А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 10

. . , 0)> , тогда вектор-функции y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называются линейно независимыми на отрезке [a, b].Здесь и далее θ = (0, . . . , 0)> обозначает нулевой вектор-столбец соответствующей размерности. Эквивалентная (3.20) матричная форма записи условия линейной зависимостисостоит в том, что для матричной функции Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t)) порядка m × mвыполнено равенство(3.20)Y (t)c = θ, ∀t ∈ [a, b],хотя бы для одного ненулевого вектора констант.Если рассматриваемые вектор-функции принимают только вещественные значения,тогда в определениях линейной зависимости и независимости достаточно рассматриватьлишь действительные коэффициенты cj , j = 1, . . .

, m.Определение 3.3.2. Определителем Вронского системы заданных на отрезке [a, b]вектор функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t) называется зависящий от переменной t ∈ [a, b]определитель матричной функции Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y m (t)):∆(t) = det Y (t).Необходимое условие линейной зависимости вектор-функций устанавливает следующая теорема.Теорема 3.3.1. Если система вектор функций y 1 (t), y 2 (t), . .

. , y m (t) является линейно зависимой на отрезке [a, b], то определитель Вронского этой системы тождественноравен нулю на этом отрезке: ∆(t) = 0 ∀t ∈ [a, b].Доказательство. Из условия линейной зависимости (3.20) вытекает существование такого ненулевого вектора c = (c1 , . . . , cm )> , что для произвольного фиксированного t0 ∈ [a, b]справедливо равенствоY (t0 )c = θ.(3.21)Равенство (3.21) означает, что однородная система линейных алгебраических уравнений счисловой матрицей Y (t0 ) имеет нетривиальное решение c.

По известной теореме алгебрыэто возможно только для вырожденной матрицы, т.е. det Y (t0 ) = 0.3.3. Линейная зависимость вектор-функций и определитель Вронского43Отметим, что к утверждению теоремы нетрудно было бы прийти и на основе определения (3.19), которое означает линейную зависимость столбцов матрицы Y (t) для любогоt ∈ [a, b].Без дополнительных предположений относительно вектор-функций равенство нулюопределителя Вронского является, вообще говоря, только лишь необходимым условием линейной зависимости.

Из равенства нулю определителя Вронского системы вектор-функцийне вытекает их линейная зависимость.Пример 3.3.1. Для m = 2 рассмотрим на отрезке [−1, 1] две вектор-функции, имеющие нулевой определитель Вронского: 2 2tt|t|t t|t|y 1 (t) =, y 2 (t) =, Y (t) =, ∆(t) = det Y (t) ≡ 0.t|t|t |t|Эти вектор-функции являются линейно независимыми на рассматриваемом отрезке.Действительно, если для некоторого вектора c = (c1 , c2 )> справедливо равенство Y (t)c =θ в каждой точке отрезка [−1, 1], тогда при t = 1 должно выполняться равенство c1 +c2 = 0, а при t = −1 – равенство c1 − c2 = 0, откуда c1 = c2 = 0.3.3.2Линейная зависимость решений линейной однородной системы ОДУРассмотрим систему из n-мерных вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), .

. . , y n (t), являющихсярешением линейной однородной системы ОДУ (3.16), Y (t) – соответствующая матричнаяфункция из (3.17). Подчеркнем, что количество вектор-функций совпадает с порядкомсистемы ОДУ. Исследуем вопрос о связи свойства линейной зависимости решений системыОДУ и значения определителя Вронского.Теорема 3.3.2. Пусть y 1 (t), y 2 (t), . .

. , y n (t) – система вектор-функций решений системы ОДУ (3.16) на отрезке [a, b]. Если найдется точка t0 ∈ [a, b], для которой det Y (t0 ) =0, то система y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) линейно зависима на отрезке [a, b] и det Y (t) = 0∀t ∈ [a, b].Доказательство. Однородная система линейных алгебраических уравнений относительно вектора c = (c1 , .

. . , cn )> ,Y (t0 )c = θ,(3.22)имеет ненулевое решение c0 = (c01 , . . . , c0n )> в силу вырожденности числовой матрицы Y (t0 ),имеющей нулевой определитель.Положим y(t) = Y (t)c0 . Ясно, что y(t) – решение системы ОДУ (3.16) в силу первойчасти теоремы 3.2.2 и, кроме того, y(t0 ) = θ в силу (3.22). Таким образом, построеннаяфункция является решением задачи Коши с нулевым начальным условием при t = t0 :dy(t)= A(t)y(t),dty(t0 ) = θ.Эта задача Коши по теореме существования и единственности 2.1.2 имеет на рассматриваемом отрезке только одно решение – нулевое. Поэтомуθ = y(t) = Y (t)c0 = c01 y 1 (t) + c02 y 2 (t) + · · · + c0n y n (t),∀t ∈ [a, b],и рассматриваемая система вектор-функций является линейно зависимой на отрезке [a, b].Тогда в силу теоремы 3.3.1 имеем det Y (t) = 0, ∀t ∈ [a, b].44Глава 3.

Общая теория линейных систем ОДУИз теорем 3.3.1 и 3.3.2 вытекает следующая теорема об альтернативе для определителяВронского системы вектор-функций решений линейной однородной системы ОДУ.Теорема 3.3.3. Определитель Вронского для вектор-функций y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t),являющихся решениями линейного однородного ОДУ (3.16) на отрезке [a, b], либо тождественно равен нулю, det Y (t) ≡ 0 (и система линейно зависима), либо не обращаетсяв ноль ни в одной точке, det Y (t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b] (и система линейно независима).Заметим, что согласно теореме 3.3.3 система вектор-функций из примера 3.3.1 не можетявляться решением никакой однородной системы ОДУ второго порядка с непрерывнымина отрезке [−1, 1] коэффициентами.3.43.4.1Фундаментальная система решений и общее решение линейной системы ОДУФундаментальная система решений линейной однородной системы ОДУОпределение 3.4.1.

