А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 9

. , n, g(t) и h(t) непрерывны на отрезке [a, b]. Тогда существует единственная функция y(t), являющаяся решением задачиКоши (3.3)-(3.6) на отрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (3.4)с начальными условиямиu(m) (t0 ) = u0,m ,m = 0, 1, 2..., n − 1.(3.7)По теореме 2.2.5 из параграфа 2.2.6 задача Коши (3.4)-(3.7)имеет единственное решениеu(t).

Аналогично задача Коши для уравнения (3.5)с начальными условиямиv (m) (t0 ) = v0,m ,m = 0, 1, 2..., n − 1(3.8)имеет единственное решение v(t). Тогда комплекснозначная функция y(t) = u(t)+iv(t) является решением задачи Коши (3.3)-(3.6) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачиКоши (3.3)-(3.6) следует из единственности решения задач Коши (3.4)-(3.7) и (3.5)-(3.8).Теорема доказана 3.1.1.Следствие 3.1.1. Если функция f (t) в уравнении (3.3) действительна ( т.е.

h(t) = 0)и начальные данные в (3.6) действительны (т.е. v0,m = 0, m = 0, 1, 2, . . . , n−1), то задачаКоши (3.3)-(3.6) имеет только действительное решение.Определим комплекснозначное решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка. Рассмотрим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка 0y (t) = a11 (t)y1 (t) + a12 (t)y2 (t) + · · · + a1n (t)yn (t) + f1 (t), 10y2 (t) = a21 (t)y1 (t) + a22 (t)y2 (t) + · · · + a2n (t)yn (t) + f2 (t),(3.9)... 0yn (t) = an1 (t)y1 (t) + an2 (t)y2 (t) + · · · + ann (t)yn (t) + fn (t),где функции akj (t) , k, j = 1, 2, ..., n – действительны, а fk (t) = gk (t) + ihk (t) – комплекснозначны.Определение 3.1.2.

Комплекснозначная вектор функцияy(t) = (u1 (t) + iv1 (t), u2 (t) + iv2 (t), . . . , un (t) + ivn (t))>называется решением системы (3.9), если uk (t), vk (t) непрерывно дифференцируемы наотрезке [a, b], k = 1, 2, . . . , n, и 0u (t) = a11 (t)u1 (t) + a12 (t)u2 (t) + · · · + a1n (t)un (t) + g1 (t), 10u2 (t) = a21 (t)u1 (t) + a22 (t)u2 (t) + · · · + a2n (t)un (t) + g2 (t),(3.10)... 0u (t) = an1 (t)u1 (t) + an2 (t)u2 (t) + · · · + ann (t)un (t) + gn (t), n0v (t) = a11 (t)v1 (t) + a12 (t)v2 (t) + · · · + a1n (t)vn (t) + h1 (t), 10v2 (t) = a21 (t)v1 (t) + a22 (t)v2 (t) + · · · + a2n (t)vn (t) + h2 (t),(3.11)... 0vn (t) = an1 (t)v1 (t) + an2 (t)v2 (t) + · · · + ann (t)vn (t) + hn (t).3.2. Линейные однородные системы и матричные ОДУ39Пусть задано начальное условиеyk (t0 ) = y0k = u0k + iv0k ,(3.12)где u0k , v0k – действительные числа, k = 1, 2, .

. . , n.Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (3.9)-(3.12).Теорема 3.1.2. Пусть akj (t), gk (t), hk (t) непрерывны на отрезке [a, b], k, j = 1, 2, . . . , n.Тогда существует единственная вектор функция ȳ(t), являющаяся решением задачи Коши (3.9)-(3.12) на отрезке [a, b].Доказательство. Рассмотрим задачу Коши для системы (3.10) с начальным условиемuk (t0 ) = u0k ,k = 1, 2, . . .

, n.(3.13)По теореме 2.2.4 из параграфа 2.2.5 задача Коши (3.10)-(3.13)имеет единственное решение вектор функцию ū(t) = (ū1 (t), ū2 (t), . . . , ūn (t)).Аналогично задача Коши для уравнения (3.11) с начальными условиямиvk (t0 ) = v0k ,k = 1, 2, . . . , n.(3.14)имеет единственное решение вектор функцию v̄(t) = (v̄1 (t), v̄2 (t), . .

. , v̄n (t)). Тогда комплекснозначная вектор функцияȳ(t) = ū(t) + iv̄(t) = (ū1 (t) + iv̄1 (t), ū2 (t) + iv̄2 (t), . . . , ūn (t) + iv̄n (t))будет решением задачи Коши (3.9)-(3.12) на отрезке [a, b]. Единственность решения задачиКоши (3.9)-(3.12) следует из единственности решений задач Коши (3.10)-(3.13) и (3.11)(3.14). Теорема 3.1.2 доказана.Следствие 3.1.2. Если функции fk (t) в системе (3.9) действительны (т.е. gk (t) = 0)и начальные данные в (3.12) действительны (т.е. v0k = 0, k = 1, 2, . .

. , n), то задачаКоши (3.9)-(3.12) имеет только действительное решение.3.2Линейные системы ОДУ и матричные ОДУРассмотрим нормальную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторной форме с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами ai,j (t) ∈ R и fk (t) ∈ C:a1,1 (t) · · · a1,n (t)f1 (t)dy(t)..  , f (t) =  ..  ....(3.15)= A(t)y(t) + f (t), A(t) =  ... . . dtan,1 (t) · · · an,n (t)fn (t)Напомним, что решение y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t))> , системы (3.15) является вообще говоря комплекснозначной вектор-функцией y(t) = u(t) + iv(t), гдеu(t) = (u1 (t), .

