | + · · · + |ȳn − ỹn | .Следовательно все функции fk (t, y1 , y2 , ..., yn ) удовлетворяют условию Липшица (2.16) спостоянной L = D.Используя это замечание, легко привести пример системы, удовлетворяющей условиямтеорем 2.2.1 и 2.2.2.Пример 2.2.1. Для системы 0y1 (t) = t sin(y1 (t) + y2 (t)) + (y1 (t))3 (1 + (y1 (t))2 )−1 ,y20 (t) = t2 y2 (t) + cos(y1 (t) + y2 (t)).выполнены условия теорем 2.2.1 и 2.2.2, и решение задачи Коши для этой системы существует и единственно на любом отрезке [a, b].2.2.4Задача Коши для ОДУ n-го порядка на произвольном отрезке.Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенноеотносительно старшей производнойy (n) (t) = F (t, y(t), y 0 (t), y 00 (t), .

. . , y (n−1) (t)),t ∈ [a, b],(2.23)где функция F (t, y1 , y2 , . . . , yn ) задана, а y(t) – неизвестная искомая функция.Рассмотрим для функции y(t) начальные условияy(t0 ) = y00 ,y 0 (t0 ) = y01 ,y (2) (t0 ) = y02 ,...,y (n−1) (t0 ) = y0n−1 ,(2.24)где t0 некоторое фиксированное число на отрезке [a, b], а y0i – заданные числа.Задачей Коши или задачей с начальными условиями для обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной, называется задача отыскания функции y(t), удовлетворяющей уравнению (2.23) и начальнымусловиям (2.24).Определение 2.2.3. Функция y(t) называется решением задачи Коши (2.23)-(2.24)на отрезке [a, b], если y(t) является n-раз дифференцируемой на [a, b] функцией, y(t) удовлетворяет уравнению (2.23) и начальным условиям (2.24).Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (2.23)-(2.24).Теорема 2.2.3.

Характеристики

Список файлов книги