В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 13

Ýòî óòâåðæäåíèåáóäåò äîêàçàíî ïîçæå.Ñëåäñòâèå. Åñëè F (x) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ f (x) íàïðîìåæóòêå X , òî ëþáàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ Ô(x) äëÿ f (x) íà ýòîìïðîìåæóòêå èìååò âèäÔ(x) = F (x) + C ,1. Ïåðâîîáðàçíàÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë83ãäå C íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Îïðåäåëåíèå. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ ôóíêöèè f (x) íà ïðîìåæóòêå X íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò f (x) íà ýòîì ïðîìåæóòêå è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:Zf (x)dx. ýòîì îáîçíà÷åíèè ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ ïîäûíòåãðàëüíîéôóíêöèåé, à âûðàæåíèå f (x)dx ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì. Îòìåòèì, ÷òî f (x)dx ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì ëþáîéïåðâîîáðàçíîé F (x) äëÿ f (x):dF (x) = F 0 (x)dx = f (x)dx.(5.1)Îïåðàöèÿ âû÷èñëåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íàçûâàåòñÿèíòåãðèðîâàíèåì.

 ñèëó ñëåäñòâèÿ èç òåîðåìû 1Zf (x)dx = F (x) + C ,(5.2)ãäå F (x) îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ f (x), à C ïðîèçâîëüíàÿïîñòîÿííàÿ. RÏðèìåð. cos xdx = sin x + C .Çàìå÷àíèå ïî Rïîâîäó îáîçíà÷åíèÿ: ïî÷åìóR èñïîëüçóåòñÿ òàêîå îáîçíà÷åíèå: f (x)dx, à íå áîëåå êðàòêîå: f (x)? Âî-ïåðâûõ,ïîòîìó, ÷òî dx óêàçûâàåò, ïî êàêîé ïåðåìåííîé èùåòñÿ ïåðâîîáðàçíàÿ:ZZyx2xy 2xydx =+ C;xydy =+ C.22Âî-âòîðûõ, äèôôåðåíöèàë dx èãðàåò ðîëü â ôîðìóëå çàìåíûïåðåìåííîé, î êîòîðîé ïîéäåòR ðå÷ü â ðàçäåëå 3.Îòìåòèì, ÷òî ñèìâîëîì f (x)dx ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êàêâñþ ñîâîêóïíîñòü ïåðâîîáðàçíûõ, òàê è íåêîòîðóþ èç íèõ.Ïîñòàâèì âîïðîñ: äëÿ êàêèõ ôóíêöèé f (x) ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ? Ïîçäíåå ìû ïîêàæåì, ÷òî ïåðâîîáðàçíàÿ ñóùåñòâóåòäëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé íà ïðîìåæóòêå ôóíêöèè f (x).

Ðàçðûâíûå ôóíêöèè òàêæå ìîãóò èìåòü ïåðâîîáðàçíóþ.Ïðèìåð. Ôóíêöèÿ(F (x) =1x2 sin ,0,åñëè x 6= 0,åñëè x = 0xÃë. 5. Èíòåãðàëû84ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé íà (−∞; +∞) äëÿ ôóíêöèè(f (x) =112x sin − cos ,xx0, åñëè x = 0,åñëè x 6= 0,êîòîðàÿ ðàçðûâíà â òî÷êå x = 0, ïîñêîëüêó lim f (x) íå ñóùåñòâóx→åò. Ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x), åñëè x 6= 0, ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåä1ñòâåííî ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè x sin ; ðàâåíñòâîxF 0 (0) = f (0) = 0 òðåáóåò îòäåëüíîãî îáîñíîâàíèÿ (ïîëó÷èòå ýòîðàâåíñòâî, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ïðîèçâîäíîé).Åñëè ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ f (x) ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé, òî ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë02Zf (x)dxâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîèíòåãðàë îò ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè ìîæåò íå âûðàæàòüñÿ ÷åðåçýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, ò.å. êëàññ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé íåçàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ.RRR sin xdx ýòè èíòåãðàÏðèìåðû: e−x2 dx; sin(x )dxxëû íå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.Òàáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ.2R1) xα dx =xα+1+Cα+1(α 6= −1);R dx2)= ln |x| + C ;R x3) sin xdx = − cos x + C ;4) (äîïèøèòå òàáëèöó ñàìîñòîÿòåëüíî).Ÿ 2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâR1) d ( f (x)dx) = f (x)dx;R2) dF (x) = F (x) + C ;RRR3) (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx;RR4) ∀k ∈ R (k 6= 0) :kf (x)dx = k f (x)dx.Ñâîéñòâà 1) è 2) ñëåäóþò èç ðàâåíñòâ (5.1) è (5.2) (ñì.

