Главная » Просмотр файлов » А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму

А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736), страница 4

Файл №1109736 А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму) 4 страницаА.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму (1109736) страница 42019-05-08СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Пусть уравнение M dt + N dy = 0 имеет в области D общий инте| + | ∂Φ(t,y)| > 0. Тогда существуетграл Φ(t, y) = C, причем всюду в D выполнено | ∂Φ(t,y)∂t∂yинтегрирующий множитель в D.Доказательство. Через любую точку области D проходит единственная интегральнаякривая. Пусть (ϕ(τ ), ψ(τ )) – соответствующее параметрическое решение. По определениюобщего интеграла, Φ(ϕ(τ ), ψ(τ )) ≡ C. После вычисления дифференциала имеем ∂Φ∂Φ 0 ϕ0 (τ ) +ψ (τ ) dτ.0 = dC =∂t∂y1.4. Основные модели, приводящие к ОДУ15В тоже время, из определения параметрического решения (1.13):M (ϕ(τ ), ψ(τ ))ϕ0 (τ ) + N (ϕ(τ ), ψ(τ ))ψ 0 (τ ) = 0,|ϕ0 (τ )| + |ψ 0 (τ )| > 0.Таким образом, имеет нетривиальное решение система линейных алгебраических уравнений ∂Φ ∂Φ 0 ϕ (τ )0∂t∂y=.ψ 0 (τ )0M NЭто возможно только в случае равенства нулю определителя матрицы, т.е.N∂Φ∂Φ≡M.∂t∂yЗаметим, что если в какой-либо точке M = 0, тогда N 6= 0,можно положить∂Φ∂Φ(t, y)(t, y)∂y∂tµ(t, y) =≡6= 0.M (t, y)N (t, y)∂Φ∂t= 0,∂Φ∂y6= 0.

ПоэтомуНетрудно видеть, что µ(t, y) является интегрирующим множителем, причем (1.17) является уравнением в полных дифференциалах с функцией V = Φ(t, y).Интегрирующий множитель определяется неоднозначно. Если µ(t, y) является интегрирующим множителем, тогда для некоторой непрерывно дифференцируемой функцииV (t, y) имеем dV = µM dt + µN dy. Умножая это равенство на f (V ), где f (s) 6= 0 произвольная непрерывно дифференцируемая функция скалярного аргумента, получаемZf (V )dV = d[ f (V )dV ] = µf (V )M dt + µf (V )N dy.Поэтому µ1 (t, y) = µ(t, y)f (V (t, y)) – также интегрирующий множитель.Отметим, что (1.17) является уравнением в полных дифференциалах тогда и только∂∂µ(t, y)M (t, y) = ∂tµ(t, y)N (t, y) , которое можнотогда, когда выполнено соотношение ∂yрассматривать в качестве уравнения для нахождения интегрирующего множителя.

Послеприведения подобных слагаемых имеем∂µ∂µ∂M∂NN−M=µ−.(1.18)∂t∂y∂y∂tЭто уравнение в частных производных. В общем случае оно сложнее исходного уравненияв симметричном виде, и решать его невыгодно. Тем не менее, в ряде случаев (1.18) можноиспользовать для нахождения интегрирующего множителя.1∂M∂N1. Если N ∂y − ∂t = g(t) – функция только аргумента t, тогда интегрирующий0множитель можно искать в виде µ =R µ(t). Уравнение (1.18) принимает вид µ (t) =µ(t)g(t) и имеет решение µ(t) = exp{ g(t)dt}.∂M∂N12. Если M ∂y − ∂t = h(y) – функция только аргумента y, тогда интегрирующий0множитель можно искать в виде µ = µ(y).R Уравнение (1.18) принимает вид µ (y) =−µ(y)h(y) и имеет решение µ(t) = exp{− h(y)dy}.16Глава 2.

Основные понятияГлава 2Задача Коши2.1Задача Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производнойПусть функция f (t, y) определена и непрерывна в прямоугольникеΠ = {(t, y) :|t − t0 | ≤ T,|y − y0 | ≤ A}Рассмотрим на отрезке [t0 − T, t0 + T ] дифференциальное уравнениеy 0 (t) = f (t, y(t)),t ∈ [t0 − T, t0 + T ],(2.1)с условиемy(t0 ) = y0 .(2.2)Требуется определить функцию y(t), удовлетворяющую уравнению (2.1) и условию (2.2).Эта задача называется задачей с начальным условием или задачей Коши.Определение 2.1.1.

