Методические указания по курсу математического анализа (1 и 2 семестры), страница 6

Верно ли утверждение: если функция f ( x, y ) дифференцируема вW   x, y  a 2  x 2  y 2 , и одна из частных производных необластиограничена, то она не является равномерно непрерывной в этой области?27. Исследовать функцию на равномерную непрерывность на множествеK   x, y  x 2  y 2  1 :а)в)f ( x, y )  ( x 2  y 2 )   sinf ( x, y )  3 x 2 y 2  sin1;2x  y2б)1.x  y2233f ( x, y )  3 x 3  y 3 arctg1x2  y4;СПИСОК ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.II СЕМЕСТР.1f ( x)  A . Найти предел lim f (nx)dx .1. Пусть f ( x)  C[0,) , xlim n   0f ( x)  2.

Пусть f (x) монотонно возрастает при x  0 и xlim. Верноx ли, что sin( f ( x))dxсходится?Приведите соответствующие0примеры.3. Пусть f ' ( x)bмонотонна и | f ' ( x) | Aна [a, b] . Доказать, что2 sin( f ( x))dx  A .a4. Пусть f (x) монотонна на интервале (0, a ) и существует интегралaxpx p 1 f ( x)  0 .f ( x)dx . Доказать, что тогда xlim 005. Пустьa ( x )  C 1 [ a, b] ,и  f ( x )  C 1 [ a, b] ,b ( x )  C[ a , b ]f (a )  f (b)  0 ,bвыполнено  a( x) f ' ( x)  b( x) f ( x) dx  0 . Доказать, что a' ( x)  b( x) .a16.

Пустьf (x)интегрируема на [0,1] и f ( x)dx  0 .Доказать, что0найдутся 0  a  b  1 такие, что f ( x)  0 на [a, b] .d7. Пусть f ( x)  C[a, b] . Доказать, что | f ( x  h)  f ( x) | dx  0h 0cдля любогоотрезка [c, d ]  (a, b) .8. Доказать, что любая первообразная нечетной функции четна, а средипервообразных четной функции есть, и притом только одна,нечетная функция.9. Пустьf ( x) sin xxприx0иf ( 0)  0 .Доказать, чтоf (x)xинтегрируема на [1,1] , а F ( x)   f (t )dt дифференцируема на (1,1) .1Найти F ' (0) .3410.Пустьf (x)интегрируема на [a, b] и в точке c  (a, b) имеетxнеустранимый разрыв первого рода. Доказать, что F ( x)   f (t )dt неaдифференцируема в точке c .11.

Пусть f (x) непрерывна и неотрицательна на [a, b] . Доказать, чтоb nlim   f ( x)dx n  a1/ n sup f ( x) .x[ a ,b ]e12. Сравнить числаsin 2 x4. Указание: применить формулу3dx и0Тейлора.213. Сравнить числаsin xdx и 0 .x0214. Сравнить числа sin( x2)dx и 0 .01115. Пусть f ( x)  C [0,1] и f (1)  f (0)  1. Доказать, что  f ' ( x) 2dx  1 .016. Пусть f (x) монотонно убывает на [0,1] .

Доказать, что для любогоaa  (0,1) выполнено1 f ( x)dx  a  f ( x)dx .00f ( x, y ) и g ( x, y ) , каждая из которыхявляется разрывной в точке 0, 0 , таких, что: а) их сумма непрерывнав точке 0, 0 ; б) их произведение непрерывно в точке 0, 0 .18. Привести пример функции f ( x, y ) , которая в любой окрестноститочки 0, 0 принимает любые значения из интервала  1,1 .lim f ( x, y )  A и19.

Пусть для функции f ( x, y ) существуют17. Привести пример функций( x , y )( a , b )lim lim f ( x, y )  B . Доказать, что A  B .x  a y b20. Привести пример функции f ( x, y ) , равномерно непрерывной намножестве x  0, y  0 и непрерывной, но не равномернонепрерывной на всей плоскости ( x, y ) .x21. Показать, что функция f ( x, y )  sinнепрерывна в своей областиyопределения E , но не является равномерно непрерывной намножестве E  {x 2  y 2  1} .

