Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 7

Исследовать на непрерывность по каждому аргументу и посовокупности:11f ( x, y )  ( x  y ) sin sin ,xyf (0;0)  0;6. Исследовать на дифференцируемость:при x 2  y 2  0 иf ( x, y )  e1x2  y 27.f (0;0)  0;Найти дифференциалы du, d 2u для функции u  f (z ), если z  x 2  y 2 ;2 z8.Найтинеявной функции z  z ( x, y ), если F (u, v)  0, гдеxyu  x  y  z , v  x  y  z;9. Перейти к новым переменным u , v, w, где w  w(u , v), в уравнении:2z2zy 2 z2 (1  ) 2  0, если u  x, v  x  y, w  x  y  z;x 2xyx y2210. Исследовать на равномерную непрерывность в области Q : x  y  11333функцию: f ( x, y )  x  y arctg 4 4 ;x y11.

Разложить по формуле Маклорена до членов 6-го порядка малости:f ( x, y )  3 1  sin( x 2  y 2 ) ;*)По усмотрению преподавателя, рекомендуется вставить в варианты зачётной работы несколькоформулировок и определений из предлагаемого списка.4112. Определить наибольшее и наименьшееu  z 2  3xy  y 2 в области S : x 2  y 2  10.значенияфункцииВариант № 2.;22. Вычислить площадь D : r  a (1  cos  )x1cos x  e 2dx;3. Исследовать на сходимость:  3ln x  x p01. Найти длину дуги кривой: r  1  cos4. Исследоватьln(1  x) sin( x 2 )0x 3 (1  x p )5. Исследоватьнаабсолютнуюиусловнуюсходимость:dx;на непрерывность по каждому аргументу и посовокупности: f ( x, y )  xysin x  sin y, f (0;0)  0;x y6.

Исследовать на дифференцируемость: f ( x, y )  3 x 4  y 47.Найти дифференциалы2du , d 2uдля функцииu  f (z ),если2z  sin( x  y );2zнеявнойxyv  x  y  z , u  x  y  z;8. Найтифункцииz  z ( x, y ),еслиF (u , v)  0,где9. Перейти к новым переменным u , v, w, где w  w(u , v), в уравнении: 2 z  2 z zx yx y z , если w  ze y , v ,u;2xy x22x2210.

Исследовать на равномерную непрерывность в области Q : x  y  11функцию: f ( x, y )  3 xy sin x 2  y 2 ;11. Разложить по формуле Маклорена до членов 6-го порядка малости:f ( x, y )  e 2 x  y arctg ( x 2  y 2 );12. Определить наибольшее и наименьшее значения функции u  x  y  zв области S : x 2  y 2  z  1.СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛИРОВОК ТЕОРЕМ.II СЕМЕСТР.1. Определение разбиения сегмента, измельчения и объединенияразбиений.2.

Определение интегральной суммы, нижней и верхней сумм.3. Определение предела интегральных сумм.424. Определение интегрируемости функции по Риману.5. Необходимое условие интегрируемости.6. Соотношения между интегральной суммой и нижней и верхнейсуммами.7. Выражение верхней и нижней сумм через интегральные суммы8. Понятие верхнего и нижнего интегралов Дарбу.9.

Оценка изменения верхней (нижней) суммы при добавлении кразбиению l новых точек.10. Определение предела верхних (нижних) сумм при стремлениидиаметра разбиений к нулю.11. Основная лемма Дарбу.12. Критерий интегрируемости функции (через интегралы Дарбу).13. Критерий интегрируемости функции (через верхние и нижниесуммы).14. Основные классы интегрируемых функций.15. Условия интегрируемости сложной функции.16.

Основные свойства интегралов.17. Основные оценки интегралов.18. Первая теорема о среднем значении интеграла.19. Вторая теорема о среднем значении интеграла.20. Теоремы о свойствах интеграла с переменным верхним пределом.21. Основная теорема интегрального исчисления (Лейбниц).22. Теорема о замене переменной в интеграле.23. Теорема об интегрировании по частям.24. Определение несобственного интеграла первого рода.25. Определение несобственного интеграла второго рода.26.

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первогорода.27. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второгорода.28. Общий признак сравнения несобственных интегралов первого рода.29. Частный признак сравнения несобственных интегралов первогорода.30. Определение условной сходимости несобственного интегралапервого рода.31. Теорема Дирихле-Абеля сходимости несобственного интегралапервого рода.32. Теорема о замене переменной в несобственном интеграле.33. Теорема об интегрировании по частям в несобственном интеграле.34. Определение простой кривой, параметризуемой кривой.35.