. . , un (t))> ,v(t) = (v1 (t), . . . , vn (t))> ,uj (t) ∈ R,vj (t) ∈ R,j = 1, . . . , n,В дальнейшем, если не оговорено особо, речь пойдет именно о комплекснозначных решениях.403.2.1Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУЛинейные однородные системы ОДУОпределение 3.2.1. Система (3.15) называется однородной, если f (t) ≡ θ на отрезке[a, b]. В противном случае система (3.15) называется неоднородной.Лемма 3.2.1.

Если y(t) – решение линейной однородной системы ОДУ, тогда αy(t)также решение однородной системы для любого α ∈ C. Если y 1 (t) и y 2 (t) – два решениялинейной однородной системы, тогда y(t) = y 1 (t) + y 2 (t) также решение однороднойсистемы.Доказательство. Если dy(t)/dt = A(t)y(t), тогдаd{αy(t)}dy(t)=α= αA(t)y(t) = A(t){αy(t)}.dtdtЕсли dy ` (t)/dt = A(t)y ` (t), ` = 1, 2, тогдаdy(t)d{y 1 (t) + y 1 (t)}dy (t) dy (t)== 1 + 1= A(t)y 1 (t) + A(t)y 2 (t) = A(t)y(t).dtdtdtdtСледствие 3.2.1. Если y ` (t) решения линейной однородной системы ` = 1, . . .

, m,mPтогда y(t) =α` y ` (t) также решение однородной системы для любых α` ∈ C.`=13.2.2Однородные матричные ОДУ.Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами ai,j (t) ∈ R:y1 (t)a1,1 (t) · · · a1,n (t)dy(t)..  ....(3.16)= A(t)y(t), y(t) =  ...  , A(t) =  .... dtyn (t)an,1 (t) · · · an,n (t)Пусть имеется n вектор-функций y j (t) = (y1,j (t), .

. . , yn,j (t))> , j = 1, . . . , n. Составим матрицу Y (t), столбцами которой являются данные вектор-функции:y1,1 (t) · · · y1,n (t)..  ...Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) =  ...(3.17).. yn,1 (t) · · · yn,n (t)Сопоставим системе (3.16) матричное однородное дифференциальное уравнениеdY (t)= A(t)Y (t),dt(3.18)где производная матричной функции равна матрице, состоящей из производных элементовисходной матрицы, т.е. dY (t)/dt = kdyj,i (t)/dtk.По определению, решением матричного дифференциального уравнения (3.18) на отрезке [a, b] называется непрерывно дифференцируемая на данном отрезке матричная функция вида (3.17), обращающая уравнение (3.18) в тождество. Уравнение (3.18) имеет по3.3.

Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского41сравнению с системой (3.16) более симметричную форму записи, напоминающую скалярное уравнение первого порядка: и "коэффициент"A(t) уравнения и искомая функция Y (t)являются объектами одинаковой природы – матричными функциями. Связь между решениями системы (3.16) и матричным уравнением (3.18) устанавливают следующие дветеоремы.Теорема 3.2.1.

Вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) являются решениями однородной системы ОДУ (3.16) на отрезке [a, b] тогда и только тогда, когда составленная изэтих функций матрица Y (t) вида (3.17) является решением матричного дифференциального уравнения (3.18).Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим решения y 1 (t), y 2 (t), . .

. , y n (t)системы (3.16) и составим из них матрицу Y (t) вида (3.17). Посколькуdy j (t)= A(t)y j (t),dtj = 1, . . . , n,тогда для соответствующей матричной производной, элементы которой сгруппированы постолбцам, получаем равенстваdY (t)dt=dy 1 (t) dy 2 (t)dy (t),,..., ndtdtdt= (Ay 1 (t), Ay 2 (t), . . . , Ay n (t)) = A(t)Y (t).То есть выполнено матричное уравнение (3.18). Аналогично, расписывая матричное уравнение (3.18) по столбцам, доказывается достаточность.Теорема 3.2.2.

Пусть матричная функция Y (t) является решением уравнения (3.18).Тогда:1. для любого вектора констант c = (c1 , c2 , . . . , cn )> , cj ∈ C, вектор-функция y(t) =Y (t)c удовлетворяет уравнению (3.16);2. для любой матрицы констант B = kbi,j k, bi,j ∈ C, i, j = 1, . . . , n, матричная функция X(t) = Y (t)B удовлетворяет системе (3.18).Доказательство. 1. Если матричная функция Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) является решением уравнения (3.18), тогда по теореме 3.2.1 вектор-столбцы y j (t) являются решениямисистемы ОДУ (3.16), также как и их линейная комбинацияy(t) = Y (t)c =nXcj y j (t).j=12.

В силу линейности операции дифференцирования и ассоциативности операции произведения матриц, имеем:dX(t)ddY (t)={Y (t)B} =· B = {A(t)Y (t)} B = A(t) {Y (t)B} = A(t)X(t).dtdtdt423.33.3.1Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУЛинейная зависимость вектор-функций и определитель ВронскогоЛинейная зависимость произвольных вектор-функцийВ этом параграфе рассматриваются произвольные комплекснозначные вектор-функцииy 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t), определены на отрезке [a, b], т.е.

y j (t) = (yj,1 (t), . . . , yj,m (t))> , j =1, . . . , m, m ∈ N. Никакая связь с решениями дифференциальных уравнений и даже непрерывность этих функций пока не предполагаются.Определение 3.3.1. Вектор функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называются линейно зависимыми на отрезке [a, b], если найдется такой ненулевой вектор констант c = (c1 , . . . , cm )> ,mPcj ∈ C,|cj | > 0 , чтоj=1c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cm y m (t) = θ,∀t ∈ [a, b](3.19). Если же равенство (3.19) выполнено только для тривиального вектора констант,c = (0, .