А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 8

Как уже установлено выше, функция f (t, y) непрерывна в Ω0 , а значит и в Π. Условие Липшица для этой функциипо переменной y на множестве Π с константой ∂fL = max (t, y)(t,y)∈Π ∂yвытекает из (2.47). Таким образом, в Π выполнены все условия теоремы 2.1.2 существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ, разрешенного относительно производной.

Следовательно, найдется h > 0, что на отрезке [t0 − h, t0 + h] существует единственное решение задачи Коши (2.49), а значит и задачи Коши (2.38).В приведенном выше примере 2.3.2 условия теоремы 2.3.1 выполнены для задач Коши(2.39), (2.40) и не выполнены для задач Коши (2.41), (2.42).2.3.3Методы интегрированияРассмотрим метод интегрирования уравнений, основанный на его почленном дифференцировании. Получающееся уравнение становится линейным относительно старшей производной, и в нем эффективно производится замена искомой функции.Уравнение вида y = f (t, y 0 ), разрешенное относительно переменной y, эквивалентно системе алгебраического и дифференциального уравненийy = f (t, p),dy = pdt.34Глава 2. Основные понятияИз алгебраического уравнения выражаем dy, воспользовавшись инвариантностью формыпервого дифференциала:dy =∂f (t, p)∂f (t, p)dt +dp = pdt.∂t∂pПоследнее равенство задает дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных t, p.

Если удалось найти общее параметрическое решение этого уравнения t = ϕ(τ, c), p = ψ(τ, c), тогда и решение исходного уравнениясуществует в параметрическом видеt = ϕ(τ, c),y = f (t, ψ(τ, c).Уравнение вида t = f (y, y 0 ), разрешенное относительно переменной t, эквивалентно системе алгебраического и дифференциального уравненийt = f (y, p),dy = pdt.Из алгебраического уравнения выражаем dt, воспользовавшись инвариантностью формыпервого дифференциала:dt =∂f (y, p)∂f (y, p)dydy +dp = .∂y∂ppПоследнее равенство задает дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных y, p. Если удалось найти общее параметрическое решение этого уравнения y = ϕ(τ, c), p = ψ(τ, c), тогда и решение исходного уравнениясуществует в параметрическом видеy = ϕ(τ, c),t = f (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)).Уравнение вида F (t, y, y 0 ) = 0 эквивалентно системе алгебраического и дифференциального уравненийF (t, y, p) = 0, dy = pdt.Относительно алгебраического уравнения предположим, что оно задает гладкую поверхность в R3 , описываемую параметрически с помощью непрерывно дифференцируемыхфункций T (u, v), y = Y (u, v), P (u, v):t = T (u, v),y = Y (u, v),p = P (u, v).Воспользовавшись инвариантностью формы первого дифференциала, вычисляем dy, dt иполучаем дифференциальную связь между параметрами (u, v), которая выделяет из всехточек поверхности именно интегральные кривые:∂Y (u, v)∂T (u, v)∂T (u, v)∂Y (u, v)du +dv =du +dv P (u, v).∂u∂v∂u∂vПолучаем дифференциальное уравнение первого порядка в симметричном виде относительно переменных u, v.

Если удалось найти общее параметрическое решение этого уравнения u = ϕ(τ, c), v = ψ(τ, c), тогда и решение исходного уравнения существует в параметрическом видеt = T (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)), y = Y (ϕ(τ, c), ψ(τ, c)).2.3. Основные модели, приводящие к ОДУ2.3.435Особые решения ОДУ 1-го порядкаОпределение 2.3.2. Функция y = ξ(t) называется особым решением дифференциального уравненияF (t, y, y 0 ) = 0на отрезке [t1 , t2 ], если y = ξ(t) является решением уравнения на этом отрезке в смыслеопределения 2.3.1, и через каждую точку соответствующей интегральной кривой Γ ={(t, y) ∈ R2 : y = ξ(t), t ∈ [t1 , t2 ]} проходит другое решение решение этого уравнения стем же самым наклоном касательной, но отличающееся от данного решения в скольугодно малой окрестности точки.Таким образом, в каждой точке интегральной кривой особого решения нарушаетсяединственность решения задачи КошиF (t, y(t), y 0 (t)) = 0,y(t0 ) = y0 ,y 0 (t0 ) = y00 ,∀(t0 , y0 ) ∈ Γ.Следовательно, нарушается одно или несколько условий доказанной выше теоремы 2.3.1о существовании и единственности решения задачи Коши.

Рассмотрим основные ситуации, приводящие к появлению особых решений. Нас будет интересовать прежде всегонеобходимые условия для особых решений.Если не выполнены условия гладкости функции F (t, y, p), тогда примеры особых решений нетрудно построить даже для разрешенных относительно производной дифференциальных уравнений.Пример 2.3.3. Уравнениеp(2.50)y0 = 3 y2(t + c)3. Функция y1 (t) является27особым решением уравнения (2.50) на любом отрезке [t1 , t2 ], поскольку для любого t0 ∈[t1 , t2 ] найдется c0 = −t0 , что через точку (t0 , 0) интегральной кривой решения y1 (t)(t − y0 )3проходит другое решение y2 (t, c0 ) =с тем же самым нулевым углом наклона27pкасательной.

В данном случае F (t, y, p) = p − 3 y 2 является непрерывной функцией, а∂F2производная= − √терпит разрыв при y = 0, т.е. нарушено одно из условий∂y33y(2.44).Таким образом, особое решение может содержаться среди тех кривых, на которых∂Fчастная производнаяне существует.∂yПусть теперь выполнены условия (2.44) относительно функции F (t, y, p).

