А.М. Денисов, А.В. Разгулин - Уебное пособие для подготовки к колоквиуму, страница 2

. . , n. Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций y1 (t), . . . , yn (t) называется система 0y (t) = f1 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b], 10y2 (t) = f2 (t, y1 (t), y2 (t), . . . , yn (t)), t ∈ [a, b],(1.2)... 0yn (t) = fn (t, y1 (t), y2 (t), .

. . , yn (t)), t ∈ [a, b].Уравнение (1.1) может быть сведено к нормальной системе (1.2). Действительно, пустьфункция y(t) является решением уравнения (1.1). Введем функцииy1 (t) = y(t),y2 (t) = y 0 (t),...yn−1 (t) = y (n−2) (t),yn (t) = y (n−1) (t).Тогда функции y1 (t), . . . , yn (t) являются решениями нормальной системы 0y1 (t) = y2 (t),t ∈ [a, b],0y(t)=y(t),t ∈ [a, b], 23...y 0 (t) = yn (t),t ∈ [a, b], n−1yn0 (t) = F (t, y1 (t), y1 (t), .

. . , yn (t)), t ∈ [a, b].(1.3)Справедливо и обратное. Если функции y1 (t), . . . , yn (t) являются решениями системы (1.3),то функция y(t) = y1 (t) является решением уравнения (1.1).1.2Основные модели, приводящие к ОДУДифференциальные уравнения часто возникают как математические модели в экологии, физике, экономике и других областях знаний. Под математической моделью некоторого явления обычно понимают отражение основных закономерностей описываемогоявления в математической форме.

Рассмотрим несколько примеров математических моделей, описываемых с помощью дифференциальных уравнений.1.2.1Простейшая модель динамики популяции.Пусть имеется популяция, состоящая из достаточно большого количества особей. Считаем, что с течением времени количество особей подчиняется следующему закону: изменение количества особей за любой бесконечно малый интервал времени пропорциональноколичеству особей в текущей момент времени. Придадим отмеченным закономерностямстрогий математический вид.Обозначим p(t) – количество особей в момент времени t.

Ясно, что p(t) ∈ N. Из биологии известно, что если численность особей p(t) > pmin , где pmin – достаточно большоенатуральное число, pmin 1, то относительная численность популяции y(t) = p(t)/pminведет себя достаточно гладким образом. Будем далее считать ее непрерывно дифференцируемой функцией времени.Получим уравнение, описывающее динамику относительной численности. Для этогорассмотрим изменение численности на отрезке времени от t до t + ∆t бесконечно малойдлины ∆t и обозначим приращение численности как ∆p(t) = p(t + ∆t) − p(t). Согласноуказанному выше закону ∆p(t) ∼ p(t)∆t, или, вводя коэффициент пропорциональности1.2.

Основные модели, приводящие к ОДУ7k, получаем приближенное равенство ∆p(t) ' kp(t)∆t. После почленного деления на pmin ,перехода к функции y(t) и использования ее дифференцируемости, получаем равенство∆y(t) = k(y(t) + ō(1))∆t.Поделим обе части уравнения на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0. Получаем дифференциальное уравнение, связывающее искомую функцию y(t) и ее производную dy(t)/dt вмомент времени t:dy(t)= ky(t).(1.4)dtПростые соображения, основанные на знании формул производных для экспоненты ипроизведения двух функций, позволяют проинтегрировать дифференциальное уравнение(1.4), т.е.

перейти от дифференциальной записи к эквивалентной алгебраической:y 0 (t) − ky(t) = 0 ⇔ y 0 (t)e−kt − ky(t)e−kt = 0 ⇔y(t)e−kt0= 0 ⇔ y(t) = Cekt .Итак, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений, параметрическизависящих от произвольной константы C ∈ R. Эту константу можно определить, еслизадать дополнительное условие на искомое решение. Самым простым из условий являетсязадание значения функции в некоторый момент времени t = t0 :y(t0 ) = y0 .(1.5)Тогда решение задачи (1.4)-(1.5) определяется однозначно:y(t) = y0 ek(t−t0 ) .(1.6)Уравнение (1.4) и найденное решение (1.6) описывают лишь самые простые закономерности динамики популяции. Действительно, при k > 0 численность популяции неограниченно возрастает при t → +∞, что в реальности не наблюдается.