Фундаментальной системой решений (ФСР) линейной однородdy(t)= A(t)y(t) порядка n на отрезке [a, b] называется совокупностьной системы ОДУdtn линейно независимых решений y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t) этой системы. Соответствующаяфункциональная матрица Y (t) вида (3.17) называется фундаментальной матрицей.В силу теоремы (3.2.2) фундаментальная матрица является решением матричного дифференциального уравнения (3.18), а в силу теоремы (3.3.3) она имеет на отрезке [a, b]отличный от нуля определитель, det Y (t) 6= 0.Теорема 3.4.1. Для любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений вида (3.16) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами существует фундаментальная матрица.Доказательство. Зафиксируем любое t0 ∈ [a, b] и рассмотрим задачу Коши для матричного дифференциального уравненияdY (t)= A(t)Y (t), Y (t0 ) = E,(3.23)dtгде E – единичная матрица.

Расписывая матричные равенства по столбцам заключаем,что задача (3.23) эквивалентна совокупности из n задач Кошиdy j (t)= A(t)y j (t),dty j (t0 ) = (0, . . . , 0, |{z}1 , 0, . . . , 0)> ,j = 1, . . . , n,jотличающихся лишь начальными данными. Существование на всем отрезке [a, b] решенийy j (t) этих задач Коши, а значит и решения Y (t) матричной задачи (3.23), вытекает изтеоремы 2.1.2. Поскольку определитель Вронского матричной функции Y (t) в силу (3.23)равен единице, det Y (t0 ) = det E = 1, тогда линейная независимость на рассматриваемомотрезке построенной системы решений y 1 (t), y 2 (t), .

. . , y n (t) есть следствие теоремы 3.3.3об альтернативе для определителя Вронского.Фундаментальная матрица неединственна. Полагая в задаче Коши (3.23) начальноеусловие Y (t0 ) = B, det B 6= 0, мы получим другую фундаментальную матрицу. Заметимтакже, что если элементы матрицы системы вещественны, ai,j (t) ∈ R, тогда и фундаментальная матрица может быть выбрана вещественной.3.4. ФСР и общее решение линейной однородной системы ОДУ3.4.245Общее решение линейной однородной системы ОДУОпределение 3.4.2. Общим решением линейной однородной системы дифференциальных уравнений n-го порядка называется зависящее от n произвольных постоянныхрешение этого уравнения такое, что любое другое решение системы может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных.Теорема 3.4.2.

Пусть Y (t) = (y 1 (t), y 2 (t), . . . , y n (t)) – фундаментальная матрицадля линейной однородной системы ОДУdy(t)= A(t)y(t)dtна отрезке [a, b]. Тогда ее общее решение представимо в видеy O,O (t) = c1 y 1 (t) + c2 y 2 (t) + · · · + cn y n (t) = Y (t)c,∀c = (c1 , c2 , . . . , cn ), cj ∈ C, j = 1, . . . , n.(3.24)Доказательство. По теореме 3.2.2 вектор-функция Y (t)c является решением однороднойсистемы ОДУ ∀c ∈ Cn .

Согласно определению общего решения осталось показать, чтодля любого наперед заданного решения y(t) линейной однородной системы ОДУ найдетсявектор констант ec ∈ Cn такой, что на отрезке [a, b] выполнено равенствоy(t) = Y (t)ec.(3.25)Для построения ec зафиксируем произвольное t0 ∈ [a, b] и вычислим y 0 = y(t0 ). Рассмотримсистему линейных алгебраических уравнений относительно ec:Y (t0 )ec = y0.(3.26)В силу невырожденности матрицы Y (t0 ) c определителем det Y (t0 ) 6= 0 эта система имеетединственное решение. Тогда функции ye(t) = Y (t)ec и y(t) являются решениями одной итой же задачи Кошиdy(t)= A(t)y(t), y(t0 ) = y 0 ,(3.27)dtи по теореме единственности обязаны совпадать, что доказывает (3.25). Отметим, что дляфиксированного решения y(t) вектор констант ec ∈ Cn в представлении (3.25) определеноднозначно.Если элементы матрицы системы вещественны, ai,j (t) ∈ R, то и общее решение естественно искать в классе вещественнозначных функций.

Тогда при выборе вещественнойфундаментальной матрицы (это всегда возможно в рассматриваемом случае) формула(3.24) при c ∈ Rn дает общее вещественнозначное решение линейной однородной системыОДУ.В ходе доказательства теоремы 3.4.2 была фактически выведена формула для решениязадачи Коши (3.27) с произвольным начальным условием y 0 . Действительно, из (3.26)имеем ec = Y (t0 )−1 y 0 , и после использования (3.26) получаемy(t) = Z(t, t0 )y 0 ,Z(t, t0 ) = Y (t)Y (t0 )−1 .(3.28)Функциональная матрица Z(t, t0 ) называется матрицантом.

Как матричная функцияпеременной t она является решением следующей задачи КошиdZ(t, t0 )= A(t)Z(t, t0 ),dtZ(t0 , t0 ) = Y (t0 )Y (t0 )−1 = E.463.4.3Глава 3. Общая теория линейных систем ОДУОбщее решение линейной неоднородной системы ОДУ. Метод вариациипостоянных.Рассмотрим линейную неоднородную систему ОДУ с непрерывным вектором f (t) =(f1 (t), f2 (t), .