Какое условие теоремы Кантора здесьнарушено? x2 y, x2  y2  0 2222. Пусть f ( x, y )   x  y. Показать, что: а) f ( x, y ) является0,x2  y2  0непрерывной в начале координат; б) f ( x, y ) не являетсядифференцируемой в начале координат; в) для любых функцийx(t ), y (t ) , определенных и непрерывно дифференцируемых на отрезке35 1, 1 и таких, чтоx(0)  0, y (0)  0 , x 2 (t )  y 2 (t )  0 при t  0 , функцияF (t )  f ( x(t ), y (t )) дифференцируема при любом t   1, 1 (в частности,при t  0 ). x4 y2, x2  y2  0 84f(x,y)23. Показать, что функцияимеет в точкеx  y0,22x  y 00, 0 производную по любому направлению, но не являетсянепрерывной в этой точке.24.

Представить положительное число a в виде суммы пятиположительных слагаемых так, чтобы их произведение имелонаибольшее значение.25. Через точку A(a, b, c) , a  0, b  0, c  0 , провести плоскость,отсекающую от первого октанта ( x  0, y  0, z  0) тетраэдрнаименьшего объема.КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (КДЗ) №1.ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЁ ГРАФИКА.НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НАМНОЖЕСТВЕ.Вариант № 1.В задачах №1, 2, 3 выполнить полное исследование функции и построитьеё график:1)4)y  ( 12 ) 2 x  ( x 2  3 x  2) ;2)(t  1) 2x,4(t  1) 2y;43) r  a  b cos  ;Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанный в эллипс:2xy21.a2 b2Вариант № 2.В задачах №1, 2, 3 выполнить полное исследование функции и построитьеё график:t2;1) x 1 t2a1;1 t23) r  cos 3 .4) Из всех круговых секторов с данным периметром, равным 2p, найтитот, у которого наибольшая площадь.2) y КОНТРОЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ (КДЗ) №2.36ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА.Вариант №1.1)Найти длину дуги кривой: x  2( sht  t )L: ; t  [0; T ]. y  2(cht  1)2) Определить статическиемоменты и координатыцентра тяжести фигуры:3)В дне котла, имеющего форму полушара (R=52см), образоваласьпробоина (S=0,3см.кв.).

Через сколько времени вытечет вся вода, еслискорость истечения V   2 gh ,   0,6, h  высота столба жидкости?Вариант №2.321) Найти длину дуги кривой: K : y  px , 0  y  a.2) Найти центр тяжести дуги кривой: l : x  y  6 , ( x  0, y  0) .2323233) Какую работу совершает газ, расширяясь в цилиндре от p1  10 атм.до p2  1 атм.? Первоначальный объём V1  100 см. куб. Процессадиабатический, то есть pV   const ,   1,4.КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.Вариант №1.1.Исследовать на сходимость интеграл:ln q (1  x 2 )0 x n dx .2.Исследовать на абсолютную и условную сходимость:sin x  arctg p x0 1  x q dx .Вариант №2.arctg (1  x q )dx .0xn1.