Если же k < 0, тогдаотносительная численность популяции монотонно уменьшается и со временем станет меньше 1, или, что тоже самое, p(t) < pmin , и тогда уже нельзя применять дифференциальноеуравнение в качестве модели рассматриваемого явления. Таким образом, дифференциальное уравнение как математический объект имеет в данном случае более широкую областьдопустимых значений параметров, чем это диктуется моделью.1.2.2Модель "хищник-жертва".Рассмотрим несколько более реальную модель популяции особей первого типа (хищников), которая меняется со временем в зависимости от количества пищи – особей популяциивторого типа (жертвы). Обозначим x1 (t) – нормированная численность хищников, x2 (t) –нормированная численность жертв, и далее будем считать эти функции непрерывно дифференцируемыми.В простейшей модели динамики популяции скорость изменения численности пропорциональна численности с постоянными коэффициентами kj : dxj (t)/dt = kj xj (t), j = 1, 2.Рассмотрим более содержательную модель, в которой kj = kj (x1 , x2 ) – функция от количества хищников и жертв.

Для уравнения динамики численности хищников возьмемсоответствующий коэффициент k1 (x1 , x2 ) в видеk1 (x1 , x2 ) = −a + bx2 ,a > 0,b > 0,8Глава 1. Основные понятиягде −a < 0 задает коэффициент убывания хищников при отсутствии пищи (x2 = 0),bx2 > 0 – пропорциональный количеству пищи коэффициент роста хищников. Аналогичные соображения используются для случая жертв:k2 (x1 , x2 ) = c − dx1 ,c > 0,d > 0,где c – коэффициент роста жертв при отсутствии хищников (x1 = 0), −dx1 < 0 – пропорциональный количеству хищников коэффициент потерь жертв. В результате приходим кдвум обыкновенным дифференциальным уравнениямdx1 (t)= (−a + bx2 (t))x1 (t),dtdx2 (t)= (c − dx1 (t))x2 (t).dtПерейдем к новым переменным y1 = x1 d/c, y2 = x2 b/a, τ = ct, и обозначим yj0 = dyj /dτ ,j = 1, 2. Получаемy10 = αy1 (y2 − 1),y20 = y2 (1 − y1 ),α = a/c > 0.Оказывается, графики функции (y1 (t), y2 (t)) в координатах (y1 , y2 ) представляют собойзамкнутые линии с центром в точке (1, 1), т.е.

численность хищников и жертв меняетсяциклически, причем наибольшей численности хищников соответствует наименьшая численность жертв и наоборот.Нетрудно показать, что в окрестности (1, 1) эти замкнутые линии приближенно представляют собой эллипсы. Для этого поделим уравнения друг на друга и выделим полныйдифференциал:αy1 (y2 − 1)dy1=,dy2y2 (1 − y1 )1 − y1y2 − 1dy1 = α,y1y2y1 − ln y1 + αy2 − α ln y2 = C.Если yj находятся в окрестности единицы, тогда по формуле Маклорена имеем:ln yj = ln(1 + yj − 1) = yj − 1 − 0.5(yj − 1)2 + ō((yj − 1)2 ),j = 1, 2.После подстановки полученных разложений, с точностью до слагаемых порядка вышевторого получаем уравнение(y1 − 1)2 + α(y2 − 1)2 = 2C,задающее эллипс с центром в (1, 1) и отношением полуосей1.2.3√α.Модель движения космического корабля.Пусть космический корабль (материальная точка) движется в плоскости, проходящейчерез центр Земли. Тогда его декартовы координаты в этой плоскости с началом координатвpцентре Земли могут быть заданы двумя функциями x1 (t), x2 (t) от времени t, r(t) =x21 (t) + x22 (t) – расстояние до центра Земли.

Считая Землю шаром радиуса R и массойM , будем учитывать только силу тяжести, обусловленную притяжением корабля массыm к Земле. Тогда на расстоянии r = r(t) > R от центра Земли на корабль действуетсила всемирного тяготения F = γmM/r2 , и ускорение корабля находится по формулеg(t) = F/m = γM/r2 . На поверхности Земли при r = R имеем g = γM/R2 , откудавытекает формула g(t) = gR2 /r2 (t).1.3. Основные модели, приводящие к ОДУ9Будем использовать обозначения ẋ = dx/dt, ẍ = d2 x/dt2 , x(t) = (x1 (t), x2 (t)). С учетомтого, что сила тяготения направлена к центру Земли, вектор силы записывается в видеF (t) = −x(t)x(t)g(t)m = − 3 mgR2 .r(t)r (t)Подставляя полученное выражение для силы тяготения в формулу второго закона Нью2тона ma(t) = F (t), a(t) = (ẍ1 (t), ẍ2 (t)), получаем a(t) = − rx(t)3 (t) gR , или в координатах:x1 2x2 2gR,ẍ=−gR .2r3r3Проведем несложный анализ полученных уравнений.