ðàçäåë5.1).3. Äâà ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ85Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà 3). Ïóñòü F (x) è G(x) ïåðâîîáðàçíûå äëÿ f (x) è g(x) ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà F 0 (x) == f (x), G0 (x) = g(x) èZZf (x)dx = F (x) + C1 ;g(x)dx = G(x) + C2 ,ãäå C è C ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Ñëîæèì (âû÷òåì) äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà:12ZZf (x)dx ± g(x)dx = F (x) ± G(x) + (C1 ± C2 ).(5.3)Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîñêîëüêó F (x) ± G(x) 0 = F 0 (x) ± G0 (x) == f (x) ± g(x), òî ôóíêöèÿ F (x) ± G(x) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîéäëÿ ôóíêöèè f (x) ± g(x), ïîýòîìóZf (x) ± g(x) dx = F (x) ± G(x) + C ,(5.4)ãäå C ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.

Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòèðàâåíñòâ (5.3) è (5.4), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâóZZZ(f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà 4) äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî.Ÿ 3. Äâà ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿÇàìåíà ïåðåìåííîéÒåîðåìà 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ x = ϕ(t) îïðåäåëåíà è äèôôåðåí-öèðóåìà íà ïðîìåæóòêå T è ìíîæåñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿïðîìåæóòîê X . Ïóñòü íà X îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f (x), èìåþùàÿïåðâîîáðàçíóþ F (x). Òîãäà ôóíêöèÿ F (ϕ(t)) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (ϕ(t))ϕ0 (t) íà ïðîìåæóòêå T .Äîêàçàòåëüñòâî.

Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî F 0 (x) = f (x) è ïðàâèëîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì:0F (ϕ(t)) = F 0 (ϕ(t)) · ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t),÷òî è äîêàçûâàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.Ãë. 5. Èíòåãðàëû86Ñëåäñòâèå. ÏîñêîëüêóZàf (ϕ(t))ϕ0 (t)dt = F (ϕ(t)) + C ,(5.5)ZF (ϕ(t)) + C = (F (x) + C)x=ϕ(t)= f (x)dx,x=ϕ(t)òî ôîðìóëó (5.5) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZZ= f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt.f (x)dxx=ϕ(t)Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé çàìåíû ïåðåìåííîé âíåîïðåäåëåííîìèíòåãðàëå. Îíà ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè âRèíòåãðàëå f (x)dx äåëàåòñÿ çàìåíà ïåðåìåííîé x = ϕ(t),òî íóæíî ïîäñòàâèòü âìåñòî x ôóíêöèþ ϕ(t), à âìåñòîdx äèôôåðåíöèàë dϕ(t) = ϕ0 (t)dt ( òåì ñàìûì ïðîÿñíÿåòñÿïðåäíàçíà÷åíèå ìíîæèòåëÿdx â îáîçíà÷åíèè èíòåãðàëà).RÏðèìåðû. 1) sin(αx)dx.Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x = t/α. Òîãäà dx = dt/α è ïîôîðìóëå çàìåíû ïåðåìåííîé ïîëó÷àåì:Zsin(αx)dx =2)Zr1αZ11ααsin tdt = − cos t + C = − cos αx + C.xdx (a > 0).a−xÏîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå0 6 x < a.

Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x = a sin t, ãäå0 6 t < π/2. Òîãäà2dx = 2a sin t cos tdt, sin t =rxa, t = arcsinrxa, cos t =rxa1− .Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó çàìåíû ïåðåìåííîé, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâàì:Zrx=dxa−xx=a2 sin t= 2aZZsa sin2 t· 2a sin t cos tdt =a − a sin2 tZZsin t· sin t cos tdt = 2a sin2 tdt = a (1 − cos 2t)dt =cos tsin 2t=a t−+ C = a(t − sin t cos t) + C.23. Äâà ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ87Âîçâðàùàÿñü îò ïåðåìåííîé t ñíîâà ê ïåðåìåííîé x (ñ ïîìîùüþâûðàæåíèé äëÿ t, sin t è cos t), ïîëó÷àåì:Zrrr rxxxxdx = a · arcsin−a1− +C =a−xaaarpx− x(a − x) + C.= a · arcsinaÈíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿìÒåîðåìà 3. Ïóñòü ôóíêöèèu(x) è v(x) îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû íà ïðîìåæóòêå X è ïóñòü ôóíêöèÿ v(x)u0 (x) èìååòïåðâîîáðàçíóþ, òî åñòü íà ïðîìåæóòêå X ñóùåñòâóåò èíòåãðàëZv(x)u0 (x)dx.Òîãäà èíòåãðàëZu(x)v 0 (x)dxòàêæå ñóùåñòâóåò íà ïðîìåæóòêå X è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîZZ0u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx.Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì0u(x)v(x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x),0îòêóäàñëåäóåò:u(x)v 0 (x) = u(x)v(x) − u0 (x)v(x). Ôóíêöèÿ0u(x)v(x) èìååò ïåðâîîáðàçíóþ [u(x)v(x)], ôóíêöèÿ u0 (x)v(x)èìååò ïåðâîîáðàçíóþ ïî óñëîâèþ òåîðåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ u(x)v 0 (x) òàêæå èìååò ïåðâîîáðàçíóþ è ïðè ýòîìZu(x)v 0 (x)dx =Z[u(x)v(x)]0 − v(x)u0 (x) dx =Z= u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx,÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ãë. 5. Èíòåãðàëû88Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó v 0 (x)dx = dv , u0 (x)dx = du, òî ôîðìóëóèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZZudv = uv − vdu.Ñìûñë èíòåãðèðîâàíèÿïî ÷àñòÿì ñîñòîèò â òîì, ÷òî Râû÷èñëåíèåRèíòåãðàëà udv ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëà vdu, êîòîðûé ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîùå èñõîäíîãî èíòåãðàëà. Ïðèìåð:ZZxZxxxe dx = xd(e ) = xe − ex dx = xex − ex + C.Ÿ 4.

Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèéÐàöèîíàëüíàÿôóíêöèÿ(èëèðàöèîíàëüíàÿäðîáü)Pn (x)/Qm (x) íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè n < m (çäåñü nè m ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ Pn (x) è Qm (x)). Ïðàâèëüíóþðàöèîíàëüíóþ äðîáü ìîæíî ðàçëîæèòü íà ñóììó òàê íàçûâàåìûõïðîñòåéøèõ äðîáåé. Ðàññìîòðèì ïðèìåð:xBCx + DxA=++ 2==2x−1x+1x −1(x − 1)(x + 1)(x + 1)x +14=x3 (A + B + C) + x2 (A − B + D) + x(A + B − C) + (A − B − D).(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)Îòñþäà, ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ xâ ÷èñëèòåëÿõ ëåâîé è ïðàâîé äðîáåé, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî A, B , C è D:A + B + C = 0,A − B + D = 0, A + B − C = 1,A − B − D = 0,êîòîðàÿ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå A = B = 1/4, C = −1/2,D = 0.

Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ðàçëîæåíèå èìååò âèä:x11x=+−.4(x − 1) 4(x + 1) 2(x2 + 1)x4 − 1Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îáùåìó ñëó÷àþ ïðîèçâîëüíîé ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè Pn (x)/Qm (x). Ïóñòü çíàìåíàòåëü Qm (x)èìååò ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè:Qm (x) = (x − a)α ... (x − b)β (x2 + px + q)γ ... (x2 + rx + s)δ ,4. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé89ãäå ÷èñëà a, ... , b ðàçëè÷íûå âåùåñòâåííûå êîðíè ýòîãî ìíîãî÷ëåíà; x + px + q , ... , x + rx + s êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, èìåþùèå êîìïëåêñíûå(ðàçëè÷íûå) êîðíè; α, ...

, δ íàòóðàëüíûå ÷èñëà êðàòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîðíåé, ïðè÷åì, êàê íåòðóäíî âèäåòü,(α + ... + β) + 2(γ + ... + δ) = m. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âñÿêèéìíîãî÷ëåí ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò åäèíñòâåííîå ðàçëîæåíèå óêàçàííîãî âèäà; îíî íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåììíîãî÷ëåíà ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè íà ïðîèçâåäåíèå íåïðèâîäèìûõ âåùåñòâåííûõ ìíîæèòåëåé.Ïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü Pn (x)/Qm (x), ó êîòîðîéçíàìåíàòåëü èìååò ïðèâåäåííîå âûøå ïðåäñòàâëåíèå, ìîæíî ðàçëîæèòü, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì îáðàçîì, íà ñóììó ïðîñòåéøèõäðîáåé ñëåäóþùåãî âèäà:22Pn (x)A1AαAα−1Bβ+ ... ++=+ ... +α +α−1Qm (x)(x − a)(x − a)(x − a)(x − b)β+ ... ++B1M x + NγM x + N1+ 2 γ+ ... + 2 1+ ...

