Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 3

, q  2;2 53n  1q4. Доказать, чтоnk 0, (a  1) .a n n Вариант № 3.2n  1 xn  cos 1  3  nx n , lim x n :1. Найти inf x n  , supx n , limn n 2n 1;n e2    2   (n!) 2  0, (0    e2 ) ;2. Доказать: nlim  n 3.ПользуяськритериемКоши,исследовать1 11x n  1      ... ,   2;3 52n  14. Доказать, чтоan 0, (a  0) .n! n Вариант №4.14насходимость:nx n , lim x n :1. Найти inf x n  , supx n , limn n  n22. Доказать, что limn   e 2  x n  sin 22n  1  1   ;3 nn1  0, (  0) ;2 n!3. Пользуясь критерием Коши, исследовать на сходимость:xn  1 1 11 q  ... , q  1;q2 53n  1qn1, (a  0)4.

Доказать, что a nКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2.ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.Вариант № 11  cos 2 x;1  cos x2. Выделить у данной функции f ( x)  e x  21.Вычислить предел: xlim 03.Определитьf ( x)  [ x] sin x  e4.характерx1xточекxn e 1 главный член вида: c x  1 .разрываследующейфункции.Исследоватьнанепрерывностьследующуюфункцию: tgx, x  рационально,f ( x)   3 , x  иррационально.Вариант № 21.Вычислить предел: xlim 0ln(1  tg 2 x )e3x1;2412.

Выделить у данной функции f ( x)  e x  3 x  e  3 главный член вида: cx  1n .3.Определитьхарактерточекразрываследующейфункцииf ( x)  [ x] cos4. (2 x  1) x  1xe .2Исследоватьнанепрерывностьследующуюфункцию:sin x, x  рационально,f ( x)   1 2 , x  иррационально.Вариант № 31.Вычислить предел: xlim 01  cos x1  cos x;2. Выделить у данной функции f ( x)  e x152 12 xe12главный член вида: cx  1n .3.Определитьхарактерточекразрываследующейфункции1f ( x)  arctg4.x1 1  e 1 x  .x 3 Исследоватьнанепрерывностьследующуюфункцию:ctgx, x  рационально,f ( x)   1, x  иррационально.Вариант № 415x ;1  cos22. Выделить у данной функции f ( x)  e2 x 31.Вычислить предел:3.Определитьlim2x 2 2 xx  0характерточекxn e1 главный член вида: c x  1 .разрываследующейфункции11f ( x)  arcctgx  2 1  e x 1 x .4.Исследоватьнанепрерывностьследующуюфункцию: cos x, x  рационально,f ( x)   1 2 , x  иррационально.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3.ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.

РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ.ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.Вариант № 1ln x2 sin x ;1. Найти d y , если y x( 20 )32x2. Найти y , если y  x  e ; x  arctgt3. Найти yxx , если 2 . y  ln(1  t )4. Исследовать функцию на равномерную непрерывность в указанномпромежутке:f ( x)  e x cos1x x, ( x ).225. Разложить данную функцию f (x) по формулеТейлора вокрестности указанной точки x0 до членов III порядка включительно:f ( x )  x , x0  1 .6.

Найти предел, пользуясь формулой Тейлора:7. Вычислить приближённо с точностьювеличину: 3 29 .tg 2 x8. Раскрыть неопределённость: lim (tgx) .x 416tg (sin x)  2 x3 3  x 2.x 0x5до10 4 следующуюlimВариант №21.2x2Найти d y , если y  x ;( 50 )32.

Найти y , если y  x  sin 3 x ; x  arcsin t3. Найти yxx , если 2 . y  1 t_____________________________________Эту контрольную работу можно, разбив на 2 части, провести на 2 занятиях – по одному часу4. Исследовать функцию на равномерную непрерывность в указанном11промежутке: f ( x)  (ln x) 2 cos , (2  x  ) .x5. Разложить данную функцию f (x) по формулеТейлора вxокрестности указанной точки 0 до членов III порядка включительно:xf ( x)  a  ch , x0  0 .a1  (cos x) tgxlim6.

Найти предел, пользуясь формулой Тейлора:.x 0x  sin 2 x7. Вычислить приближённо с точностью до 10 4 следующую величину:ln(1,3) .8. Раскрыть неопределённость:lim(ctgx) sin xx 0Вариант №3cos x2 ln x ;1. Найти d y , если y x( 47 )32. Найти y , если y  x  cos 4 x ; x  arctgty3. Найти xx , если  y  1 t 2 .24.

Исследовать функцию на равномерную непрерывность в указанном132, (0  x  ) .промежутке: f ( x)  x  1  sinx x5. Разложить данную функциюокрестностиуказанной точкиf ( x )  x x  1, x 0  1 .x0f (x)по формулеТейлора вдо членов III порядка включительно:6. Найти предел, пользуясь формулой Тейлора:7. Вычислить приближённо с точностьювеличину: 4 17 .tg ( x / 2 )8. Раскрыть неопределённость: lim(2  x)x 117lim ( x 2  x 4 ln(1 x до10 41)) .x2следующуюВариант №4ln x21.2.Найти d y , если y  x ;Найти y ( 61) , если y  x 3  ln x ;3. x  ln tНайти yxx , если  y  1 .1 t4.