Функция ȳ(t) называется решением задачи Коши на отрезке[t0 − T, t0 + T ], если: ȳ(t) ∈ C 1 [t0 − T, t0 + T ], |ȳ(t) − y0 | ≤ A для t ∈ [t0 − T, t0 + T ], ȳ(t)удовлетворяет уравнению (2.1) и условию (2.2).2.1.1Редукция к интегральному уравнению.Покажем, что решение задачи с начальным условием (2.1), (2.2)эквивалентно решениюнекоторого интегрального уравнения.Рассмотрим уравнение относительно неизвестной функции y(t)Zty(t) = y0 +f (τ, y(τ ))dτ,t ∈ [t0 − T, t0 + T ],(2.3)t0Такое уравнение называется интегральным, поскольку неизвестная функция y(t) входитпод знак интеграла.Лемма 2.1.1.

Функция ȳ(t) является решением задачи Коши (2.1), (2.2) на отрезке[t0 − T, t0 + T ] тогда и только тогда, когда ȳ(t) ∈ C[t0 − T, t0 + T ], |ȳ(t) − y0 | ≤ A дляt ∈ [t0 − T, t0 + T ], ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.3)для t ∈ [t0 − T, t0 + T ].Доказательство. Пусть функция ȳ(t) является решением задачи с начальным условием(2.1), (2.2) на отрезке [t0 −T, t0 +T ]. Из определения 2.1.1 следует, что ȳ(t) ∈ C[t0 −T, t0 +T ],|ȳ(t) − y0 | ≤ A для t ∈ [t0 − T, t0 + T ]. Покажем, что ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.3)для t ∈ [t0 − T, t0 + T ].

Интегрируя уравнение (2.1) от t0 до t, получимZt0Ztȳ (τ )dτ =t0f (τ, ȳ(τ ))dτ,t0t ∈ [t0 − T, t0 + T ],2.1. Основные модели, приводящие к ОДУ17Учитывая начальное условие (2.2), имеемZtf (τ, ȳ(τ ))dτ,ȳ(t) = y0 +t ∈ [t0 − T, t0 + T ],t0Следовательно, функция ȳ(t) удовлетворяет интегральному уравнению (2.3) при t ∈ [t0 −T, t0 + T ].Пусть функция ȳ(t) такова, что ȳ(t) ∈ C[t0 −T, t0 +T ], |ȳ(t)−y0 | ≤ A для t ∈ [t0 −T, t0 +T ]и ȳ(t) удовлетворяет уравнению (2.3) для t ∈ [t0 − T, t0 + T ], то естьZtf (τ, ȳ(τ ))dτ,ȳ(t) = y0 +t ∈ [t0 − T, t0 + T ].(2.4)t0Покажем, что ȳ(t) является решением задачи с начальным условием (2.1), (2.2).Положив в (2.4) , t = t0 ,получим, что ȳ(0) = y0 .

Следовательно условие (2.2) выполнено.Так как функция ȳ(t) непрерывна на [t0 − T, t0 + T ], то правая часть равенстваZtȳ(t) = y0 +f (τ, ȳ(τ ))dτ,t ∈ [t0 − T, t0 + T ],t0непрерывно дифференцируема на [t0 − T, t0 + T ].Следовательно ȳ(t) непрерывно дифференцируема на [t0 − T, t0 + T ]. Дифференцируя (2.4), получим , что ȳ(t) удовлетворяет(2.1)и лемма 2.1.1 доказана.2.1.2Лемма Гронуолла-Беллмана.Докажем единственность решения задачи Коши (2.1), (2.2). Для этого нам потребуетсяследующая лемма.Лемма 2.1.2.

Пусть функция z ∈ C[a, b] и такова, что tZ0 ≤ z(t) ≤ c + d z(τ )dτ , t ∈ [a, b],(2.5)t0где постоянная c неотрицательна, постоянная d положительна, а t0 - произвольноефиксированное число на отрезке [a, b]. Тогдаz(t) ≤ ced|t−t0 | ,t ∈ [a, b].(2.6)Доказательство. Рассмотрим t ≥ t0 . Введем функциюZtp(t) =z(τ )dτ,t ∈ [t0 , b].t0Тогда p0 (t) = z(t) ≥ 0, p(t0 ) = 0. Из (2.5) следует, что p0 (t) ≤ c + dp(t),это неравенство на e−d(t−t0 ) , получимp0 (t)e−d(t−t0 ) ≤ ce−d(t−t0 ) + dp(t)e−d(t−t0 ) ,t ∈ [t0 , b].t ∈ [t0 , b].