Исследовать на сходимость интеграл:2. Исследоватьln(1  x p ) sin x0 1  x q dx .наабсолютную37иусловнуюсходимость:КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2.НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.1.Вариант №1.Исследовать на непрерывность по каждой переменной и по совокупности:f ( x, y ) 2.2 y sin x; f (k ;0)  f (0;0)  0.y 2  sin 2 xИсследовать на дифференцируемость:f ( x, y )  ln(1  x 2  y 4 ) sin1; f (0;0)  0.x  y22  e xy .3.Найти du, d 2u функции u  f ( , ), если1.Вариант №2.Исследовать на непрерывность по каждой переменной и по совокупности:f ( x, y ) 2.  sin( x  y ),xy2x  xy  y 2, f (0;0)  0.Исследовать на дифференцируемость:f ( x, y )  ( x 4  y 2 ) 3 sin1; f (0;0)  0.x  y223.Найти du, d 2u функции u  f ( , ), если   e x  y ,   sin xy.1.Вариант №3.Исследовать на непрерывность по каждой переменной и по совокупности:f ( x, y ) 2.y sin 2 x; f (k ;0)  f (0;0)  0.y 2  sin 4 xИсследовать на дифференцируемость:f ( x, y )  arctg x 6  y 6 sin1; f (0;0)  0.x  y443.Найти du, d 2u функции u  f ( , ), если1.Вариант №4.Исследовать на непрерывность по каждой переменной и по совокупности:f ( x, y )  32.  ln( x 2  y 2 ),   xy.x( x  y ), f (0;0)  0.x  xy  y 22Исследовать на дифференцируемость:f ( x, y )  arcsin 3x4  y41cos 2; f (0;0)  0.221 x  yx  y23.

Найти du, d 2u функции u  f ( , ), если38  ln(1  xy ),   x 2  y 2 .КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3.ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯПРОИЗВОДНЫХ. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ.Вариант №1.2 z, если F (u, v)  0 ,xyНайти2.Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка малостифункцию u  f ( x, y ) , если u  arcsinгдеv  x2  z 2.1.u  sin( x  y  z ),x2  y41  x2  y 2.Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости вданной точке к следующей кривой: y  x, z  x 2 в точке K (1,1,1) .3.Вариант №2.2 z, еслиxyF (u , v)  0 , где u  ln( x  y  z ),v  e x z .1.Найти2.Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядка малостифункцию u  f ( x, y ) ,3.если u  arctgx2  y41 x2  y2.Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке M 0 кxследующей поверхности: z  y  ln z ; M 0 (1;1;1).КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4.ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.Вариант №11. Произвести замену переменных в следующем дифференциальномвыражении:w  y22 z2 z2 zz 2  z2xyx  x  y 22xxyy  xy 39при x  r cos  ,y  r sin  .2. Найти условный экстремум функции:z1 1x yприусловии:11 1 2  .2xy83. Найтинаибольшееинаименьшее22z  x  2 xy  y  4 в области D : { y  x  1; y  0;значенияx  3  0} .функции:Вариант №21. Произвести замену переменных в следующем дифференциальном22 2u2  u2  uyвыражении: w  x 2  2 xyпри x  r cos  , y  r sin  .xxyy 2222.

Найти условный экстремум функции: z  xy при условии: x  y  2 .3. Найтинаибольшееинаименьшеезначения22z  x  2 xy  y  4 x в области D : {x  y  2  0; x  0; y  0}.функции:Вариант №31. Произвести замену переменных в следующем дифференциальном 2u  2uwвыражении:при x  r cos  , y  r sin  .x 2 y 2z  2x  y2. Найти условный экстремум функции:при условии:22x  y  1.3. Найтинаибольшееинаименьшеезначения22D:{x0;y0;x y  3} .z  x  4 xy  2 y  6 x  1 в областифункции:Вариант №41.

Произвести замену переменных в следующем дифференциальномu v u vвыражении: w  x  y  y  xпри x  r cos  , y  r sin  .1( x  y  4) при условии:2. Найти условный экстремум функции: z 2x 2  y 2  1.3. Найтинаибольшееинаименьшее1z  2 x 2  2 xy  y 2  4 x в области D : {x  0;240значенияy  2 x;y  2} .функции:ЗАЧЁТНАЯ РАБОТА.II СЕМЕСТР *)Вариант № 1.31. Найти длину дуги кривой: r  a sin2.3.;3x3, x  2 a;2a  x1ln p xdx;Исследовать на сходимость: x (1  x 2 )0Вычислить площадь D : y 2 4.Исследовать на абсолютную и условную сходимость:xpsin( x 5 )dx;05.