Определение спрямляемой кривой.4336. Теорема о длине дуги параметризуемой кривой.37. Понятие площади плоской фигуры.38. Критерии квадрируемости плоской фигуры.39. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора.40. Определение объема тела в пространстве.41. Классы кубируемых тел.42. Формула прямоугольников (трапеций) приближенного вычисленияинтегралов и оценка погрешности.43. Теорема Тейлора для функции одной переменной с остаточнымчленом в интегральной форме.44. Определение по Коши предела функции многих переменных вточке.45. Определение по Гейне предела функции многих переменных в точке46.Критерий Коши существования предела функции многихпеременных в точке.47. Определение сходящейся последовательности точек в пространствеRm.48.Понятий фундаментальной последовательности точек впространстве R m .49.Критерий Коши сходимости последовательности точек впространстве R m .50.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.51. Определение непрерывности функции многих переменных в точкеa  (a1 ,..., am ) .52. Арифметические свойства функций, непрерывныхв точкеa  (a1 ,..., am ) .53. Теорема о непрерывности сложной функции многих переменных.54. Теорема о прохождении непрерывной функции многих переменныхчерез промежуточное значение.55. Теорема о сохранении знака непрерывной функции многихпеременных в окрестности точки a  (a1 ,..., am ) .56.Первая теорема Вейерштрасса для функции многих переменных.57.Вторая теорема Вейерштрасса для функции многих переменных.58.Определение равномерной непрерывности функции многихпеременных.59.Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции многихпеременных.60.

Определение частной производной функции в точке a  (a1 ,..., am ) .61. Определение дифференцируемости функции в точке a  (a1 ,..., am ) .62.Необходимое условие дифференцируемости функции многихпеременных.63. Достаточное условие дифференцируемости функции многихпеременных.4464.Определение дифференциала функции многих переменных.65. Определение частной производной высокого порядка.66. Теоремы о достаточных условиях независимости смешанныхпроизводных от порядка дифференцирования.67. Определение дифференциала второго порядка функции многихпеременных.68. Определение производной по направлению функции многихпеременных.69.

Градиент функции многих переменных70. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дляфункции многих переменных.71. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для функциимногих переменных.72. Определение локального экстремума функции многих переменных.73. Достаточные условия экстремума функции многих переменных.74. Теорема о существовании, непрерывности и дифференцируемостифункции многих переменных, заданной одним уравнением.75. Теорема о разрешимости системы уравнений неявно заданныхфункций.76. Определение зависимости и независимости функций. Достаточныеусловия независимости.77.

Теорема о функциональных матрицах.78. Понятие условного экстремума функции при наличии связей.Необходимо уметь строить отрицания к определениям.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.II СЕМЕСТР.1. Отыскание точек локального экстремума функции одной переменной.Достаточные условия экстремума.2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба.Достаточные условия перегиба.3.

Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графикафункции.4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижнихсуммах.455. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.6. Классы интегрируемых функций.7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов.Формулы среднего значения.8. Основная формула интегрального исчисления.

Формулы заменыпеременного и интегрирования по частям.9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дугикривой.10. Понятие квадрируемости (площади) плоской фигуры. Площадькриволинейной трапеции и криволинейного сектора.11. Понятие кубируемости (объем тела). Кубируемость некоторых классовтел.12. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Формулы заменыпеременного и интегрирования по частям для несобственных интегралов.13.

Признак Абеля-Дирихле. Главное значение несобственного интеграла.14. Метод хорд и его обоснование.15. Метод касательных и его обоснование.16. Приближенные методы вычисления определенных интегралов (дляодного из методов вывести оценку погрешности)17. Различные множества точек и последовательности точек n-мерногопространства.

Теорема Больцано-Вейерштрасса.18. Понятие функции п переменных и ее предельного значения.19. Непрерывность функции п переменных. Основные теоремы онепрерывных функциях.20. Понятие дифференцируемости функции нескольких переменных.Достаточное условие дифференцируемости. Касательная плоскость кповерхности.21. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.Инвариантность формы первого дифференциала.22. Производная по направлению. Градиент.23. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы оравенстве смешанных производных.24. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.25.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.26. Локальный экстремум функции нескольких переменных и егоотыскание.4627. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданнойфункции.28. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений.29. Понятие зависимости функций. Функциональные матрицы и их рольпри исследовании зависимости функций.30.