Умножим на ẋ1 первое уравнение,на ẋ2 – второе уравнение и сложим. В полученном уравненииẍ1 = −gR2(x1 ẋ1 + x2 ẋ2 )r3преобразуем производные произведений и выделим полную производную с учетом обозначений v 2 (t) = ẋ21 + ẋ21 , r2 = x21 + x21 : gR2 d 21d ẋ21 + ẋ2122 d=− 3 ·x1 + x1 = gR,dt22r dtdt rd v 2 gR2−= 0,dt 2rv 2 (t0 )gR2v 2 (t) gR2−=−(1.7)2r(t)2r(t0 )ẍ1 ẋ1 + ẍ2 ẋ2 = −Полученное равенство, выражающее собой (после умножения на m) закон сохраненияэнергии при движении космического корабля в поле силы тяжести, позволяет ответить навопрос о том, какова должна быть начальная скорость v(t0 ) стартующего с поверхностиЗемли (r(t0 ) = R) космического корабля, чтобы он навсегда удалился от Земли, т.е.

r(t) →+∞ при t → +∞. Действительно, из (1.7) имеем−v 2 (t0 )gR26− gR,r(t)2откуда при t → +∞ получаемpv(t0 ) > 2Rg – вторая космическая скорость.1.3Общее решение и общий интегралРассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядкаdy(t)= f (t, y(t)),dt(1.8)где функция f (t, y) определена на некотором множестве D ⊆ R2 . В результате интегрирования уравнения (1.8) могут получаться решения как в виде зависящего от параметра Cсемейства функций y = g(t, C), так и отдельные решения, не входящие в эти семейства.Возникает вопрос, как в наиболее компактном виде охватить все возможные решенияуравнения (1.8).10Глава 1.

Основные понятия1.3.1Общее решение.Определение 1.3.1. Функция y = g(t, C) называется общим решением дифференциального уравнения (1.8) на множестве D, если:1. Для любого допустимого C функция y = g(t, C) является решением дифференциального уравнения (1.8).2. Для любого решения z(t) дифференциального уравнения (1.8), интегральная криваякоторого лежит в D, найдется такая константа C0 , что z(t) = g(t, C0 ), т.е.любое решение входит в параметрическое семейство общего решения.Общее решение существует не всегда. Наличие общего решения зависит как от видадифференциального уравнения, так и от выбора множества D.

Рассмотрим пример.Пример 1.3.1. Уравнение3√dy= 3y(1.9)dt2pимеет решение y1 (t) ≡ 0 и параметрическое семейство решений y2 (t, C) = ± (t + C)3 .В области D+ , лежащей в верхнейполуплоскости R2+ = R2 ∩ {y > 0}, общее решениеpзадается формулой y+ (t, C) = (t + C)3 . В области D− , лежащей вpнижней полуплоскости R2− R2 ∩{y < 0}, общее решение задается формулой y− (t, C) = − (t + C)3 . Если жепересечение выбранной области D с осью абсцисс y = 0 содержит интервал ненулевойдлины, тогда общего решения не существует, а есть совокупность решений, составленных из y1 (t), y2 (t, C), а также решений, составленных из гладко примыкающих кусковэтих кривых, например: p0,приt61,− (t − 1)3 , при t 6 1,y(t)=y3 (t) = p4(t − 1)3 , при t > 1,0,при t > 1.Решение g0 (t) дифференциального уравнения (1.8) называется частным решением,если во всех точках его интегральной кривой выполняется условие единственности, т.е.ее не касаются другие интегральные кривыеуравнения (1.8).

В примере 1.3.1 для любогоpфиксированного C0 функция g0+ (t) = p(t + C0 )3 является частным решением уравнения(1.9) в области D+ , функция g0− (t) = − (t + C0 )3 является частным решением уравнения(1.9) в области D− . Решение y1 (t) ≡ 0 не является частным решением, т.к. в каждой точкеего интегральной кривой происходит касание с другими интегральными кривыми (1.9).Такие решения называются особыми.1.3.2Первый интеграл и общий интеграл.Общее решений дифференциального уравнения дает зависимость искомой функции отt и C в явной форме. Однако в такой форме найти решение дифференциального уравненияудается далеко не всегда. Часто бывает достаточно просто перейти от дифференциальногоуравнения к эквивалентному ему алгебраическому уравнению, возможно не разрешенномуотносительно искомого решения.Определение 1.3.2. Пусть Φ(t, y) – заданная на множестве D ⊆ R2 функция.

УравнениеΦ(t, y) = C(1.10)1.4. Основные модели, приводящие к ОДУ11называется первым интегралом дифференциального уравнения (1.8) в D, если для любого решения y = g(t), t ∈ [a, b], интегральная кривая которого лежит в D, найдетсяконстанта C0 , что уравнение (1.10) обращается в тождество на [a, b] при подстановкеy = g(t), C = C0 , т.е.Φ(t, g(t)) = C0 , ∀t ∈ [a, b].Замечание. Часто первым интегралом называется также сама функция Φ(t, y).Пример 1.3.2. Если y(t) 6= 0 – произвольное решение дифференциального уравнения√dy/dt = 3 3 y/2.