Умножив18Глава 2. Основные понятияЭто неравенство можно переписать такdp(t)e−d(t−t0 ) ≤ ce−d(t−t0 ) ,dtt ∈ [t0 , b].Проинтегрировав от t0 до t , получимp(t)e−d(t−t0 ) − p(t0 ) ≤ cZte−d(τ −t0 ) dτ =c1 − e−d(t−t0 ) ,dt ∈ [t0 , b].t0Учитывая то, что p(t0 ) = 0, имеем dp(t) ≤ ced(t−t0 ) − c. Следовательноz(t) ≤ c + dp(t) ≤ c + ced(t−t0 ) − c = ced(t−t0 ) ,t ∈ [t0 , b].и неравенство (2.6) для t ∈ [t0 , b] доказано.Докажем неравенство (2.6) для t ∈ [a, t0 ].

Перепишем неравенство (2.5) следующимобразомZtZt00 ≤ z(t) ≤ c − d z(τ )dτ = c + d z(τ )dτ, t ∈ [a, t0 ].t0tОбозначим черезZt0q(t) =z(τ )dτ,t ∈ [a, t0 ].tТогда q 0 (t) = −z(t) ≤ 0, q(t0 ) = 0. Из неравенства (2.5) следует, что −q 0 (t) ≤ c + dq(t),[a, t0 ]. Умножив это неравенство на e−d(t0 −t) , получим−q 0 (t)e−d(t0 −t) ≤ ce−d(t0 −t) + dq(t)e−d(t−t0 ) ,t∈t ∈ [a, t0 ].Это неравенство можно переписать так−dq(t)e−d(t0 −t) ≤ ce−d(t0 −t) ,dtt ∈ [t0 , b].Проинтегрировав от t до t0 , получимq(t)e−d(t0 −t) − q(t0 ) ≤ cZt0e−d(t0 −τ ) dτ =c1 − e−d(t0 −t) ,dt ∈ [a, t0 ].tСледовательно dq(t) ≤ ced(t0 −t) − c. А значитz(t) ≤ c + dq(t) ≤ c + ced(t0 −t) − c = ced|t−t0 | ,t ∈ [a, t0 ].и неравенство (2.6) для t ∈ [a, t0 ] доказано,что и завершает доказательство леммы 2.1.2.2.1.

Основные модели, приводящие к ОДУ2.1.319Условие Липшица.Сформулируем теперь важное для дальнейших исследований условие Липшица.Определение 2.1.2. Функция f (t, y), заданная в прямоугольнике Π удовлетворяет вΠ условию Липшица по y, если|f (t, y1 ) − f (t, y2 )| 6 L|y1 − y2 |,∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈ Π,где L - постоянная.Замечание 1. Если функции f (t, y) и fy (t, y) определены и непрерывны в Π, то f (t, y)удовлетворяет в Π условию Липшица по y. Действительно, так как fy (t, y) непрерывна вΠ, то |fy (t, y)| 6 M, ∀(t, y) ∈ Π. Тогда из формулы Лагранжа следует, что|f (t, y1 ) − f (t, y2 )| = |fy (t, θ)(y1 − y2 )| 6 M |y1 − y2 |,∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈ Π.Замечание 2.

Функция f (t, y) может быть не дифференцируема по y, но удовлетворять условию Липшица. Рассмотрим, например, функцию f (t, y) = (t − t0 )|y − y0 |. Очевидно, что она не дифференцируема при y = y0 , t 6= t0 , однако|f (t, y1 ) − f (t, y2 )| = |t − t0 | · |(y1 − y0 )| − |(y2 − y0 )| 6 T |y1 − y2 |,∀(t, y1 ), (t, y2 ) ∈ Π.Замечание 3. Функция f (t, y) может быть непрерывной по y, но не удовлетворятьp√условию Липшица. Рассмотрим, например, функцию f (y) = y, 0 6 y 6 1, f (y) = − |y|,−1 6 y 6 0. Очевидно, что она непрерывна на отрезке [−1, 1]. Покажем, что она неудовлетворяет условию Липшица.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
773,13 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее