В.Ф. Бутузов - Лекции по математическому анализу, страница 14

ÎòñþäàPn (x)R (x)= Tn−m (x) + k,Qm (x)Qm (x)ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü. Òåì ñàìûì, èíòåãðèðîâàíèå íåïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ìíîãî÷ëåíà è ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè.Îáùèé âûâîä: ëþáàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.Ãë. 5.

Èíòåãðàëû92Çàìå÷àíèå. Ïóñòü Qm (x) = (x − a)α ϕ(x), ãäå ϕ(a) 6= 0, ò.å.x = a âåùåñòâåííûé êîðåíü êðàòíîñòè α. ÒîãäàAα−1Pn (x)Pn (x)Aα+==+ ... .Qm (x)(x − a)α ϕ(x)(x − a)α(x − a)α−1Óìíîæèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà (x − a)α è ïîëîæèâ çàòåì x == a, ïîëó÷èì:Aα =Pn (a)P (x) = n .ϕ(a)ϕ(x) x=aÒàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè êîýôôèöèåíò Aα , íóæíî â äðîáèPn (x)âû÷åðêíóòü â çíàìåíàòåëå ìíîæèòåëü (x − a)α , à(x − a)α ϕ(x)çàòåì â îñòàâøåìñÿ âûðàæåíèè ïîëîæèòü x = a. Òàêîé ñïîñîáíàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà Aα íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì âû÷åðêèâàíèÿ.Ïðèìåðû.1) Âû÷èñëèì èíòåãðàë îò ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè,ðàññìîòðåííîé â íà÷àëå ýòîãî ðàçäåëà:Zx1dx =24(x − 1)(x + 1)(x + 1)Zdx1+x−14Zdx1−x+12Zxdx=x2 + 1111 x2 − 1 1+ C.= ln |x − 1| + ln |x + 1| − ln(x + 1) + C = ln 24444x + 122)Zdx.x − a22Ðàçëîæèì ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ íà ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé:122x −a=1(x − a)(x + a)=AB+.x−ax+aÈñïîëüçóÿ ìåòîä âû÷åðêèâàíèÿ, íàõîäèì A è B : A ==−1.

Èòàê,2aZdx1=222ax −aZ1x−a−1x+a1, B=2adx =11 x − a =ln |x − a| − ln |x + a| + C =ln+ C.2a2a x + a 4. Èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé93Ýòî èíòåãðàë íîñèò íàçâàíèå ¾âûñîêèé ëîãàðèôì¿.3)Zdxpx2 + 1.Ïåðâûé ñïîñîá. Âîñïîëüçóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé Ýéëåðàt=x+Òîãäà t − x =x=px2 + 1 .px2 + 1 =⇒ t2 − 2xt + x2 = x2 + 1, îòêóäàt2 − 1,2tdx =2t · 2t − 2(t2 − 1)t2 + 1dt=dt,4t22t2pt2 − 1t2 + 1x2 + 1 = t − x = t −=.2tÑëåäîâàòåëüíî,ZZdxpx2+1=t2 + 12t·dt =2t2 t2 + 1Z2tdt= ln |t| + C =tp= ln x + x2 + 1 + C.Âòîðîé ñïîñîá.

Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x = sh t =Òîãäàpdx = ch tdt, t = ln x + x + 1 .et − e−t2Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâî sh t + 1 = ch t, ïîëó÷àåì:2Zdxp=x2 + 1Z2pch tdt= t + C = ln x + x2 + 1ch tÀíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ ðàâåíñòâîZdxpÈòàê,Zx2 − 1dxpx2 ± 1p= ln x + x2 − 1 + C.p2= ln x + x ± 1 + C.Ýòîò èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ ¾äëèííûé ëîãàðèôì¿.+ C.2.Ãë. 5. Èíòåãðàëû944)Zdx.5 cos x + 4Ïîëîæèì t = tg(x/2), òîãäàx = 2 arctg t,dx =2dt1+t5 cos x + 4 =,2cos x =1 − tg2x1 + tg2x2=21 − t2,1 + t25 − 5t29 − t2+4=.21+t1 + t2Èñïîëüçóÿ âûïèñàííûå ðàâåíñòâà, à òàêæå ôîðìóëó ¾âûñîêîãîëîãàðèôìà¿, ïîëó÷àåì:Zdx=5 cos x + 42Zdt1 + t2·= −21 + t2 9 − t2Zdt=t −92 x tg − 3 2t − 31 = − ln + C = − ln x2 + C.6t + 33 tg + 3 2Ÿ 5. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàÏóñòü ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà íà ñåãìåíòå [a, b], ãäå a << b.

Âûáåðåì íà ñåãìåíòå [a, b] ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì òî÷êèx1 , x2 , ..., xn−1 , òàê, ÷òîa = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b.ξ1 ξ 2a = x0 x1 x2ξixi -1 xiξnxn -1 xn = bÐèñ. 5.1.Îïðåäåëåííûé âûáîð òî÷åê x , x , ..., xn− íàçîâåì ðàçáèåíèåì ñåãìåíòà [a, b], ñàìè òî÷êè x , x , ..., xn− íàçîâåì òî÷êàìè ðàçáèåíèÿ, à ñåãìåíòû [xi− , xi ](i == 1, ..., n) ÷àñòè÷íûìè ñåãìåíòàìè. Íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ] âîçüìåì êàêóþ-íèáóäü òî÷êó ξi(ðèñ. 5.1). Òî÷êè ξi íàçûâàþòñÿ ïðîìåæóòî÷íûìè òî÷êàìè.112112115. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàÏîëîæèì ∆xi = xi − xi− (çàìåòèì, ÷òî ∆xi > 0) è ñîñòàâèìñóììó1I(xi , ξi ) =nX95yf (ξi ) · ∆xi .i=1ξ b=x xO a ξ x1 x ξ x×èñëî I(xi , ξi ) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé ôóíêöèè f (x),ñîîòâåòñòâóþùåé äàííîìó ðàçáèåíèþ ñåãìåíòà [a, b] è äàííîìó âûáîðó ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷åêξi íà ÷àñòè÷íûõ ñåãìåíòàõ [xi− , xi ].Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíòåãðàëüíîé ñóììû äëÿ f (x) > 0 ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû (ðèñ.

5.2).Ïóñòü ∆ = max ∆xi . Âåëè÷èíó ∆ íàçûâàþò äèàìåòðîì ðàç6i6náèåíèÿ.Îïðåäåëåíèå. ×èñëî I íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóììI(xi , ξi ) ïðè ∆ → 0, åñëè ∀ε > 0 ∃δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãîðàçáèåíèÿ [a, b], ó êîòîðîãî ∆ < δ , è ëþáîãî âûáîðà òî÷åê ξiâûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî1i -1 ininÐèñ.

5.2.11|I(xi , ξi ) − I| < ε.Åñëè ñóùåñòâóåò lim I(xi , ξi ) = I , òî ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåò∆→ñÿ èíòåãðèðóåìîé (ïî Ðèìàíó) íà [a, b], à ÷èñëî I íàçûâàåòñÿîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f (x) ïî ñåãìåíòó [a, b] èîáîçíà÷àåòñÿ òàê:0ZbI = f (x)dx.aÃåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëàRbäëÿíåïðå-ðûâíîé ôóíêöèè f (x) > 0: èíòåãðàëf (x)dx ðàâåíaïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè (ðèñ. 5.3) (ýòî áóäåò äîêàçàíîâ ãëàâå 11).

Ôèçè÷åñêèå ïðèìåðû:1) S =Zt2v(t)dt ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé ïî ïðÿìîé çàt1ïðîìåæóòîê âðåìåíè [t , t ] ïðè ñêîðîñòè v(t).12Ãë. 5. Èíòåãðàëû96Zb2) A = f (x)dx ðàáîòà ñèëûyaf (x) ïðè ïåðåìåùåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî îñè x èç òî÷êè a â òî÷êó b (íàïðàâëåíèå ñè-y = f ( x)bS = ò f ( x)dxaOaxbÐèñ.

5.3.Rbaëû ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñèx, åñëè f (x) > 0, è ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îñè x, åñëèf (x) < 0).Ïîñòàâèì âîïðîñ: äëÿ êàêèõ ôóíêöèé f (x) ñóùåñòâóåòf (x)dx, òî åñòü êàêèå ôóíêöèè èíòåãðèðóåìû?Íåîãðàíè÷åííàÿ íà ñåãìåíòå [a, b] ôóíêöèÿ f (x) íåèíòåãðèðóåìà, òàê êàê äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ [a, b] èíòåãðàëüíàÿ ñóììànXf (ξi ) · ∆xi ìîæåò áûòü ñäåëàíà ñêîëü óãîäíî áîëüøîé çài=1ñ÷åò âûáîðà òî÷åê ξi , è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ñóùåñòâóåò ïðåäåëàèíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðè ∆ → 0.Ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé.1) f (x) = c = const, x ∈ [a, b].Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ [a, b] è ëþáîãî âûáîðà òî÷åê ξi :I(xi , ξi ) =nXf (ξi )∆xi = ci=1Ñëåäîâàòåëüíî,òî åñòünX∆xi = c(b − a).i=1lim I(xi , ξi ) = c(b − a),∆→0Zbcdx = c(b − a)aÈòàê, ïîñòîÿííàÿ íà ñåãìåíòå ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà íà ýòîìñåãìåíòå.

åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî,2) f (x) = 1,0, åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî, ãäå x ∈ [a, b] (ôóíêöèÿ Äèðèõëå).Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b] èíòåãðàëüíàÿ ñóììà6. Ñóììû Äàðáó97I(xi , ξi ) ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ îò 0 äî (b − a) â çàâèñèìîñòèîò âûáîðà òî÷åê ξi . Ñëåäîâàòåëüíî, íå ñóùåñòâóåò lim I(xi , ξi ),∆→0òî åñòü ôóíêöèÿ Äèðèõëå íå èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó. äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îãðàíè÷åííûåôóíêöèè.Íàøà öåëü äîêàçàòü èíòåãðèðóåìîñòü íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, íåêîòîðûõ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé, â ÷àñòíîñòè, êóñî÷íîíåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, è ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. Äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ ðàçâèòü òåîðèþ âåðõíèõ è íèæíèõ ñóìì Äàðáó.Ÿ 6.

Ñóììû ÄàðáóÏóñòü f (x) îãðàíè÷åííàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ. Ðàññìîòðèìïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] íà ÷àñòè÷íûå ñåãìåíòû[xi− , xi ], i = 1, 2, ..., n. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:1Mi = sup f (x), mi =[xi−1 ,xi ]inff (x)[xi−1 ,xi ]è ñîñòàâèì äâå ñóììû:S=nXMi ∆xi ; s =i=1nXmi ∆xi ,i=1ãäå ∆xi = xi − xi− .×èñëà S è s íàçûâàþòñÿ âåðõíåé è íèæíåé ñóììàìè ôóíêöèèf (x) äëÿ äàííîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà [a, b] èëè, êîðîòêî, âåðõíåéè íèæíåé ñóììàìè Äàðáó.Câîéñòâà ñóìì Äàðáó.I. Òàê êàê ∀ξi ∈ [xi− , xi ] âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàmi 6 f (ξi ) 6 Mi , òî11nXi=1mi ∆xi 6nXf (ξi )∆xi 6i=1nXMi ∆xi ,i=1òî åñòü äëÿ äàííîãî ðàçáèåíèÿs 6 I(xi , ξi ) 6 S.(5.6)Èòàê, ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äàííîãî ðàçáèåíèÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó íèæíåé è âåðõíåé ñóììàìè ýòîãî ðàçáèåíèÿ. Èíà÷åãîâîðÿ, íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû äàííîãî ðàçáèåíèÿ ÿâëÿþòñÿ4 Â.Ô.

ÁóòóçîâÃë. 5. Èíòåãðàëû98íèæíåé è âåðõíåé ãðàíÿìè ìíîæåñòâà èíòåãðàëüíûõ ñóìì ýòîãîðàçáèåíèÿ. Áîëåå òîãî,s = inf {I(xi , ξi )} , S = sup {I(xi , ξi )} .(5.7)Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî òî÷êó ξi íà ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xi− , xi ]ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî çíà÷åíèå f (ξi ) áóäåò ñêîëü óãîäíî ìàëîîòëè÷àòüñÿ îò mi (è òàêæå îò Mi ).II. ×òîáû îòëè÷àòü îäíî ðàçáèåíèå ñåãìåíòà [a, b] îò äðóãîãî,áóäåì îáîçíà÷àòü ðàçáèåíèÿ áóêâîé T ñ ðàçëè÷íûìè èíäåêñàìè.Ïóñòü ðàçáèåíèå T ñåãìåíòà [a, b] ïîëó÷åíî ïóòåì äîáàâëåíèÿ íåñêîëüêèõ íîâûõ òî÷åê ê ðàçáèåíèþ T . Íèæíþþ èâåðõíþþ ñóììû ðàçáèåíèé T è T îáîçíà÷èì s , S è s , Sñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà121112122s2 > s1 , S2 6 S1 .Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðè èçìåëü÷åíèè ðàçáèåíèÿ íèæíÿÿ ñóììàíå óáûâàåò, à âåðõíÿÿ íå âîçðàñòàåò.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëàDx¢¢Dx¢ñëó÷àé, êîãäà ê ðàçáèåíèþ T äîáàâëå678 678íà òîëüêî îäíà íîâàÿ òî÷êà ðàçáèåíèÿ:ax j -1 x¢ x jbx0 ∈ [xj− , xj ] (ðèñ. 5.4). Äîêàæåì, ÷òîáóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî S 6 S(íåðàâåíñòâî s > s äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿjj11Ðèñ. 5.4.2112∆x0j = x0 − xj−1 , ∆x00j = xj − x0 , Mj0 = sup f (x), Mj00 = sup f (x).[xj−1 ,x0 ][x0 ,xj ]Òîãäà∆xj = xj − xj−1 = ∆x0j + ∆x00j , Mj0 6 Mj , Mj00 6 Mj .ÏîýòîìóS1 − S2 = Mj ∆xj − Mj0 ∆x0j + Mj00 ∆x00j == Mj ∆x0j + ∆x00j − Mj0 ∆x0j − Mj00 ∆x00j == Mj − Mj0 ∆x0j + Mj − Mj00 ∆x00j > 0,(5.8)òî åñòü S 6 S . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè äîáàâëåíî íåñêîëüêîíîâûõ òî÷åê ðàçáèåíèÿ, òî íåðàâåíñòâî S 6 S òàêæå âûïîëíÿåòñÿ.21216. Ñóììû Äàðáó99Ïóñòü äëÿ ðàçáèåíèÿ T ∆ = max ∆xi , ïóñòü1sup f (x) = M , inf f (x) = m,[a,b][a,b]è ïóñòü ðàçáèåíèå T ïîëó÷åíî ïóòåì äîáàâëåíèÿ îäíîé íîâîé òî÷êè ê ðàçáèåíèþ T .

Òîãäà èç (5.8) ñëåäóåò íåðàâåíñòâîS − S 6 (M − m) · ∆. Åñëè ðàçáèåíèå T ïîëó÷åíî ïóòåì äîáàâëåíèÿ p íîâûõ òî÷åê ê ðàçáèåíèþ T , òî211221S1 − S2 6 p (M − m) ∆, s2 − s1 6 p (M − m) ∆.(5.9)III. Íèæíÿÿ ñóììà ïðîèçâîëüíîãî ðàçáèåíèÿ íå ïðåâîñõîäèòâåðõíåé ñóììû ëþáîãî äðóãîãî ðàçáèåíèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ñóììû Äàðáó ïðîèçâîëüíûõ ðàçáèåíèé Tè T ðàâíû s , S è s , S . Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî s 6 S ès 6S .Îáîçíà÷èì áóêâîé T îáúåäèíåíèå ðàçáèåíèé T è T . Ïóñòüñóììû Äàðáó ðàçáèåíèÿ T ðàâíû s è S .

Òîãäà, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî II è íåðàâåíñòâà (5.6), ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâàì112212122112s1 6 s 6 S 6 S1 ,s2 6 s 6 S 6 S2 ,èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî s 6 S , s 6 S .IV. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî {s} âñåâîçìîæíûõ íèæíèõ ñóìì èìíîæåñòâî {S} âñåâîçìîæíûõ âåðõíèõ ñóìì (äëÿ äàííîé ôóíêöèè f (x) íà ñåãìåíòå [a, b]). Ìíîæåñòâî {S} îãðàíè÷åíî ñíèçó(ëþáîé íèæíåé ñóììîé) è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü. Ìíîæåñòâî {s} îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ëþáîé âåðõíåéñóììîé) è, ñëåäîâàòåëüíî, èìååò òî÷íóþ âåðõíþþ ãðàíü.

Ââåäåìîáîçíà÷åíèÿI = inf{S}, I = sup{s}.1221×èñëà I è I íàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì èíòåãðàëàìè Äàðáó(îò ôóíêöèè f (x) íà ñåãìåíòå [a, b]).Óòâåðæäåíèå. I 6 I .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî I > I è ïîëîæèì K =1=I + I . Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ òî÷íûõ ãðàíåé ÷èñëîâîãî2ìíîæåñòâà íàéäóòñÿ òàêèå âåðõíÿÿ ñóììà S 0 è íèæíÿÿ ñóììà s00 ,êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì S 0 < K è s00 > K (ðèñ. 5.5).4*Ãë. 5. Èíòåãðàëû100Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî S 0 < s00 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñâîéñòâó III. Ïîýòîìó íàøå ïðåäïîIKIëîæåíèå íåâåðíî, è ñëåäîâàòåëüíî, I 6 I .Èòàê, äëÿ íèæíåé s è âåðõíåé S ñóììëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâàs¢¢S¢Ðèñ.

5.5.(5.10)s 6 I 6 I 6 S.V. Ëåììà Äàðáó.lim S = I ;∆→0lim s = I ,∆→0òî åñòü ∀ε > 0∃δ > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ ñåãìåíòà[a, b], ó êîòîðîãî ∆ < δ , âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâàS − I < ε è I − s < ε.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ âåðõíèõ ñóìì.ÏóñòüM = sup f (x), m = inf f (x).[a,b][a,b]Åñëè M = m, òî f (x) = const = M = m, è äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿñåãìåíòà [a, b] èìååì: S = m(b − a), I = m(b − a) è, ñëåäîâàòåëüíî, lim S = I .∆→Ïóñòü M > m.