Исследовать функцию на равномерную непрерывность в указанном11промежутке: f ( x)  (ln x) 3 sin , (2  x  ) .x5. Разложить функцию f (x) по формуле Тейлора в окрестности точки1x0   (т.е.постепеням)дочленовIIIпорядка:xnf ( x )  1  x 2  x , ( x  0)sh(tgx)  x.x36.Найти предел, пользуясь формулой Тейлора:lim7.Вычислить приближённо с точностью доsin 20  .10 4 следующую величину:x 0x8.Раскрыть неопределённость: 1lim  ln  .x  0 xКОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.Вариант №11.Вычислить следующие интегралы:1.dxe x 12.;3.32. x ln x  dx ;3. sin x  cos4. 3x  2 dx.dx4x4.;e x dx2e 2 x  3; x ln (1  x)dx ;dx cos x  sin x ;3241  2x 4 x  3 dx.2x  1Вариант №3Вычислитьинтегралы:Вариант №21.Вычислить следующие интегралы: (eследующиеe t dt2t3 1) 222.18; ln x  dx  ; x  xdx3. cos x  sin4. 2 x  1 dx.3x;1.2  3xdx3  3e 2 x;3 ln x 2.

  dx ; x dx3. ;sin x  cos 3 x3  2xdx.4. 1  3xВариант №4Вычислить следующие интегралы:ЗАЧЁТНАЯ РАБОТА.I СЕМЕСТР.1Вариант № 1.1. Исследовать на сходимость следующую числовуюпоследовательность:xn  1  3111 3  ...  3.352n  1xx.2. Вычислить предел функции: xlim 3. Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость:1f ( x)  ln 1  x 4 cos , f (0)  0 .x24. Найти du , d u , где u  f (v) , а функция v(x) задана так: v  1  x 2 .5. Найти f x, f xx , если y  f (x) , и x, y заданы следующим образом: x  t  sin t. y  cos 2t6. Вычислить следующие неопределённые интегралы:а)  3dx2x (1  x);б)  x x 2  2 x  2 dx ;в)  arcsin x dx .7. Вычислить главный член функциипри x  1 .8. Исследоватьфункциюна1f ( x)  ln x   sin , на полупрямойx1f ( x)  3 1 равномернуюxвида:непрерывность:2  x   .По усмотрению преподавателя в варианты зачётной работы рекомендуется вставить понесколько формулировок и определений из прилагаемого ниже списка формулировок иопределений для первого семестра.19nC 1  x 9.

Доказать функциональное неравенство: x x2 ln(1  x)  x, ( x  0) .210. Разложить по формуле Тейлора в окрестности указанной точки x0 дочленов III порядка следующую функцию: f ( x)  x x  1, x0  1 .11. Вычислитьприближённо с указанной точностью следующуювеличину: 5 до 10 4 .2cos x  elimx 0x412. Пользуясь формулой Тейлора, найти предел: x2.Вариант № 2.1. Исследоватьнасходимость1следующую1числовую1последовательность: x n  1  37 / 3  5 7 / 3  ...

 (2n  1) 7 / 3 ;xx.2. Вычислить предел функции: xlim 03. Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость:1f ( x)  arctg ( x 5 )  sin 2 , f (0)  0 .x224. Найти du , d u , где u  f (v) , а функция v(x) задана так: v( x)  sin(1  x ) .5. Найти f x, f xx , если y  f (x) , и x, y заданы следующим образом: x  r cos r  cos 2 , при . y  r sin 6. Вычислить следующие неопределённые интегралы:а)б) dx43x (1  x);x  x2  x 11 x  x2  x 1dx ;в)  x arctg x dx .7.

Вычислить главный член функции f ( x)  1  x 2  x вида:Cxnприx.8. Исследовать функцию на равномерную непрерывность:f ( x)  3 x 2  sin1x x ln(1  x) ,9. Доказать функциональное неравенство: x 0  x   .x3 x cos x  x, (0  x   ) .210. Разложить по формуле Тейлора в окрестности указанной точки до1 1членов III порядка следующую функцию: f ( x)  ln(1  2 e x ), x   .x2011. Вычислить приближённовеличину: cos 9 до 10 5 .с указанной точностью следующуюe x sin x  x(1  x).x 0x312. Пользуясь формулой Тейлора, найти предел: limСПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛИРОВОК ТЕОРЕМ.I СЕМЕСТР.1.

Определение ограниченного (сверху, снизу) числового множества.2. Определение - число M является (не является) точной верхнейгранью множества X .3. Определение - число M является (не является) точной нижнейгранью множества X .4. Определение предела числовой последовательности.5. Определение ограниченной (неограниченной) последовательности.6. Определение бесконечно малой (не бесконечно малой) числовойпоследовательности.7. Определение бесконечно большой (не бесконечно большой) числовойпоследовательности.8. Определение монотонной последовательности.9.

Теорема о монотонной и ограниченной последовательности.10.Теорема Больцано-Вейрштрасса.11. Определение: последовательность x n  является (не является)фундаментальной.12. Критерий Коши сходимости последовательности.13. Определение функции на числовом множестве.14. Определение ограниченной (не ограниченной) функции намножестве X .15. Определение точной верхней грани функции на множестве X .16. Определение точной нижней грани функции на множестве X .2117. Определение монотонной функции.18. Определение: функция f (x) удовлетворяет (не удовлетворяет)условию Коши при стремлении x к a  0 .19.