+(x − b)(x + px + q)γx + px + qL x + K1Lδ x + Kδ+ ... + 2 1.(x2 + rx + s)δx + rx + sÊîýôôèöèåíòû Aα , ... , K ìîæíî îïðåäåëèòü òàêèì æå ñïîñîáîì, êàê â ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå. Ýòîò ñïîñîá íàõîæäåíèÿêîýôôèöèåíòîâ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ.Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðîâàíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîéäðîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ïðîñòåéøèõ äðîáåé ÷åòûðåõòèïîâ. Ðàññìîòðèì èíòåãðàëû îò ýòèõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé.1)ZZ1Adx = Ax−a2)ZAdx = A(x − a)α=3)Zd(x − a)= A ln |x − a| + C.x−ad(x − a)1= A(x − a)−α+1+C =(x − a)α−α + 1A+ C (α ∈ N, α > 1).(1 − α)(x − a)α−1ZMx + Ndx,x2 + px + qÃë. 5.

Èíòåãðàëû90ïðè÷åì p − 4q < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x ++ px + q èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè.p2Ââåäåì îáîçíà÷åíèå a = q − è ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé4pt = x + . Òîãäà x + px + q = (x + p/2) + (q − p /4) = t + a ,2x = t − p/2, dx = dt. Ñëåäîâàòåëüíî,2222ZMx + Ndx =2x + px + qZMp+ N−2==2M2ZM (t − p/2) + Ndt = Mt2 + a2dtM=222t +aM22ZZ2tdt+t + a22 Zd(t2 + a2 )Mp 1+ N−222 at +a2d(t/a)=1 + (t/a)2Mp 1tln(t2 + a2 ) + N −arctg =22N − M pln(x2 + px + q) + q2 q − p2 /44)Zaax + p/2arctg qq − p2 /4+ C.Mx + Ndx,(x2 + px + q)αïðè÷åì α ∈ N, α > 1, à êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x + px + q èìååòêîìïëåêñíûå êîðíè.p2Ñíîâà ââåäåì îáîçíà÷åíèå a = q −è ñäåëàåì çàìåíó ïåðå4ìåííîé t = x + p/2.ÒîãäàZZ22Mx + Ndx =(x + px + q)α2=M2=ZZM t + (N − M p/2)dt =(t2 + a2 )αd(t2 + a2 )+ (N − M p/2)(t2 + a2 )αZdt=(t + a2 )α2M+ (N − M p/2)Jα ,2(1 − α)(t2 + a2 )α−1dtãäå Jα =(α > 1).

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà Jα(t2 + a2 )αâîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ñ÷èòàÿ α > 1:ZJα =dtt= 2−22 α(t + a )(t + a2 )αZ1td22 α(t + a )=t−(t + a2 )α24. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé91ZZ 2tt + a2 − a2− t(−α)(t2 + a2 )−α−1 · 2tdt = 2+2αdt =2 α22 α+1t= 2+ 2α(t + a2 )α=Z(t + a )dt− a222 α(t + a )Z(t + a )dt2(t + a2 )α+1=t+ 2αJα − 2αa2 Jα+1 .(t + a2 )α2Îòñþäà ïîëó÷àåì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ Jα :Jα+1 =ÏîñêîëüêóZJ1 =12αa2dt1=22at +at+ (2α − 1)Jα .2(t + a2 )αZd(t/a)1t= arctg + C ,2aa1 + (t/a)òî, ïîëàãàÿ â ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå α = 1, íàõîäèì J :2ZJ2 =11dttt= 2 2+ arctg+ C;a(t2 + a2 )22a t + a2 aïîëàãàÿ â ðåêóððåíòíîé ôîðìóëå α = 2 è çíàÿ J , íàéäåì J , èò.ä.Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ èç ïðîñòåéøèõ äðîáåé èíòåãðèðóåòñÿâ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü Pn (x)/Qm (x) íåïðàâèëüíàÿ, ò.å.n > m, òî, ðàçäåëèâ Pn (x) íà Qm (x), ïîëó÷èì23Pn (x) = Qm (x) · Tn−m (x) + Rk (x),ãäå Tn−m (x) è Rk (x) ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè n − m è k, ïðè÷åìk < m.