Если существует особое решение ξ(t), тогда во всех точках его интегральной кривой должны выполняться два равенстваимеет решение y1 (t) ≡ 0 и семейство решений y2 (t, c) =F (t, ξ(t), ξ 0 (t)) = 0,∂F(t, ξ(t), ξ 0 (t)) = 0.∂pЯсно, что тройка (t, ξ(t), ξ 0 (t)) является при каждом t является решением системы алгебраических уравнений F (t, y, p) = 0,∂F(2.51)(t, y, p) = 0.∂p36Глава 2. Общая теория линейных систем ОДУЧасто из системы (2.51) можно исключить переменную p и получить уравнение Φ(t, y) =0.

Решения этого уравнения на плоскости задаются одной или несколькими линиями,которые называются дискриминантными кривыми. Очевидно, что интегральная криваяособого решения составлена из дискриминантных кривых и Φ(t, ξ(t)) = 0.Возможны следующие три случая:1. Уравнение Φ(t, y) = 0 задает особое решение.2. Уравнение Φ(t, y) = 0 задает решение ОДУ, которое не является особым.3. Уравнение Φ(t, y) = 0 задает функцию, не являющуюся решением ОДУ.Приведем соответствующие примеры.Пример 2.3.4. Перепишем уравнение (2.50) из примера 2.3.3 в эквивалентном виде(y 0 )3 − y 2 = 0.

3p − y 2 = 0,Из системы (2.51) для дискриминантной кривой,находим функцию y(t) =3p2 = 0,0, которая является особым решением.Пример 2.3.5. Рассмотрим уравнение(y 0 )2 − y 2 = 0. 2p − y 2 = 0,Из системы (2.51) для дискриминантной кривой,находим функцию y(t) =2p = 0,0, которая является решением исходного уравнения. Для проверки того, будет ли найденное решение особым, проинтегрируем исходное уравнение и найдем два семейства решенийy1 (t) = c1 exp{t}, y2 (t) = c2 exp{−t}.Ни одна из интегральных кривых этих семейств решений не касается интегральнойкривой решения y(t) = 0 ни в одной точке. Следовательно, решение y(t) = 0 не являетсяособым для рассматриваемого уравнения.Пример 22.3.6.

Рассмотрим уравнение (2.35). Система (2.51) для дискриминантнойp − (t + y)p + ty = 0,кривой,дает функцию y(t) = t, которая не является решением2p − t − y = 0,ОДУ. Следовательно, особых решений рассматриваемое уравнение не имеет.3.1. Линейные однородные системы и матричные ОДУ37Глава 3Общая теория линейных уравнений и системОДУ3.1Комплекснозначные решения линейного дифференциальногоуравнения n-го порядка и системы линейных обыкновенныхдифференциальных уравненийКомплекснозначной функцией действительного аргумента t ∈ [a, b] называется функция y(t) такая, что y(t) = u(t) + iv(t), где u(t) и v(t) – действительные функции.

Комплекснозначная функция y(t) непрерывна на [a, b], если u(t) и v(t) непрерывны на [a, b].Комплекснозначная функция y(t) дифференцируема на [a, b], если u(t) и v(t) дифференцируемы на [a, b], при этом y 0 (t) = u0 (t) + iv 0 (t). Аналогично определяются производныеболее высокого порядка функции y(t) .Комплекснозначные решения линейных дифференциальных уравнений с действительными коэффициентами возникают также как комплексные числа при решении алгебраических уравнений с действительными коэффициентами.Рассмотрим пример. Требуется найти решение дифференциального уравненияy 00 (t) + 2y 0 (t) + 5y(t) = 0,t ∈ [a, b],(3.1)Ищем решение этого уравнения в виде y(t) = eλt , где λ – неизвестная постоянная. Подставляя это представление в уравнение (3.1) и сокращая на eλt , получим λ2 + 2λ + 5 = 0.Это уравнение имеет два комплексно сопряженных корня λ1 = −1 + 2i, λ1 = −1 − 2i.

Какизвестно, если комплексное число z = x + iy, то ez = ex cos y + iex sin y. Следовательноуравнение (3.1) имеет два комплекснозначных решенияy1 (t) = e−t cos 2t + ie−t sin 2t,y2 (t) = e−t cos 2t − ie−t sin 2t.(3.2)Перейдем к определению комплекснозначного решения линейного дифференциальногоуравнения n-го порядка. Рассмотрим уравнениеy (n) (t) + a1 (t)y (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)y 0 (t) + an (t)y(t) = f (t),t ∈ [a, b],(3.3)с действительными коэффициентами ak (t) ∈ R и комплекснозначной функцией f (t) =g(t) + ih(t), g(t) ∈ R, h(t) ∈ R.Определение 3.1.1. Комплекснозначная функция y(t) = u(t) + iv(t) называется решением уравнения (3.3), если функции u(t) и v(t) n-раз непрерывно дифференцируемы наотрезке [a, b] и удовлетворяют уравнениямu(n) (t) + a1 (t)u(n−1) (t) + · · · + an−1 (t)u0 (t) + an (t)u(t) = g(t),v (n) (t) + a1 (t)v (n−1) (t) + · · · + an−1 (t)v 0 (t) + an (t)v(t) = h(t),t ∈ [a, b],t ∈ [a, b].(3.4)(3.5)Рассмотрим задачу Коши для комплекснозначных решений уравнения (3.3).

Требуетсяопределить решение уравнения (3.3) такое, чтоy (m) (t0 ) = y0,m ,m = 0, 1, 2..., n − 1,(3.6)38Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУгде y0,m – заданные комплексные числа y0,m = u0,m + iv0,m , u0,m , v0,m ∈ R.Докажем теорему существования и единственности решения задачи Коши (3.3)-(3.6).Теорема 3.1.1. Пусть функции ak (t), k = 1, 2, . .